Matematikte ekstrapolasyon , hesaplanacak noktanın apsisinin, bilinen noktaların minimumunun maksimumunun üzerinde veya altında olduğu durumlarda, başka noktalardan denklemimiz olmayan bir eğrinin bir noktasının hesaplanmasıdır. Bu özelliğin dışında yöntemler enterpolasyon ile aynıdır . Öte yandan, tahmin için sinyal işlemede Norbert Wiener tarafından geliştirilen bir yöntemdir .
Ekstrapolasyon yönteminin seçimi, veri oluşturma yönteminin önceden bilinmesine bağlıdır. Daha sonra verilerin olası özellikleriyle (doğrusal bağımlılık, süreklilik, periyodiklik ...) ilgilenmek gerekir.
Doğrusal ekstrapolasyon, verilerin enterpolasyonunun bilinen verilerin sonuna teğet bir çizgi ile genişletilmesinden ve genişletilmesinden oluşur. Yalnızca veriler doğrusallığa yakın bir korelasyon gösteriyorsa iyi sonuçlar verir.
Ekstrapolat için hesaplama noktası x * ' e en yakın iki nokta ( x k -1 , y k -1 ) ve ( x k , y k ) ise, doğrusal ekstrapolasyon şu şekilde elde edilir:
( X k -1 < x * < x k ) ise doğrusal enterpolasyon buluruz . Ayrıca birkaç nokta seçebilir ve ortalama veya regresyon yoluyla doğrusal bir ekstrapolasyon oluşturabiliriz.
Kendimizi plana yerleştiriyoruz . Bir varsayalım rastgele değişken Y olan, beklenti bağlıdır x benzeşik bir şekilde, ama diğer yandan da varyans düzgündür:
β 0 ve β 1 parametreleri gerçek sabitlerdir. Belirli bir x değeri için , Y ( x ) normal bir dağılımı izler .
Bu sabitleri değerini tahmin etmek için, biz , n çiftleri ( x i , y i ) 1 ≤ i ≤ n değeri y ı bir gerçekleştirmesi Y ( x i ) ; basitleştirmek için, x i'nin artan sırada sıralandığını varsayıyoruz . Deneysel bilimlerde, çiftler ( x i , y i ) ölçülerdir.
Doğrusal regresyon , kanunun β 0 ve β 1 parametrelerinin b 0 ve b 1 tahminlerinin belirlenmesinden oluşur . Bu nedenle, herhangi bir x değeri alırsak, Y ( x ) beklentisinin y * değerinde olduğunu tahmin ederiz :
Y ( x ) gerçeklemesini alırsak - Y'yi x'te ölçersek - bulunan değer y * ' den farklı olacaktır , ancak bunun [ y * - Δ y aralığına dahil olma olasılığımız α ; y * + Δ y ] , tanımlayan:
σ * bir tahminidir burada standart sapma arasında Y , X ortalamasıdır X i , σ X üzerinde standart sapma tahmincisi olup x ve quantile olan Student dağılımının en n - risk a serbestlik 2 derece .
Ortalama x'ten uzaklaştığımızda bu güven aralığının arttığını görüyoruz :
Özel olarak, ( x - x ) 2 ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir değildir , n σ x 2 = Σ ( x i - X ) 2 , bu göre göz ardı edilemez
Birçok deneysel noktamız varsa ( n büyüktür), bu x'in [ x 1 ; x n ].
Öyleyse, bir ekstrapolasyon yaparsak - E (Y ( x )) 'in [ x 1 ; x n ] -, sonra bu tahmindeki hata doğrusal olarak artar.
Tüm veya son veri noktalarından geçen bir polinom eğrisi (doğrusal ekstrapolasyon için 2, ikinci dereceden ekstrapolasyon için 3 nokta, vb.). Eğri daha sonra son veri noktasının ötesine uzatılabilir. Bir polinom ekstrapolasyonu, Lagrangian interpolasyon teknikleri ile veya bir Newton serisi hesaplanarak gerçekleştirilebilir. Elde edilen polinom, verileri tahmin etmek için kullanılabilir.
Bununla birlikte, yüksek dereceli polinom ekstrapolasyonları için hızla kullanılamaz tahminler yaratabilen Runge fenomenini hesaba katmak gerekir .
Verinin uç noktalarına yakın 5 noktadan bir konik oluşturulabilir. Sonuç bir elips veya daire ise , ekstrapolasyon döngüye girecek ve kendi kendine geri dönecektir. Bir çıkarımı yapılan parabol veya hiperbol döngü ama değişim varyasyon olmaz.
Üstel bir eğilime sahip ancak hızlanan veya yavaşlayan faktörlere sahip veriler için bir tabanca ekstrapolasyonu düşünülebilir. Bu yöntem örneğin 1987'den beri Birleşik Krallık'ta HIV salgınının ilerlemesi için ve sonraki yıllarda CJD varyantı için tatminkar sonuçlarla kullanılmıştır.