Karakteristik fonksiyon (küme teorisi)

Gelen matematik , bir karakteristik fonksiyonu ya da gösterge işlevi a, fonksiyon bir tanımlanmış dizi E açıklar üyelik ya da bir alt F arasında E herhangi bir elemanın E .

Resmi olarak, bir E kümesinin bir F alt kümesinin karakteristik işlevi bir işlevdir:

{\ begin {dizi} {rcl} \ chi _ {F}: E & \ longrightarrow & \ {0,1 \} \\ x & \ longmapsto & \ left \ {{\ begin {matrix} 1 \ {\ mbox {si}} \ x \ \ in \ F \\ 0 \ {\ mbox {si}} \ x \ \ notin \ F \ end {matris}} \ sağ. \ end {dizi}}

Genellikle karakteristik fonksiyonu için kullanılan diğer gösterimler $F$ olan $1 F$ ve $? F$ , ya da $bir$ ( büyük i ).

Terimi gösterge işlevi bazen karakteristik fonksiyonu için kullanılmaktadır. Bu mezhep, olasılıkta kullanılan karakteristik fonksiyonla karışıklığı önler, ancak dışbükey analizde gösterge fonksiyonu ile bir başkasını indükler .

(Not: işlev $1 F$ , kimlik işlevini de belirleyebilir ).

Özellikleri

Eğer $bir$ ve $B$ iki alt kümesi olan $E$ daha sonra

{\ displaystyle \ sol (A \ subseteq B \ sağ) \ \ Leftrightarrow \ \ sol (\ chi _ {A} \ leq \ chi _ {B} \ sağ)}

{\ başla {hizalı} \ chi _ {\ overline {A}} & = 1- \ chi _ {A}, \\\ chi _ {A \ cap B} & = \ min \ {\ chi _ {A} , \ chi _ {B} \} = \ chi _ {A} \ times \ chi _ {B}, \\\ chi _ {A \ cup B} & = \ max \ {{\ chi _ {A}, \ chi _ {B}} \} = \ chi _ {A} + \ chi _ {B} - \ chi _ {A} \ times \ chi _ {B}, \\\ chi _ {A \ üçgen B} & = \ chi _ {A} + \ chi _ {B} -2 \ chi _ {A} \ times \ chi _ {B}. \ end {hizalı}}

Uygulama

{\ displaystyle \ chi: {\ mathcal {P}} (E) \ ile \ {0,1 \} ^ {E}, \ quad A \ mapsto \ chi _ {A}}

a, bijection gelen dizi alt kümelerinin $E$ ${\ mathcal {P}} (E)$ için grubu ${0, 1} D$ haritaların $E$ için ${0, 1}$ .

Ters bijection uygulamadır

{\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {E} \ - {\ mathcal {P}} (E), \ quad f \ mapsto f ^ {- 1} (\ {1 \})}

burada $f -1 ({1})$ belirtmektedir karşılıklı görüntü ile $f$ ait tekil ${1}$ , yani bir parçası, $E$ elemanları oluşan $x$ böyle $f ( x ) 1 =$ .

Süreklilik

Eğer F bir bir parçası olan topolojik alan $E$ ve eğer çift ${0, 1}$ ile donatılmış olup ayrık topoloji (ki indüklenen topolojisi ile ℝ olağan topoloji , noktalarına grubu) $E$ işlev de $χ F : E \to {0, 1}$ ise süreksiz olan sınır ait $F$ .

Misal E = ℝ ve F = ℚ

χ ℚ : ℝ \to {0, 1}

1'i herhangi bir rasyonel ve 0'ı herhangi bir irrasyonel ile ilişkilendiren işlevdir. Dirichlet fonksiyonu : ℝ → ℝ (diğer bir deyişle: bu aynı şekilde tanımlanır corestriction en

{0, 1}

olan

ki-kare ℚ

). ℝ'da, ℚ'nin sınırı ℝ'dir (çünkü ℚ ve ℝ \ ℚ ℝ cinsinden yoğun olduğundan ), bu nedenle

χ ℚ

her yerde süreksizdir. Dirichlet işlevi bu nedenle her yerde süreksizdir.

Ölçülebilirlik

Eğer $( E , Ω)$ a, ölçülebilir alan (yani eğer $Ω$ a, kabile ile $E$ ), bir parçası $E$ a, ölçülebilir grubu (yani, bu kabileye) ise ve sadece gösterge ise, ölçülebilir fonksiyon .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Basit işlev (gösterge işlevlerinin doğrusal kombinasyonu)
Aşamalı işlev (tek ölçülebilir işlev)
Kapı fonksiyonu

Kaynakça

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Gösterge fonksiyonu " ( yazarların listesini görmek ) .
(in) , Gerald Folland (in) , gerçek Analiz: Modern Teknikleri ve Uygulamaları , 2 inci baskı. John Wiley & Sons 1999
(en) Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest ve Clifford Stein , Algoritmalara Giriş , MIT Press ve McGraw-Hill ,2001, 2 nci baskı. [ baskının detayı ], § 5.2: Gösterge rasgele değişkenler, s. 94–99
(en) Martin Davis (ed.), The Undecidable , Raven Press Books, New York, 1965
(tr) Stephen Cole Kleene (1952), Metamatematik giriş , Wolters-Noordhoff ve Kuzey Hollanda, Hollanda, 6 th ed. düzeltilmiş, 1971
(in) George Boolos , John P. Burgess ve Richard Jeffrey (in) , Hesaplanabilirlik ve Mantık , Cambridge University Press , 2002 ( ISBN 978-0-521-00758-0 )
(en) Lotfi Zadeh , " Bulanık kümeler " , Bilgi ve Kontrol , cilt. 8,1965, s. 338-353 ( çevrimiçi okuyun )
(en) Joseph Goguen (en) , " L -fuzzy sets", Journal of Mathematical Analysis and Applications , cilt. 18, 1967, s. 145-174