Gelen matematik , karşılıklı bijection (ya da karşılıklı ya da karşılıklı fonksiyon a) bijection ƒ her bir elemanı ile birleşen haritasıdır varış ayarlamak eşsiz öncülü ƒ ile. Kendini not eder .
Biz düşünün haritası gelen ƒ R için R tarafından tanımlanan:
ƒ ( x ) = x 3 .Her gerçek y için , bir ve yalnızca bir gerçek x vardır, öyle ki
y = x 3 = ƒ ( x ),yani y = 8 için tek uygun x 2'dir, diğer yandan y = –27 için –3'tür. Matematiksel anlamda, biz demek x sadece öncül bir y ve ƒ bir olduğunu bijection .
Sonra gönderir uygulamayı düşünebiliriz y bu örnekte denir onun öncül için kübik kök ait y : biz bijection ƒ ait “karşılıklı” dediğimiz bu olmasıdır.
Biz aynı yapıya gerçekleştirmeye çalışırsanız kare kökü ve harita düşünün g den R için R tarafından tanımlanan:
g ( x ) = x 2 ,o kadar basit değil. Nitekim bazı y değerleri için x'in iki değeri vardır, öyle ki g ( x ) = y ; bu nedenle, y = 4 için x = 2'yi değil, aynı zamanda x = –2'yi de seçebiliriz , çünkü 2 2 = 4 ve ayrıca (–2) 2 = 4'ü de seçebiliriz . Tersine, y'nin diğer seçimleri için hiçbir x uygun değildir; bu nedenle y = -1 için x 2 = -1 denkleminin gerçek bir çözümü yoktur. Matematiksel olarak, g'nin ne nesnel ne de örtük olduğunu söylüyoruz . Bu örnekte, aşağıdaki tanımlar g'nin "karşılıklı önermesinden" (hatta "karşılıklı uygulamadan") söz etmeye izin vermez .
Eğer ƒ bir X kümesinden bir Y kümesine bir önerme ise, bu (önermelerin tanımı gereği) Y'nin her y öğesinin bir öncele sahip olduğu ve ƒ tarafından yalnızca bir tane olduğu anlamına gelir . Biz bir uygulama tanımlayabilirsiniz Yani g içinde X'e Y'den, o eşsiz tarihini birleştiren, yani,
ƒ ( g ( y )) = y .g haritası , ƒ'nin karşılıklı bijection'u olarak adlandırılan bir bijeksiyondur .
Daha genel olarak ve işlevsel gösterimleri kullanarak , ƒ bir X kümesinden bir Y kümesine bir haritaysa ve Y'den X'e bir g haritası varsa , şöyle ki:
ve ,Daha sonra ƒ ve g bijections, ve g olan karşılıklı bijection ƒ arasında.
ƒ'nin karşılıklı bijeksiyonu genellikle ƒ −1 olarak gösterilir ve bunun için x −1 = 1 / x olan negatif üslerin gösterimiyle olası karışıklığa dikkat edilir .
İkili mülkiyet:
veƒ nin aynı zamanda ƒ −1 ' in karşılıklı ifadesi olduğunu gösterir , yani
Bir bileşiğin karşılıklıİki bijeksiyonun bileşiğinin karşılığı formülle verilir.
ƒ ve g sırasının tersine döndüğünü görebiliriz; ardından ƒ “geri alma” için g , biz “geri al” gerektiğini g ƒ “geri alma” sonra.
involüsyonE'den E'ye bazı alıntılar kendi karşılıklıdır, örneğin ters harita
veya düzlemdeki herhangi bir ortogonal simetri .
Bu tür uygulamaların kapsayıcı olduğu söyleniyor .
Ara değer teoremi ve sonuç, bijection teoremi , bir aralık I üzerinde herhangi bir katı tekdüze sürekli harita ƒ (I) '= J I'den bir eşleşme tespit etmesi ve J, bir aralık olduğundan emin olun. Bu, böyle bir fonksiyonun, I'deki değerlerle J üzerinde tanımlanmış bir ters haritaya sahip olduğu anlamına gelir.
Bu özellik, olağan işlevlerin karşılıklı uygulaması olarak tanımlanan yeni işlevlerin oluşturulmasına izin verir.
