Hardy Uzay

Hardy uzayları alanına matematik arasında fonksiyonel analiz , olan boşluklar arasında analitik fonksiyonlar ile ilgili birim disk ? kompleks düzlem .

Hilbert durumu: H 2 (?) uzayı

Tanım

Let f olmak bir holomorf fonksiyon bunu biliyoruz, ? üzerinde f bir itiraf Taylor serisi açılımı birim diskte 0'dan:

∀z∈Df(z)=∑değil=0+∞f^(değil) zdeğililef^(değil): =f(değil)(0)değil!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {with}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Daha sonra söylemek f Hardy alanı içinde H 2 dizisi halinde (?) ait ℓ 2 . Başka bir deyişle, bizde: (f^(değil)){\ displaystyle ({\ şapka {f}} (n))}

H2(D)={f∈HÖl(D) | ∑değil=0+∞|f^(değil)|2<+∞}{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ sol \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ sol | ~ \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Sonra tanımlamak normunu ait f tarafından:

‖f‖2: =(∑değil=0+∞|f^(değil)|2)12.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ sol (\ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ şapka {f}} (n) | ^ {2} \ sağ) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Misal

Fonksiyon , serinin yakınsamasıyla ( yakınsak Riemann serisi ) H 2 (?) ' ye aittir . z↦günlük⁡(1-z)=-∑değil=1∞zdeğildeğil{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}∑değil≥11değil2{\ displaystyle \ toplamı _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Standardın başka bir ifadesi

İçin f ? açık ve holomorfik 0 ≤ r <1 , tanımlanabilir:

M2(f,r): =(12π∫-ππ|f(rebent)|2 dt)12.{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ sol ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• fonksiyonu r ↦ M 2 ( f , r ) üzerinde artmaktadır [0, 1 [ .
• f ∈ H 2 (?) ancak ve ancakve bizde:limr→1-M2(f,r)<+∞{\ displaystyle \ lim _ {r \ ile 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}

‖f‖22=limr→1-12π∫-ππ|f(rebent)|2 dt=sup0≤r<112π∫-ππ|f(rebent)|2 dt.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ ila 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Gösteri

• Nereye ve koyalım . Sahibiz :z=rebent{\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[-π,π]{\ displaystyle t \ in [- \ pi, \ pi]}f(z)=∑değil=0+∞f^(değil)zdeğil bu nedenle f(rebent)=∑değil=0+∞f^(değil)rdeğilebendeğilt{\ displaystyle f (z) = \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {dolayısıyla}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Sonra, Parseval'in formülüne göre :M2(f,r)2=∑değil=0+∞|f^(değil)|2r2değil{\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Bu formül ilk iddiayı kanıtlıyor.
• Eğer f ∈ H 2 (?) ise, önceki formül artan bir fonksiyon olduğunu, dolayısıyla sınırlı olduğunu ve monoton yakınsama teoremine göre bu limitin eşit olduğunu gösterir . Tersine , her biri için , aşağıdakilerin büyümesi ile sahipsek  :M2(f,.){\ displaystyle M_ {2} (f,.)}limr→1-M2(f,r){\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}‖f‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1-M2(f,r)=M<+∞{\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}DEĞİL≥0{\ displaystyle N \ geq 0}M2(f,r){\ displaystyle M_ {2} (f, r)}∑değil=0DEĞİL|f^(değil)|2r2değil≤∑değil=0+∞|f^(değil)|2r2değil≤M2{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Zaman sınırına geçerek karşı eğilimi zaman sonra eğilimi gösterir , ikinci onaylama elde edin.r{\ displaystyle r}1-{\ displaystyle 1 ^ {-}}DEĞİL{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

H 2 (?) uzayının bazı özellikleri

• Hardy uzayı H 2 (?) ℓ 2'ye izometrik olarak izomorfiktir ( normalleştirilmiş vektör uzayı olarak ) . Bu nedenle bir Hilbert uzayıdır .

