Sınırlı varyasyon işlevi

Olarak analiz , bir işlev söylenir sınırlı varyasyon için zaman tatmin düzenli belirli bir durumu. Bu durum, 1881'de matematikçi Camille Jordan tarafından Dirichlet'in Fourier serilerinin yakınsaması üzerine teoremini genişletmek için tanıtıldı .

Tanım

F , tamamen sıralı bir T kümesi üzerinde tanımlanmış ve metrik uzayda ( E , d ) değerlere sahip bir fonksiyon olsun .

İçin herhangi bir alt bölümü σ = ( x 0 , x 1 , ..., x , n ) arasında herhangi bir aralık ve T , tanımladığımızı V ( f , σ) için:

V(f,σ)=∑ben=1değild(f(xben-1),f(xben)).{\ displaystyle V (f, \ sigma) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} d (f (x_ {i-1}), f (x_ {i})).}

Diyoruz toplam varyasyon ve f ile T değeri V T ( f ) ∈ ℝ ile tanımlanır:

VT(f)=supσV(f,σ).{\ displaystyle V_ {T} (f) = \ sup _ {\ sigma} V (f, \ sigma).}

Bu demek f bu takdirde sınırlı bir değişkenliğe sahip üst sınırı V T ( f ) sonlu tarafından belirlenen “yay” (mutlaka sürekli değildir), diğer bir deyişle, f olan Ürdün anlamında doğrultulabilir .

Konseptin ilgisi

Fonksiyonlar monoton analizinde fonksiyonlarının önemli bir sınıfını oluştururlar. Bununla birlikte, temel cebirsel işlemler için değişmez olmama dezavantajına sahiptir: örneğin iki monoton fonksiyonun toplamı, mutlaka monoton değildir. Sınırlı varyasyonlara sahip herhangi bir fonksiyon, iki monoton fonksiyonun toplamı olduğundan ve bunun tersi , sınırlı varyasyonlu fonksiyonlar, monoton fonksiyonların bir genellemesi olarak görülebilir, ancak avantajlı olarak, toplama veya ile sağlanan sınırlı varyasyonlara sahip fonksiyonlar kümesi. çarpma bir halka oluşturur  : sınırlı varyasyonlu iki fonksiyonun toplamı ve çarpımı sınırlı varyasyonlara sahiptir.

Özellikleri

• A (sonlu veya sonsuz) toplam varyasyon sürekli fonksiyon f bir fazla gerçek segmenti [ a , b ] sadece üst sınırı olan V ( f , σ) zaman σ [alt bölümlerini erişir bir , b ], ama aynı zamanda onların σ altbölümünün adımı 0'a doğru yöneldiğinde limit, f sınırlı varyasyonlu sürekli bir fonksiyon için t ↦ V [ a , t ] ( f ) haritasının sürekli olduğunu anlıyoruz.
• Φ bir ise bijection büyüyen başka bir sipariş grubu S için T , toplam varyasyon f ile ∘φ S eşit olan f ile T .
• İçin vektör normlu alan E , sınırlı varyasyon fonksiyonları oluşturmak alt uzay fonksiyonları alan T içinde E .
• Kesinlikle sürekli olan herhangi bir işlev F (özellikle herhangi bir Lipschitzian işlevi ) sınırlı varyasyona sahiptir. Diğer bir deyişle: Eğer f olan Lebesgue anlamında integre edilebilir bir aralık ile I , daha sonra bir sabit olarak I , fonksiyon x↦F(x)=∫-dexf(t) dt{\ displaystyle x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t} sınırlı varyasyondur. Aslında,V-dex(F)≤∫-dex|f(t)|dt≤∫ben|f(t)| dt.{\ displaystyle V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ yeşil ~ \ mathrm {d} t.}
• Sınırlı varyasyona sahip herhangi bir fonksiyon ayarlanır (yani bir dizi merdiven fonksiyonunun tek tip limiti ).
• ℝ'da gerçek bir segmentin sınırlı varyasyonuna sahip fonksiyonlar , tam olarak iki artan fonksiyonun farklılıklarıdır (böyle bir f = g - h ayrışması benzersiz olmaktan çok uzaktır; f sürekli ise, g ve h sürekli seçilebilir: Örnek h ( t ) = V [ a , t ] ( f ) ve g = f + h ). Biz onların dis bu anladığım süreklilik vardır lüzumsuz ve formu en sayılabilen seti ve bu işlevler olduklarını derive hemen hemen her yerde (anlamında Lebesgue ölçümü gelen,) lokal olarak integrallenebilirdir türevleri .
• Böyle fonksiyon olarak sonsuz toplam varyasyon ile türetilebilen fonksiyonları vardır ön tanımlı [-1, 1] tarafından f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 ) , eğer X ≠ 0 ve f (0) = 0 .