Fonksiyon ƒ ( x ) | Kalkış ve varış | karşılıklı fonksiyon | Kalkış ve varış | Notlar |
---|---|---|---|---|
sıfır olmayan doğal tam sayı | ||||
kesinlikle pozitif gerçek | ||||
gerçek sıfır olmayan | ||||
Bu işlevleri kullanarak, karşılıklı harita araması , bilinmeyen x denkleminin ƒ ( x ) = y 'nin çözülmesinden oluşur :
Fonksiyon bir bijection olup ] -∞, 0] ile [3 + ∞ [ ve bunun için, çözme ile tespit etmeye çalışır, ters haritası vardır y içinde [3 + ∞ [ denklem x 2 + 3 = y , hatta x 2 = y - 3. y ≥ 3 olduğundan, bu denklemin yalnızca biri ] –∞, 0] aralığına ait olan iki çözümü vardır : x = - √ y - 3 . Ƒ karşılıklı ƒ So -1 ƒ tarafından tanımlanan -1 ( y ) = - √ y - 3 .
Bu araştırma başarısız olabilir ve yeni bir işlevin oluşturulmasını gerektirebilir. Böylece, fonksiyon bir bijection olan [0, + ∞ [ için 0 [+ ∞ [ ; karşılık gelen denklemin , x = ƒ −1 ( y )'yi yeni bir fonksiyon, Lambert'in W fonksiyonunu tanımlamayı zorunlu kılan olağan fonksiyonları kullanarak ifade edilebilir bir çözümü yoktur .
İki fonksiyon birbirinin karşılıklı olduğu zaman, bir ortonormal koordinat sistemi ile sağlanan bir düzlemdeki grafik temsilleri, y = x denkleminin (D) doğrusuna göre ( birinci açıortay olarak da adlandırılır ) birbirlerine simetriktir .
Gerçekten de, M ( x , y ) ƒ grafiğinde bir noktaysa, o zaman y = ƒ ( x ) bu nedenle x = ƒ −1 ( y ) bu nedenle M '( y , x ) ƒ'nin grafiğinde bir noktadır - 1 . Bununla birlikte, M '( y , x ) noktası , aşağıdaki iki nedenden dolayı M ( x , y ) noktasının (D) doğrusuna göre simetrisidir :
[M, M '] segmentinin orta noktası (D) doğrusu üzerindedir ve diğer yandan vektör , (D) doğrusunun yönlendirici vektörü olan (1, 1) koordinatlarının vektörüne diktir. ) (kanonik skaler çarpımı sıfırdır).
Bu nedenle s (M)'nin ƒ −1 grafiğinde bir nokta olduğunu biliyoruz . Benzer akıl yürütme, M'nin ƒ −1 'in grafiği üzerinde bir noktaysa , o zaman s (M)' nin ƒ'nin grafiği üzerinde bir nokta olduğunu kanıtlar .
Genel olarak, sürekli bir fonksiyonun tersi sürekli değildir, ancak bir I aralığındaki değerlerle J aralığındaki sürekli bir fonksiyonun tersi , bijection teoremine göre J üzerinde sürekli bir fonksiyondur .
Eğer bir aralık üzerinde sürekli bir fonksiyonudur bir aralık değerleri ve eğer kendi karşılıklıdır, fonksiyon herhangi bir noktasında türevli sürece kadar olan , sıfır olmayan bir türevidir.
Türevin de daha sonra
.Bu fenomeni anlamanın, ancak göstermemenin basit bir yolu, diferansiyel notasyonları kullanmak ve şunu fark etmektir:
makalesinde bir gösteri bulabiliriz .
Tersini analitik olarak belirlemek her zaman mümkün değildir: nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz ama nasıl hesaplayacağımızı bilmiyoruz . Daha sonra grafik veya sayısal bir yöntem kullanmak gerekir .
Grafiksel yöntem, temsili eğrinin çizilmesinden oluşur . İlgili ordinat doğrusunu çiziyoruz, bu doğrunun eğri ile kesişimini arıyoruz ve bu kesişme noktasından geçen ordinat eksenine paralel doğruyu çiziyoruz. Bu doğrunun x ekseni ile kesiştiği nokta istenilen değeri verir . Bu, çok sayıda abaküs ilkesidir .