Gösteri

Tarafından tanımlanan uygulamayı dikkate alıyoruz . Bu da tanımında tanımlanır H 2 (?), açık bir şekilde doğrusaldır. Bütün serideki gelişimin benzersizliği ile enjekte edicidir , onun örten olduğunu göstermeye devam eder . T:H2(D)→ℓ2{\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T(f)=(f^(değil)){\ displaystyle T (f) = ({\ şapka {f}} (n))}

Let , bu nedenle, tanımlanan tüm seri f sınırlanmış olması daha yakınsama Greater yarıçaplı bir veya özellikle, 1'e eşittir ve . bu nedenle kuşatıcıdır. (-dedeğil)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}(-dedeğil){\ displaystyle (a_ {n})}f(z)=∑değil=0+∞-dedeğilzdeğil{\ displaystyle f (z) = \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}f∈HÖl(D){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T(f)=(-dedeğil){\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}T{\ displaystyle T}

• Tüm f ∈ H 2 (?) ve ? 'deki tüm z için , elimizde:

|f(z)|≤‖f‖21-|z|2.{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.} Gösteri

Biz uygulamak için Cauchy-Schwarz eşitsizliği Taylor serisi genişletme f herkes için Daha sonra var 0'dan, z ? içinde:

|f(z)|≤∑değil=0+∞|f^(değil)||z|değil≤‖f‖2(∑değil=0+∞|z|2değil)12=‖f‖21-|z|2{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}.

Bu , H 2 (?) 'den ℂ ' ye doğru değerlendirme f ↦ f ( z ) haritasının ? 'deki tüm z için sürekliliği ve normunun şundan küçük olduğu anlamına gelir:

11-|z|2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

Aslında, normun tam olarak bu sabite eşit olduğunu gösterebiliriz.

• Zayıf topolojisi ait birim top arasında , H 2 ile (?) çakışır bir kompakt üzerinde düzgün yakınsama topoloji .

Sonraki iki özellik, ikincisinin doğrudan sonuçlarıdır.

• Let ( f n ) olması öğeleri bir dizi H 2 doğru normunda (?) yakınsak f sonra ( f n ) doğru ? herhangi bir kompakt üzerine muntazam bir şekilde yakınsar f .
• Let ( f n ) olması elemanlarının bir dizi H 2 birim topa dahil (?). Daha sonra herhangi bir ? kompaktında düzgün yakınsayan bir alt dizi çıkarabiliriz.

Genel durum

Tanım

İçin 0 < p <+ ∞ bir tanımlar Hardy alan lH s analitik fonksiyonların alanı olarak (?) f birim disk gibi ilgili:

sup0<r<1(∫02π|f(rebent)|p dt2π)<+∞.{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ sol (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ sağ) <+ \ infty.}

Daha sonra şunları tanımlarız:

‖f‖p=sup0<r<1(∫02π|f(rebent)|p dt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ sol (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ matematik {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ sağ) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Bazı özellikler

• İçin p 1 ≥ , H p (?) a, Banach alanı .
• Let f ∈ H p (?) için p ≥ 1 . Yani neredeyse tüm t için ( Lebesgue ölçümü anlamında ):f∗(ebent): =limr→1-f(rebent){\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ ila 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}vardır ve harita f ↦ f * bir izometridir H p altuzaydan (?) arasında :H∗p{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}Lp([0,2π],dt2π){\ displaystyle L ^ {p} \ sol ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ sağ)}H∗p={f∈Lp([0,2π],dt2π) | ∀değil≤-1, f^(değil)=0}.{\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ sol \ {\ left.f \ içinde L ^ {p} \ sol ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Alt harmonik fonksiyonların özellikleri sayesinde normun başka bir karakterizasyonuna sahibiz  : Herhangi bir f ∈ H p (?) için, bizde:

‖f‖p=limr→1-(∫02π|f(rebent)|pdt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ 1 ^ {-}} \ sol (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ sağ) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Beurling çarpanlara ayırma

Kaynakça

• (tr) Peter L.Duren , H p Uzayları Teorisi , Dover ,2000, 292  s. ( ISBN  978-0-486-41184-2 , çevrimiçi okuyun )
• Nikolaï Nikolski, Gelişmiş analiz unsurları T.1 - Spaces of Hardy , Belin ,Kasım 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

İlgili makale

Balık Çekirdeği

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">