Düşük topoloji

Gelen matematik , zayıf topoloji a topolojik vektör uzayı E a, topolojisi ile tanımlanan E onun vasıtasıyla topolojik çift E'. Ayrıca üzerinde tanımlı mı 'E vasıtasıyla sözde zayıf topoloji * E .

Aksi belirtilmediği sürece, bu maddenin, bir not boyunca ⟨ φ , X ⟩  =: φ ( x ) için x ∈ E ve φ lineer bir şekilde E .

Normlu bir uzayın zayıflatılmış topolojisi

Tanım

Let E verdi bir vektör normlu bir alan (ya da kompleks), ya da daha genel olarak bir topolojik vektör uzayı ve E ', her demek ki onun ikili topoloji, sürekli lineer formları ile E . Daha sonra zayıf topoloji çağrı E ile gösterilen S ( E , E ' ), ilk topoloji de sürekli doğrusal biçimlerde etti ilişkili E , yani en az ince topoloji elemanlarını tutmak E' . Bu edilir oluşturulan formu açıklıklarla cp -1 ( U ), φ bir elemanıdır E ' ve U alanının açık bir skaler .

Bu topoloji σ ( E , E ' ) olan yarı normlar ailesi tarafından tanımlanan herhangi bir öğesini belirtmektedir E' . Bu nedenle E'ye yerel olarak dışbükey bir uzay yapısı sağlar . Bu edilir ayrılmış ve topolojik dual yalnızca eğer E ' ve E ayıran noktaları (tr) ait E (yani uygun olduğu), olarak Hahn-Banach teoremi kısa sürede e daha genellikle normalleştirilmiş vektör uzayı veya ayrı yerel dışbükey boşluk. ‖x‖φ=|⟨φ,x⟩|{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ varphi} = \ sol | \ langle \ varphi, x \ rangle \ sağ |}φ{\ displaystyle \ varphi}  ∀x≠0 ∃φ∈E′ φ(x)≠0{\ displaystyle \ forall x \ neq 0 ~ \ var \ varphi \ E '~ \ varphi (x) \ neq 0}

Özel olarak, bir dizi elemanlarının E bir elemanına doğru zayıf yakınsar u arasında E zaman: (sendeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

∀φ∈E′,limdeğil→+∞⟨φ,sendeğil⟩=⟨φ,sen⟩.{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in E ', \ quad \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ langle \ varphi, u_ {n} \ rangle = \ langle \ varphi, u \ rangle.}

Buna karşılık, E'nin orijinal topolojisine güçlü topoloji denir ve bu topolojinin anlamı dahilinde yakınsama, güçlü yakınsama olarak adlandırılır.

Misal

E , normla donatılmış sıfır limitli gerçek dizilerin c 0 (ℝ) uzayı olsun . Bir eleman arasında 'e gerçek sekans ile temsil edilebilir seri şekilde bir kesinlikle yakınsak . Daha sonra elimizde: x=(xdeğil){\ displaystyle x = (x_ {n})}‖x‖=sup{|xdeğil|,değil∈DEĞİL}{\ displaystyle \ | x \ | = \ sup \ {\ sol | x_ {n} \ sağ |, n \ \ mathbb içinde {N} \}}φ{\ displaystyle \ varphi}(φdeğil){\ displaystyle (\ varphi _ {n})}∑φdeğil{\ displaystyle \ toplam \ varphi _ {n}}

⟨φ,x⟩=∑değil=0∞φdeğilxdeğil.{\ displaystyle \ langle \ varphi, x \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varphi _ {n} x_ {n}.}

İçin n doğal tam sayı, izin elemanının E gerçek sayılar dizisinin dışında tüm sıfır oluşan n O 1'e eşit olan inci terimi bir dizisini oluşturmaktadır E zayıf 0 doğru değil kuvvetli birleşir. edeğil{\ displaystyle e_ {n}}(edeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (e_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Temel özellikler

