Lindelöf uzayı
Gelen matematik bir Lindelöf alan a, topolojik alan herhangi biri açık üst üste bir sahiptir sayılabilir undercoverage . Bu durum, sonlu yetersiz geri kazanımların varlığının sorulduğu yarı-yoğunluğun zayıflamasıdır . Bir alanın tüm alt uzayları Lindelöf'e aitse, Lindelöf'ten kalıtsal olduğu söylenir . Açıklıklarının olması yeterli.
Lindelöf uzayları, Fin matematikçi Ernst Leonard Lindelöf'ün adını almıştır .
Özellikleri
- Bir uzay, ancak ve ancak Lindelöf ve sayılabilecek derecede kompakt ise yarı kompakttır .
- Herhangi bir sözde ölçülebilir Lindelöf uzayı ayrılabilir ( cf. ayrılabilir uzayların özellikleri ) ve bu nedenle sayılabilir bir temele sahiptir ( bkz. Bu iki kavram arasındaki bağlantı ).
- Bir X uzayının Lindelöf olması için, sabit bir tabanın açıklıkları tarafından X'in herhangi bir örtüşmesinin sayılabilir bir gizli örtüşmesi yeterlidir (ispat, yarı kompaktlar için olan analogla aynıdır , "sonlu" yerine "sayılabilir" kullanılır). Bu, aşağıdaki sonucu hemen yapar:
-
Lindelöf lemma - Sayılabilir herhangi bir temel uzay Lindelöf'dür.
- Sohbet genellikle yanlıştır. Örneğin, Sorgenfrey S'nin hattı Lindelöf'tür (ve dahası, ayrılabilir ve mahallelerin sayılabilir temelleri ile ) ancak sayılabilir taban değildir.
- Bununla birlikte, yukarıdakilerden, sözde ölçülebilir bir alan için, üç Lindelöf / ayrılabilir / sayılabilir temel özelliği eşdeğerdir.
- Bir Lindelöf uzayının herhangi bir kapalılığı Lindelöf'dür (kanıt, herhangi bir kompaktın kapalı olmasına benzerdir ).
- Bir Lindelöf uzayının kesintisiz herhangi bir görüntüsü Lindelöf'e aittir.
- Lindelöf alt uzaylarının herhangi bir sayılabilir birleşim uzayı (özellikle herhangi bir sayılabilir uzay) Lindelöf'dür.
Gösteri
Izin olan alt uzaylar bir uzay Lindelof, ve olalım açık örtü . Yani her biri sayılabilir bir alt aile tarafından kapsanmaktadır . Bütün sayılabilir ve kapsar .
X=∪değil∈DEĞİLXdeğil{\ displaystyle X = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} X_ {n}}
Xdeğil{\ displaystyle X_ {n}}
(Uben)ben∈ben{\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ I’de}}
X{\ displaystyle X}
Xdeğil{\ displaystyle X_ {n}}
(Uben)ben∈bendeğil{\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in I_ {n}}}
J: =∪değil∈DEĞİLbendeğil{\ displaystyle J: = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} I_ {n}}
(Uben)ben∈J{\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ J’de}}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Genel olarak, Lindelöf özelliği ile diğer kompaktlık özellikleri arasında herhangi bir çıkarım (öyle veya böyle) yoktur . Ancak:
- Tüm Lindelöf uzayı bir boşluktur-Hewitt Nachbin (en) (veya eşdeğer olarak: kapalı bir güç - muhtemelen sonsuz - ℝ).
Kesinlikle Lindelöf uzayları
Ω ise 1 anlamına gelir: ilk sayılamaz sıra ω, 0 [açık 1 ω [0 [kompakt, 1 ] Lindelöf değildir.
Tüm açıklıkları Lindelöf'e aitse, bir alanın güçlü bir şekilde Lindelöf'e ait olduğu söylenir.
- Güçlü bir Lindelöf uzayı Lindelöf'ten kalıtsaldır, yani tüm alt uzayları Lindelöf'dür. (Bu doğrulamak için, bir parçanın bir açık örtü yazmak için yeterli Y ve X şeklinde (ait -Y ⋂ O i ) O ı açıklıkları olan X ve birlik bu O daha sonra buna, bir açık Y ve kapalı O i tarafından .)
- Sayılabilir herhangi bir taban uzay kuvvetle Lindelöf'dür (alt uzayları sayılabilir taban olduğundan).
- Herhangi bir alt çizgi uzayı güçlü bir şekilde Lindelöf'dür.
- Lindelöf'ün güçlü olma özelliği, sayılabilir toplantılar, alt uzaylar ve sürekli görüntülerle korunur.
- Güçlü bir Lindelöf uzayı üzerindeki herhangi bir Radon ölçümü orta düzeydedir, yani bunun ilişkili harici olarak düzenli ölçümü σ-sonludur .
Lindelöf uzay ürünü
Bir Lindelöf uzay ürünü her zaman Lindelöf değildir. Klasik karşı- bir Sorgenfrey S x S planı , Sorgenfrey bir ürünü S hattı tek başına. S × S düzleminde , antidiagonal D ( y = - x denkleminin doğrusu ) ayrı bir alt uzaydır, bu nedenle Lindelöf değildir (çünkü D sayılabilir değildir). Ancak D , S × S'nin kapalıdır , bu nedenle de Lindelöf değildir.
