Ultrametrik mesafe

Gelen matematik ve daha kesin olarak topoloji , bir ultrametrik mesafe a, mesafe d kümesi üzerinde E ultratriangular eşitsizliği karşılamasıdır:

{\ Displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

Mesafesi bu özelliği karşılayan bir metrik uzayın ultrametrik olduğu söylenir .

Tanım ve örnekler

Let E olmak bir dizi ; bir ultrametrik mesafe ( E üzerinde ), aşağıdaki özellikleri doğrulayan bir uygulama olarak adlandırılır : ${\ displaystyle d: \ mathrm {E} \ times \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Soyadı	Emlak
simetri	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = d (y, x)}$
ayrılık	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
ultra üçgen eşitsizlik	${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}$

Simetriyi hesaba katarsak, ultra köşeli eşitsizlik, bir üçgende her bir kenarın uzunluğunun diğer iki tarafın uzunluklarından daha büyük veya daha büyük olduğu anlamına gelir (bu nedenle bu iki uzunluğun toplamı ile ifade edilir) l ' üçgen eşitsizliği ).

Önemsiz mesafe

Herhangi bir set, aşağıdakiler tarafından tanımlanan önemsiz veya ayrık mesafe ile sağlanabilir :

{\ displaystyle d (x, y) = {\ başla {vakalar} 0 & {\ text {si}} x = y \\ 1 & {\ text {si}} x \ neq y \ end {vakalar}}}

Eşitsizlik

{\ Displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

x'in z'ye eşit olup olmadığı doğrudur . Bu nedenle ultrametrik bir mesafedir.

P - set üzerindekiadik mesafe ℚ

Bir için asal sayı p , biz tanımlayabilir s -adic değerleme herhangi birine göre sıfır olmayan rasyonel sayı r . ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Bu uygulamanın doğruladığını kolayca kanıtlıyoruz

{\ displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

{\ displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Daha sonra ℚ üzerindeki p -adic mesafesini şu şekilde tanımlarız :

{\ displaystyle d (x, y) = {\ {vakalar} 0 & {\ text {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} ve {\ text {si}} başlar x \ neq y \ end {vakalar}}}

Yukarıdaki özellik kolayca ultrametrik eşitsizliğe yol açar. Diğer iki kontrol kolaydır. $v_p$

Bu nedenle, ℚ üzerinde gerçekten ultrametrik bir mesafedir.

Diğer örnekler

Let X herhangi bir küme ve olmayacak E = X ℕ tüm süitler değerlerle X . Biz sağlamak E bir ile komple ultrametrik uzay yapısı atmak suretiyle ${\ displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid x_ {n} \ neq y_ {n} \}}$ ( başka bir deyişle : ve eğer , iki dizinin farklı olduğu ilk terimin sıralaması ise), o zaman ${\ displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = {\ frac {1} {1 + k (x, y)}}}$ veya yine keyfi bir gerçek için : ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,burada a, mesafe eşit eşdeğer için . $d$ İçin X = {0, 1}, bundan elde Cantor alanı ve için X = ℕ, Baire alanı .
Olarak genetik arasındaki mesafe genotip bir dalları boyunca filogenetik ağaç , bir ultrametrik mesafe ile ölçülebilir.

Özellikleri

İşte bir ultrametrik uzayın sezgiye aykırı görünen bazı özellikleri.

İki açık topun (veya iki kapalı topun ) ortak bir noktası varsa, birinin diğerini içermesi anlamında, kesişen toplar yoktur : ${\ displaystyle B (a, r) \ cap B (a ', r') \ neq \ varnothing {\ text {et}} r \ leq r '\ Rightarrow B (a, r) \ alt küme B (a ', r')}$ .
Bir topun herhangi bir noktası bir merkezdir: ${\ displaystyle \ forall x \ in B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
Metrik bir alanda, herhangi bir açık top açıktır , herhangi bir kapalı top kapalıdır . Bir ultrametrik uzayda ayrıca şunlara sahibiz: Sıfır olmayan yarıçaplı herhangi bir kapalı top açıktır. Açık olan herhangi bir top kapalıdır. Dolayısıyla, bu tip ultra metriklenebilir topolojik alanı olan sıfır boyut ve dolayısıyla tamamen süreksiz olan yani, bağlı bileşenler olan singletons .
: Verilen üç nokta, en yakın iki başka bir deyişle, üçüncü aynı mesafede olan "her üçgen olan ikizkenar ve en fazla eşit kenarlarına eşit onun nokta" de yazılmıştır: ${\ Displaystyle d (x, y) \ neq d (y, z) \ Sağa doğru d (x, z) = \ max (d (x, y), d (y, z))}$ .
Bir netice olması için olması Cauchy , o yeterli $(x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ ila 0.}$

Uygulama

Let X, bir ultrametrik mesafe ile bir dizi d ve izin r, pozitif bir sayı. Yarıçapı tüm toplar r tanımlanan X bir bölümü olan , X . Artırarak r 0, biz en (ıçın ayrık bölüm bu bölümler arasında bir incelik zincir oluşturur, r = 0 az cezası) (evrensel bölümü maksimum r ). Bu bazların biri otomatik sınıflandırma ile hiyerarşik gruplama .

Ayrıca görün

Notlar ve referanslar

Bu kavram, Marc Krasner tarafından tanıtıldı , " Yarı gerçek sayılar ve ultrametrik uzaylar ", Bilimler Akademisi oturumlarının haftalık raporları , cilt. 219, n o 21944, s. 433-435 ( çevrimiçi okuyun ), Raporlar: "Şimdiye kadar dikkate alınan tek ultrametrik uzaylar cisim ve cebir değerlidir " .
Dyadic Models, Terence Tao , 27 Temmuz 2007: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, metrik boşluklar içinde, Matematik Dictionary'de cebir, analiz, geometri , ed. Albin Michel, s. 652-653 .
Problem 1.b'nin düzeltilmesi, Jean Dieudonné tarafından , Elements of analysis , t. I: Modern analizin temelleri [ sürümlerin ayrıntıları ] , Çatlak. III § 14, İngilizce baskısının bakış üzerine Google Kitaplar .
Özellikle . ${\ displaystyle d (x, x) = {\ frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
Özellikle . ${\ displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
Gösterimleri için, örneğin Wikiversity'deki bu düzeltilmiş alıştırmaya bakın .
(inç) Emil Artin , Cebirsel Sayılar ve Cebirsel Fonksiyonlar , AMS ,1967, 349 s. ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 44.
IC Lerman, Otomatik sınıflandırmanın temelleri , Gauthier-Villars , 1970.