Çok değişkenli fonksiyonlara genelleme

Vitali varyasyonu ile çok değişkenli fonksiyonlara genişletilmiş bir tanım yapılabilir. Vitali tarafından önerilen, Lebesgue ve Fréchet tarafından devralındı.

F bir blokta tanımlanmış bir fonksiyon olsun . Dikkat ediyoruz: [-de1,b1]×⋯×[-dedeğil,bdeğil]⊆Rdeğil{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Δhk(f,x)=f(x1,x2,⋯,xk+hk,⋯,xdeğil)-f(x1,x2,⋯,xk,⋯,xdeğil){\ displaystyle \ Delta _ {h_ {k}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n} ) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})}

sonra, yinelemeli olarak,

Δh1,h2,⋯,hk(f,x)=Δhk(Δh1,h2,⋯,hk-1,x).{\ displaystyle \ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}} (f, x) = \ Delta _ {h_ {k}} (\ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k-1}}, x).}

Daha sonra her yön için kendimize bir dizi nokta veririz veπk{\ displaystyle \ pi _ {k}}-dek=tk1<tk2<⋯<tkDEĞİLk+1=bk{\ displaystyle a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {N_ {k} +1} = b_ {k}}hkben=tkben+1-tkben.{\ displaystyle h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {i + 1} -t_ {k} ^ {i}.}

Arasında Vitali'nin anlamda varyasyon f ile verilir:

Vdeğil(f)=sup(π1,...πdeğil)∑k=1değil∑benk=1DEĞİLk|Δh1ben1,h2ben2,⋯,hkbenk(f,(x1ben1,x2ben2,⋯,xkbenk))|{\ displaystyle V ^ {n} (f) = \ sup _ {(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})} \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} \ toplam _ {i_ {k} = 1} ^ {N_ {k}} \ left | \ Delta _ {h_ {1} ^ {i_ {1}}, h_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, h_ {k} ^ {i_ {k}}} \ left (f, (x_ {1} ^ {i_ {1}}, x_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, x_ {k} ^ { i_ {k}}) \ sağ) \ sağ |}

Bu varyasyon tanımı, Hardy-Krause varyasyonunun tanımıyla genişletilebilir:

Hardy-Krause varyasyon f ile elde edilir:

V(f)=∑Vdeğil(f){\ displaystyle V (f) = \ toplamı V ^ {n} (f)}

burada toplam, boyut bloğunun tüm alt aralıklarının tüm yüzlerinde, n'den küçük veya n'ye eşittir .[-de1,b1]×⋯×[-dedeğil,bdeğil]⊆Rdeğil{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Notlar ve referanslar

Notlar

1. Karşı örnek  : f  : x ↦ -x ve g  : x ↦ x 3 fonksiyonlarının her ikisi de monotondur, ancak f + g değildir.

Referanslar

1. Godfrey Harold Hardy (  İngilizceden Alexandre Moreau tarafından çevrilmiştir ), "Camille Jordan" , Matematik ve matematikçiler , Nitens,2018( 1 st  ed. 1922) ( ISBN  9782901122005 ).
2. Gustave Choquet , Analiz Kursu, Cilt II: Topoloji , s. 99-106.
3. Xavier Gourdon, Maths mind: Analysis , Paris, Ellipses,2008, 2 nci  baskı. ( 1 st  ed. 1994), 432  , s. ( ISBN  978-2-7298-3759-4 ) , böl.  2 ("Gerçek değişkenin fonksiyonları").
4. (in) J. Yeh , Gerçek Analiz: Ölçü ve Entegrasyon Teorisi , Dünya Bilimsel,2006, 2 nci  baskı. , 738  p. ( ISBN  978-981-256-653-9 , çevrimiçi okuyun ) , s.  265 : "  Sınırlı Varyasyon Fonksiyonlarının Jordan Ayrıştırılması  "
5. (it) G. Vitali , "  Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali  " , Atti Accad. Sci. Torino , cilt.  43,1908, s.  229-246
6. (De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Bandı. ,1921

Dış bağlantı

(en) "Sınırlı varyasyon işlevi" , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , çevrimiçi okuyun )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">