• E'deki güçlü yakınsama, zayıf yakınsama anlamına gelir. Örneğin, E normalize edilmişse :|⟨φ,sendeğil⟩-⟨φ,sen⟩|≤‖φ‖E′‖sendeğil-sen‖E.{\ displaystyle | \ langle \ varphi, u_ {n} \ rangle - \ langle \ varphi, u \ rangle | \ leq \ | \ varphi \ | _ {E '} \ | u_ {n} -u \ | _ { E}.}
• Daha doğrusu, sonsuz boyutlu normlu bir uzay üzerindeki güçlü topoloji her zaman kesinlikle zayıf olandan daha incedir: örneğin, birim kürenin zayıf yapışması birim toptur ve herhangi bir açık veya kapalı top dahili olarak zayıf boştur. Bununla birlikte, ℓ 1 uzayı gibi belirli alanlarda , bir dizinin zayıf yakınsaması , güçlü yakınsamasına eşdeğerdir: Bu, Schur'un özelliğidir .
• Zayıf topoloji için E'nin topolojik ikilisi , güçlü topoloji ile aynıdır.
• Hahn-Banach teoremi bir vektör alt uzay olduğunu göstermek için kullanılır E o (ve ancak) (kuvvetli) kapalı ise zayıf kapalıdır. Daha genel olarak, Hahn-Banach teoreminin geometrik formu, yerel olarak dışbükey bir uzayda herhangi bir kapalı konveksin zayıf bir şekilde kapalı olduğunu göstermeyi mümkün kılar (bkz. Kapalı dışbükey zarf ).
• Normalleştirilmiş bir vektör alan olarak, bir bölümü kuvvetli bir sınırlı çok zayıf olduğunu (ve sadece) ise, ve bir sekans (zaman u , n ) zayıf bir şekilde yakınsak u , norm u az ya da eşit alt sınır standartları ait u n . Bu sonuç Banach-Steinhaus teoremini ve Hahn-Banach teoremini kullanır.
• Zayıf topoloji E olduğunu asla metriklenebilir bile ne mahallelerin sayılabilen üsleri ile (eğer tabii hariç E olan sonlu boyutlu ).

Gösteri

E'nin sayılabilir bir mahalle temeli ile zayıf topolojiye sahip olmasına izin verin . O halde E ' de V n = { x : | olacak şekilde bir ( φ n ) dizisi vardır. φ k ( x ) | <1, k = 0,…, n }, n ∈ ℕ için, 0 mahallelerinin temelini oluşturur . E'deki tüm φ için , { x : | φ ( x ) | <1} 0'ın bir komşuluğudur, bu nedenle bir V n içerir . Φ çekirdeği φ 1 ,…, φ n çekirdeklerinin kesişimini içerir, bu nedenle φ , φ 1 ,…, φ n'nin doğrusal bir kombinasyonudur . Bu, E ' nin en sayılabilir boyuta sahip olduğunu, dolayısıyla tamamlandığından dolayı sonlu boyut olduğunu kanıtlar , bu ancak E'nin kendisi sonlu boyutta ise mümkündür .

Örneğin E = ℓ 2 için sıralı bile değildir .

Teoremi  -  Let E ve F lokal konveks alanlar ve ayrılan T doğrusal operatör güçlü, sürekli E olarak F . Daha sonra , T olduğunda devamlılığım E ve F verilmiştir zayıf topolojisi ile.

Bunun tersi, genel olarak yanlış (bir operatör zayıf topolojileri için sürekli olabilir olan E ve F durumunda güçlü topolojileri için sürekli olmadan) ancak gerçek E ve F olan Frechet alanlarda (biz kullanarak ispat kapalı grafiğin teoremini ).

Düşük- * çift topoloji

Tanım

Bu nedenle, topolojik ikili E ' üzerinde en az üç topoloji mevcuttur .

