Çift üstel fonksiyon

Bir çift üstel fonksiyon , üstel bir fonksiyon olan üstel bir fonksiyondur.

Genel biçim şöyledir: $f (x) = a ^ {b ^ x}$

Bu işlev basit bir üstelden daha hızlı büyür. Örneğin, $a = b = 10 için$ :

f (<1) <1,25892541;
f (0) = 10;
f (1) = 10 10 ;
f (2) = 10,100 = googol ;
f (3) = 10 1000 ;
f (100) = 10 10 100 = googolplex .

Faktöryel Yetiştirme hızlı üstel daha, ama çok daha yavaş çift üstel daha. Hiper-üstel fonksiyonu ve Ackermann fonksiyonu daha da hızlı büyürler.

Çift üstel fonksiyonun tersi, çift logaritmadır .

Çift üstel büyüme paketleri

Aho ve Sloane , bazı büyük tam sayı dizileri için , birbirini izleyen her terimin bir önceki terimin karesi artı bir sabite eşit olduğunu fark ettiler . Bu tür dizilerin, formun çift üstelinin en yakın tam sayı değerlerine yuvarlanarak hesaplanabileceğini gösterdiler . $f (x) = a ^ {2 ^ x}$

Bu şemayı izleyen tamsayı dizileri özellikle şunlardır:

Fermat sayıları :

F (m) = 2 ^ {2 ^ m} +1

Çift Mersenne :

MM (p) = 2 ^ {2 ^ p-1} -1

Birbirini takip eden terimler Sylvester serisi (devam A000058 arasında OEIS ):

s_ {n} = \ sol \ lfloor E ^ {{2 ^ {{n + 1}}}} + {\ frac 12} \ sağ \ rfloor

burada D ≈ 1,264084735305 sabit Vardi (devam A076393 arasında OEIS ).

Arity arasında mantıksal operatörler :

2 ^ {2 ^ n}

Daha genel olarak ise, n, bir tamsayı, bir dizi inci değeri bir çift üstel fonksiyon ile orantılı olan n , Ionescu ve Stanica "neredeyse iki katı üstel" olarak imal hak ve (yuvarlama gibi hesaplanabilir hangi koşullar altında göstermektedir bir çift üstel serinin kesilerek yuvarlanması) artı isteğe bağlı olarak sabit bir katsayı.

Bu tipteki diğer süitler:

Asal sayılar 2, 11, 1 361, ... (devamı A051254 ait OEIS )

a (n) = \ sol \ lfloor A ^ {3 ^ n} \ sağ \ rfloor

burada A 1.306377883863, Mills'in sabitidir .

Başvurular

Algoritmik karmaşıklık

Gelen algoritmik karmaşıklık teorisi , bazı algoritmalar çift üstel karmaşıklık şunlardır:

Presburger Aritmetiğinde Karar İşlemleri ;
Bir hesaplanması Gröbner bazında (en kötü durumda);
Karar teorisinde eksiksiz bir birleşik birleşik-değişmeli operatörler kümesi bulun
CTL + 'da çözülen problemler (aslında 2-EXP-tamamlandı );
Niceleyicilerin eliminasyonu bir üzerinde kapalı gerçek vücutta çift üstel göre en az artan zaman gerektirir (ancak bir de hesaplanabilir olup olmadığını bile bilmiyoruz İLKÖĞRETİM sınıf zaman ).

Sayı teorisi

Sayı teorisinin bazı sınırları çift üsteldir. Bir tek mükemmel sayı ile n varsa biz bile bilmiyoruz farklı asal faktörlere, en fazla 2 olan 4 n (Nielsen 2003).

Bilinen en büyük asal sayının hane sayısı , bilgisayarların hesaplamak için mevcut olmasından bu yana geçen yıl sayısına bağlı olarak çift üssel olarak gelişmiştir (yani Miller ve Wheeler , 1951'de EDSAC 1 makinesinde 79 basamaklı bir asal sayı belirlediğinden beri ).

Teorik biyoloji

Gelen nüfus dinamikleri , insan nüfusunun artışı çift üstel fonksiyonu ile yaklaşık olabileceği varsayılmıştır. Gurevich ve Varfolomeyev deneysel olarak işlevi ayarladı

{\ displaystyle N (y) = 375.6 \ cdot 1.001 ~ 85 ^ {1.007 ~ 37 ^ {y-1 ~ 000}} \,}

nerede N ( y ) yıl içinde insan nüfusu y milyonlarca.

Fiziksel

Model olarak oscilateur Toda ait öz pulsasyon , (büyük yüksekliklerinde) genliği logaritması zamanla katlanarak büyür; bu nedenle genlik, zamanın iki katına göre artar.

Referanslar

Fonksiyonların büyümesinin karşılaştırılması için Asimptotik karşılaştırma bölümüne bakınız .
(inç) AV Aho ve NJA Sloane , " Bazı çift üstel diziler " , Fibonacci Quarterly , cilt. 11, 1973, s. 429-437.
(in) E. Ionascu ve P. Stanica , " Neredeyse doğrusal olmayan bazı tekrarlamalar ve çift üslü diziler için etkili asimptotikler " , Acta Mathematica Universitatis Comenianae , cilt. LXXIII, n o 1, 2004, s. 78-87.
(inç) Deepak Kapur ve Paliath Narendran , " Çift üstel hesaplama karmaşıklığı, eksiksiz AC-birleştiriciler setine sahiptir " , Proc. 7. IEEE Symp. Bilgisayar Bilimlerinde Mantık (LICS 1992) , 1992, s. 11-21 ( çevrimiçi okuyun ) ;
(in) Ocak Johannse ve Martin Lange , " CTL + tam çift üstel zamanda içindir " , Proc. 30th Int. Colloq. Otomata, Diller ve Programlama (ICALP 2003) , Springer-Verlag, cilt. 2719, 2003, s. 767–775 ( DOI 10.1007 / 3-540-45061-0_60 , çevrimiçi okuyun )
(inç) Pace P. Nielsen , " Tek tam sayılar için bir üst sınır " , The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , cilt. 3, 2003, A14 ( çevrimiçi okuyun )
(inç) JCP Miller ve DJ Wheeler , " Büyük asal sayılar " , Nature , cilt. 168, 1951, s. 838 ( DOI 10.1038 / 168838b0 )
(in) SD Varfolomeyev ve KG Gurevich , " İnsan popülasyonunun hipereksponansiyel büyümesi makro-tarihsel ölçekti " , Journal of Theoretical Biology , cilt. 212, n o 3, 2001, s. 367–372 ( DOI 10.1006 / jtbi.2001.2384 ).
D. Kouznetsov , J.-F. Bisson , J. Li ve K. Ueda , " Osilatör Toda olarak kendi kendine atan lazer: Temel fonksiyonlar aracılığıyla yaklaşım ", Journal of Physics A: Mathematical and Theorical , cilt. 40, 2007, s. 1–18 ( DOI 10.1088 / 1751-8113 / 40/9/016 , çevrimiçi okuyun )