Bununla birlikte, bir Lindelöf uzayının yarı kompakt bir uzay tarafından çarpımı Lindelöf'dür.
Genelleme
Belirli bir kardinal için, boşluk than -kompakt (veya -Lindelöf ) olduğu söylenir , eğer herhangi bir açık kapak, κ'den kesinlikle daha düşük bir kardinalite gizliliğine sahipse . Yarı kompakt uzaylar bu nedenle ℵ 0 -kompaktlarıdır ve Lindelöf uzayları ℵ 1- kompaktlarıdır .
Herhangi bir boşluk için X onun ilişkilendirmek Lindelöf derecesi veya Lindelöf numarası ile gösterilen L ( X ) ve bunun derecesi Lindelof'un kalıtsal , gösterilen Hl ( X ):
L ( X ), en küçük sonsuz kardinaldir κ öyle ki, X'in herhangi bir açık kapağı , than'den küçük veya ona eşit bir kardinalite gizliliğine sahiptir ve
hL ( X ) olan
üst sınırı arasında L ( Y her bölümünün) Y ve X .
Bu gösterimle, X , ancak ve ancak L ( X ) = ℵ 0 ise, Lindelöf'e aittir , ancak L ( X ) 'in verileri, X'in yarı kompakt mı yoksa sadece Lindelöf mü olduğunu ayırt etmek için yeterli değildir . Bu nedenle, daha az yaygın olmakla birlikte, bazı yazarlar, adı vermek Lindelof sayısını ve X (ya da bazen kompakt derecesi Farklı bir konsept): öyle ki κ küçük sonsuz kardinal X κ- kompakttır.
Önem düzeyi a ayrılmış alan X onun Lindelöf derece uygun sınırlanan L ( X ) ve karakter kay kare testi ( X ): | X | ≤ 2 L ( X ) χ ( X ) . Örneğin, mahallelerin sayılabilir temellerine sahip herhangi bir ayrı Lindelöf uzayı (özellikle herhangi bir kompakt uzay ) , en fazla sürekliliğin gücüne sahiptir .
Ayrıca Lindelöf'ün kalıtsal derecesine göre sınırlandırılmıştır: | X | ≤ 2 hL ( X ) .
Notlar ve referanslar
-
Örneğin, herhangi bir ℝ açıklığı ( olağan topoloji ile sağlanır ), açık aralıkların sayılabilir bir birleşimidir.
-
N. Bourbaki , Matematiğin Elemanları, kitap III: Genel topoloji [ baskıların detayı ], Çatlak. Ben, s. 107 , egzersiz 15.
-
(inç) K. Morita , " Yıldız-sonlu kaplamalar ve sonlu yıldız özelliği " , Math. Jap. , cilt. 1,1948, s. 60-68
-
Bu teorem genellikle “herhangi bir Lindelöf uzayı normaldir” şeklinde aktarılır, ancak düzenlilik varsayımı, örtük olmasına rağmen gereklidir: cf. “ Ne zaman bir Lindelof Uzay Normal? » Dan Ma'nın Topoloji Blogunda veya (en) Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach, Jr. , Topolojide Karşı Örnekler , Dover ,1995( 1 st . Ed Springer , 244, 1978) , s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , çevrimiçi okuyun ) , s. 82, Karşı Örnek 60 (Görece Asal Tamsayı Topolojisi) ve Karşı Örnek 61 (Asal Tamsayı Topolojisi) , ℕ * üzerinde iki topoloji, ayrılmış, Lindelöf ve normal olmayan , düzgün aralıklı tamsayıların topolojisinin ℕ * sınırlamasından daha az ince : alıyoruz olarak açık olarak bir ℕ * + b ile bir ve b aralarında asal (sırasıyla. bir asal ).
-
(inç) MG Murdeshwar , Genel Topoloji , New Age International,1990, 2 nci baskı. , 357 s. ( ISBN 978-81-224-0246-9 , çevrimiçi okuyun ) , s. 256, " Tychonoff'un Lemması "
-
Murdeshwar 1990 , s. 255
-
(in) Chris Good , "The Lindelöf Property" , KP Hart J.-I. Nagata ve JE Vaughan, Genel Topoloji Ansiklopedisi , Elsevier,2003, 1 st ed. ( ISBN 978-0-08053086-4 , çevrimiçi okuyun ) , s. 182-184
-
(in) Mary Ellen Rudin , Lectures Set Theoretic Topology , AMS , ark. " Matematik Bilimleri Konferans Kurulu ",1975( çevrimiçi okuyun ) , s. 4
-
Daha fazla ayrıntı için, örneğin (içinde) Alessandro Fedeli , " Hausdorff uzaylarının önemi hakkında " , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , cilt. 39, n o 3,1998, s. 581-585 ( çevrimiçi okuyun ).
- (tr) Michael Gemignani , Temel Topoloji ,1972, 270 p. ( ISBN 978-0-486-66522-1 , çevrimiçi okuyun ) , bölüm. 7.2
- (en) István Juhász (hu) , Topolojide Kardinal Fonksiyonlar - On Yıl Sonra , Amsterdam, Math. Yollar Merkezi,1980, 160 p. ( ISBN 978-90-6196-196-3 , çevrimiçi okuyun )
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Dış bağlantı
(en) Chris Good, " The Lindelöf Property " , University of Birmingham ,2002
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">