• Yarınorm etti tanımlanan güçlü topolojisi B doymuş, sınırlı bir alt kümesi herhangi E . Bu, E'nin sınırlı alt kümeleri üzerindeki düzgün yakınsamanın topolojisidir . Bu topolojiyle , E'nin ikili (topolojik) E'yi E'nin topolojik ikilisi olarak tanımlamak için E'yi donatıyoruz . E uzayı normalize edildiğinde , E ' de doğal bir şekilde normalleştirilir ve güçlü topolojisi basitçe normu tarafından indüklenir.‖φ‖B=sup{|⟨φ,x⟩|,x∈B}{\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {B} = \ sup \ {\ sol | \ langle \ varphi, x \ rangle \ sağ |, x \ B \}}
• Zayıf topolojisi σ ( E ' E' ') .
• Zayıf topolojisi * veya préfaible topolojisi S (ile gösterilmiş, E ' , E ), yarınorm ailesi tarafından tanımlanan X isteğe bağlı bir eleman göstermektedir E . (Bu, sadece topolojisi olan basit bir yakınsama , diğer bir deyişle: kısıtlama 'e ait üretilen topoloji ℂ ile E. olarak) E onun Bidual bir vektör alt uzay ile tespit ettiği E' ' bu topolojisi olan önsel daha zayıf zayıf topoloji.‖φ‖x=|⟨φ,x⟩|{\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {x} = \ sol | \ langle \ varphi, x \ dikdörtgen \ sağ |}

Üç topoloji, güçlü, zayıf ve zayıf- * genellikle farklıdır. Yansımalı bir Banach uzayı durumunda (ikili ile tanımlanabilir), zayıf ve zayıf- * topolojileri eşittir.

Misal

E , normla donatılmış sıfır limitli gerçek dizilerin c 0 (ℝ) uzayı olsun . x=(xdeğil){\ displaystyle x = (x_ {n})}‖x‖∞=sup{|xdeğil|,değil∈DEĞİL}{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup \ {\ sol | x_ {n} \ sağ |, n \ in \ mathbb {N} \}}

İkili E ' dizisi , norm ile sağlanan , dizi mutlak yakınsak olacak şekilde dizilerin ℓ 1 (ℝ) alanıdır . φ=(φdeğil){\ displaystyle \ varphi = (\ varphi _ {n})}∑φdeğil{\ displaystyle \ toplam \ varphi _ {n}}‖φ‖1=∑değil=0∞|φdeğil|{\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {1} = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sol | \ varphi _ {n} \ sağ |}

İkili E '' , yani ℓ 1 (ℝ) 'nin ikilisi , normla donatılmış gerçek sınırlı dizilerin ℓ ∞ (ℝ) alanıdır . sen=(sendeğil){\ displaystyle u = (u_ {n})}‖sen‖∞=sup{|sendeğil|,değil∈DEĞİL}{\ displaystyle \ | u \ | _ {\ infty} = \ sup \ {\ sol | u_ {n} \ sağ |, n \ in \ mathbb {N} \}}

Biz ve . ⟨φ,x⟩=∑değil=0∞φdeğilxdeğil{\ displaystyle \ langle \ varphi, x \ rangle = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varphi _ {n} x_ {n}}⟨sen,φ⟩=∑değil=0∞φdeğilsendeğil{\ displaystyle \ langle u, \ varphi \ rangle = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varphi _ {n} u_ {n}}

E'de n- ilk terimleri 1 / n'ye eşit olan ve diğerlerinin tümü sıfır olan öğeyi düşünün . Bu elemanlar , o zamandan beri güçlü topoloji için 0'a yakınsamayan E ' de bir dizi oluştururlar . Ne o zayıf topoloji için 0 doğru yaklaşır yapar 'E biz elemanını alırsak, çünkü u arasında E' ' , daha sonra sabit dizisine 1'e eşit . Ancak zayıf topoloji için 0'a yakınsar - * çünkü E'nin rastgele bir x elemanı (dolayısıyla sıfır limitli bir dizi) alırsak , o zaman bu gerçekten Cesàro'nun teoremine göre 0'a yakınlaşır . edeğil{\ displaystyle e_ {n}}‖edeğil‖1=1{\ displaystyle \ | e_ {n} \ | _ {1} = 1}⟨sen,edeğil⟩=1{\ displaystyle \ langle u, e_ {n} \ rangle = 1}⟨edeğil,x⟩=1değil∑k=0değil-1xk{\ displaystyle \ langle e_ {n}, x \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ toplamı _ {k = 0} ^ {n-1} x_ {k}}