Sayısal olarak arama , fonksiyonun köklerini aramaya benzer.
Arama domeninin - olası xs aralığının - "sınırlı" olduğunu ve fonksiyonun bu aralıkta türevlenebilir olduğunu biliyorsak , fonksiyonu doğrusallaştırabiliriz, yani onu sınırlı geliştirme ile elde edilen bir afin fonksiyon ile değiştirebiliriz.
Bu nedenle, aşağıdaki durumlarda çözümün bir yaklaşımına sahibiz :
Newton'un algoritmasının yaklaşımıdır, ancak yalnızca bir yineleme ile.
Daha karmaşık ancak yine de tersine çevrilebilir bir yaklaşım işlevi kullanmak da mümkündür.
Düzlemin dönüşümleri, düzlemin bire bir uygulamalarıdır; bu nedenle, en azından referans dönüşümleri için karşılıklıları bilmek ilginçtir.
dönüşüm | karşılıklı dönüşüm |
---|---|
vektör çevirisi | vektör çevirisi |
Merkez O veya eksen (D) simetrisi | O merkezinin veya ekseninin (D) simetrisi |
C merkezi ve k oranı ile homojenlik | Merkezi C ve oranı 1 / k olan homothety |
C merkezinin dönüşü ve θ açısı | C merkezinin dönüşü ve –θ açısı |
C merkezinin, k oranının ve θ açısının doğrudan benzerliği | C merkezinin doğrudan benzerliği, oran 1 / k ve açı –θ |
C merkezi, k oranı ve (D) ekseninin dolaylı benzerliği | C merkezinin dolaylı benzerliği, oran 1 / k ve eksen (D) |
Sürüklenen eksen (D) ve vektör simetrisi | Sürüklenen eksen (D) ve vektör simetrisi |
Eksen (D) yön yakınlığı (D ') ve oran k | Eksen (D) yön afinitesi (D ') ve oran 1/ k |
Cebir olarak, bir bijective morfizmanın gruplar, halkalar, alanlar, vektör alanlarının da aynı türden bir morfizmanın olan karşılıklı eşleme kabul ediyor. Harita ve onun karşılığına izomorfizm denir .
Hem sonlu boyutlu hem de tabanlarla donatılmış bir vektör uzayı E'den bir vektör uzayı F'ye doğrusal bir ƒ haritası durumunda , ƒ yalnızca ve sadece sabit tabanlardaki matrisi M ters çevrilebilir bir kare matris ise, çift nesnelidir. ƒ'nin tersinin bu tabanlarındaki matris , M -1 ile gösterilen M'nin ters matrisidir .
ƒ: X → Y bir harita olsun.
Bir ƒ fonksiyonunun karşılıklı fonksiyonu, ƒ'nin ters fonksiyonu ile karıştırılmamalıdır . Bu karışıklık nedeniyle ortak notasyonu ƒ sık olduğu -1 ve İngilizce terim nedeniyle karşılıklı genellikle çevirir ters , Fransızca İngilizce sıfat ise ters bazen çevirir karşılıklı Fransızca.
Yerel ters çevirme teoremi , bir ƒ fonksiyonu için karşılıklı bir haritanın yerel mevcudiyetinin koşullarını belirtir . Gerçek değişkenin fonksiyonları üzerinde basit bir teoremin genelleştirilmesidir.
ƒ bir I aralığında tanımlanmışsa ve a bir I öğesiyse, ƒ sıfır olmayan bir sürekli türev içeriyorsa daha sonra bir aralık vardır I bir yaklaşık bir , bir aralık J ƒ ( a ) yaklaşık ƒ ( a ) ve bir işlev ƒ -1 tanımlanan J ƒ ( a ) için ƒ gelen kısıtlama karşılıklı uygulaması olan I bir . Bu karşılıklı harita da ƒ ( a )' de türevlenebilir .Yerel ters çevirme teoremi, bu özelliği sonlu boyutun gerçek vektör uzayları üzerinde tanımlanan fonksiyonlara genelleştirir. “ƒ '(a) sıfır değil” koşulu daha sonra “ a'daki ƒ'nin Jacobian sıfır değildir” ile değiştirilir. Ayrıca, eğer ƒ C k sınıfındaysa , karşılıklı harita da öyledir.