Özellikleri

• Zayıf topoloji- * ile donatılmış E'nin topolojik ikilisi E'nin kendisinden başkası değildir .
• Eğer Daha genel olarak, F bir alandır, devrik zayıf şekilde sürekli dönüşümler vektör alan arasında bir eşleşme kurar F için E ve zayıf şekilde devamlı haritaları vektör uzayı 'e kadar F'. (Önceki nokta F = ℝ durumuna karşılık gelir .)
• Normalleştirilmiş bir vektör uzayı, ancak ve ancak zayıf- * topolojisine sahip ikili kapalı birim topu ( ikili norm için ) ölçülebilirse ayrılabilir . (Kanıtı "yalnızca": eğer D bir olduğunu yoğun bir parçası ait E herhangi ardından eşsürekli parçanın içinde E ' , basit yakınlaşma topoloji E basit yakınlaşma bununla çakışır D. Ancak, ikincisi olarak metriklenebilir olduğu en kısa sürede D ise en sayılabilir de ).

Banach-Alaoğlu teoremi

Topolojik vektör uzaylarına genellemesi Banach-Alaoğlu-Bourbaki teoremi olan aşağıdaki teorem, sonsuz boyutlu Banach uzaylarında kuvvetli topoloji için kompaktlık eksikliğini bazen telafi etmeyi mümkün kılar . Zayıf * topolojinin tanımının ana mantığı budur:

Teorem  -  Let E olmak normlu uzay. Daha sonra E ' nin kapalı birim topu zayıf * topoloji için kompakttır.

Özellikle, eğer E ayrılabilirse, o zaman dualin birim topu , zayıf * topoloji için sıralı olarak kompakttır . Başka bir deyişle, herhangi bir sınırlı E ' dizisi , zayıf topoloji- * için yakınsak bir alt diziye izin verir .

Bu teorem, dönüşlü normlu uzayların bir karakterizasyonunu çıkarmayı mümkün kılar (çiftlerine eşit). Böyle bir alan, mutlaka bir Banach alanıdır .

Teorem  -  Normlu bir uzay, ancak ve ancak kapalı birim topu zayıf topoloji için kompaktsa refleksiftir.

Çıkarma işlemine kadar, dönüşlü normlu uzayın sınırlı bir dizisi her zaman zayıf bir şekilde yakınsar (ancak güçlü bir şekilde olması gerekmez). Teorisi çerçevesinde uygulamalar için özellikle geliştirilen birçok yeni yöntem vardır kısmi diferansiyel denklemlerin çalışma kompaktlık eksikliği , özellikle böyle bir dizinin, Hilbert boşluklar (konsantrasyonu kompaktlık prensibi Piyer Louis Lions , mikro -Patrick Gérard ve Luc Tartar tarafından yerel hata ölçümü ).

Zayıf yakınsaklık ve Hilbert uzayları

Tarafından Riesz teoremi , bir Hilbert uzayı H olan sayısal ürünü not edilir (∙ | ∙) , herhangi bir sürekli doğrusal bir şekilde φ yazılır ⟨ φ , u ⟩ = ( v | u ) için bir vektör için v .

Zayıf yakınsama bir dizinin ardından yazılır: (sendeğil)değil{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n}}

∀v∈H,limdeğil→∞(v∣sendeğil)=(v∣sen).{\ displaystyle \ forall v \ in H, \ quad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (v \ mid u_ {n}) = (v \ orta u).}

H uzayı refleksiftir, bu nedenle Banach-Alaoğlu teoremine göre, zayıf topoloji için kapalı olan güçlü topoloji için sınırlı bir zayıf topoloji için kompakttır. Bu nedenle, bir Hilbert uzayında, herhangi bir sınırlı dizi, zayıf yakınsak bir alt diziyi kabul eder.

Bir Hilbert uzayındaki güçlü yakınsamanın bu basit ama ilginç karakterizasyonundan bahsedelim.

İşletme Radon-Riesz  (en) Hilbert boşluklar  -  olsunHilbert alan elemanları bir dizi H , zayıf bir yakınsak elemanının u arasında , H . O zaman bu yakınsama, (ve ancak) şu durumlarda güçlüdür: (sendeğil)değil{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n}}

(1)limdeğil→+∞‖sendeğil‖=‖sen‖.{\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ | u_ {n} \ | = \ | u \ |.}

Nitekim, eğer (1) doğruysa:

‖sendeğil-sen‖2=‖sendeğil‖2+‖sen‖2-2Re(sendeğil∣sen)⟶‖sen‖2+‖sen‖2-2Re(sen∣sen)=0.{\ displaystyle \ | u_ {n} -u \ | ^ {2} = \ | u_ {n} \ | ^ {2} + \ | u \ | ^ {2} -2 {\ rm {Re}} ( u_ {n} \ mid u) \ longrightarrow \ | u \ | ^ {2} + \ | u \ | ^ {2} -2 {\ rm {Re}} (u \ mid u) = 0.}

Notlar ve referanslar

1. Bkz. ( İn ) N. Lerner, "  Gerçek analiz üzerine ders notları  " , Pierre-et-Marie-Curie Üniversitesi ,2011, s.  54 .
2. (in) Charalambos D. Aliprantis ve Kim C. Sınır Sonsuz Boyut Analizi: Bir Otostopçunun Kılavuzu Springer2007, 3 e  ed. , 704  s. ( ISBN  978-3-540-32696-0 , çevrimiçi okuyun ) , s.  237-239.
3. (inç) Balmohan Vishnu Limaye , Fonksiyonel Analiz , New Age International,1996, 2 nci  baskı. , 612  s. ( ISBN  978-81-224-0849-2 , çevrimiçi okuyun ) , s.  262, § 15.1, daha kesin bir ifadeyi gösterir.
4. Ancak, Banach uzayı içinde E zayıf topoloji ile donatılmış, herhangi kompakt olan en kısa sürede metriklenebilir olan E olduğunu ayrılabilir ve hatta herhangi bir sınırlı kısım (norm) yakında kadar metriklenebilir olduğu 'E ayrılabilir geçerli: bkz Eberlein-Šmulian teoremini .
5. bir için ayrı bir topolojik grubu , bu iki kavramları göre, aslında eşdeğer olan Birkhoff-Kakutani teoremi .
6. Claude Wagschal , Topoloji ve fonksiyonel analiz , Hermann ,1995( ISBN  978-2-7056-6243-1 ), önerme 3.18.3 s. 337 ve not 3.18.2 s. 338.
7. Wagschal 1995 , alıştırma 3.18.3 s.  338 .
8. Bunun temel nedeni, doğrusal bir formun çekirdeği, sonlu sayıda doğrusal formların çekirdeklerinin kesişimini içeriyorsa, bu formların doğrusal bir birleşimi olmasıdır  : cf. Daniel Li, "  Fonksiyonel Analiz, böl. 8: Dualite  ” (Yüksek Lisans 1 Matematik-Bilişim, Artois Üniversitesi ), teorem 2.2.
9. Aliprantis ve Sınır 2007 , s.  239-240.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Tutarlı topolojisi bazen zayıf topoloji olarak adlandırılır.
• Mazur Lemması
• Goldstine teoremi
• Kerin-Šmulian teoremi  (de)

Kaynakça

• Laurent Schwartz , Genel Topoloji ve Fonksiyonel Analiz , Hermann, 1970
• Haïm Brezis , Fonksiyonel analiz: teori ve uygulamalar [ baskıların ayrıntıları ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">