G-umut

Olarak olasılık teorisi , g-beklenti bir tanımlanmış bir doğrusal olmayan bir beklenti retrograd stokastik diferansiyel denklem tarafından ortaya (EDSR) Shige Peng .

Tanım

Bir probabilized uzayı ile bir Wiener işleminde ebatlan d (bu alan üzerinde). Ya ie tarafından üretilen filtrasyon ya da ölçülebilir bir rastgele değişken . Aşağıdakiler tarafından verilen EDSR'yi düşünün: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle (W_ {t})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = \ sigma (W_ {s}: s \ [0, t])}$ $X$ ${\ mathcal {F}} _ {T}$

{\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} & = g (t, Y_ {t}, Z_ {t}) \, dt-Z_ {t} \, dW_ {t} \\ Y_ {T} & = X \ end {hizalı}}}

O zaman için g-umut verilir . Eğer Not boyutu bir vektördür m , o zaman (her zaman için ) boyutu bir vektör olan m ve büyüklükte bir matristir . $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_ {0}}$ $X$ $YT}$ $t$ $Z_t$ ${\ displaystyle m \ kere d}$

Aslında koşullu beklenti verilir ve benzer geliyor koşullu beklenti için resmi tanımına her şey için (fonksiyon olan gösterge fonksiyonu ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]: = Y_ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]] = \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]}$ ${\ mathcal {F}} _ {t}} içinde {\ displaystyle A \$ $1$

Varlık ve benzersizlik

Ya tatmin edici: ${\ displaystyle g: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d} \ - \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle g (\ cdot, y, z)}$ a, - uygun bir işlem tüm ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle (y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d}}$
${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | g (t, 0,0) | \, dt \ içinde L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {T}, \ mathbb {P})}$ L2 alanı ( bir norm olduğu ) ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $\ mathbb {R} ^ {m}$
$g$ Bir olan Lipschitzian haritalama içinde her şey için, yani ve geliyor bir sabiti ${\ displaystyle (y, z)}$ ${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times d}}$ ${\ displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) - g (t, y_ {2}, z_ {2}) | \ leq C (| y_ {1} -y_ {2} | + | z_ {1} -z_ {2} |)}$ $VS$

Daha sonra, herhangi bir rasgele değişken için , geriye doğru stokastik diferansiyel denklemi karşılayan benzersiz bir uyarlanmış süreç çifti vardır . ${\ displaystyle X \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle (Y, Z)}$

Özellikle, ayrıca kontrol ederse : $g$

$g$ zaman içinde süreklidir ( ) $t$
${\ displaystyle g (t, y, 0) \ eşdeğeri 0}$ herşey için ${\ displaystyle (t, y) \ [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m}} içinde$

daha sonra terminal koşulu için çözüm süreçlerinin kare ile integrallenebilir olduğu görülür. Böylelikle her zaman kare integral alınabilir . ${\ displaystyle X \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle (Y, Z)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X | {\ mathcal {F}} _ {t}]}$ $t$

Ayrıca görün

Beklenti

Referanslar

Philippe Briand, François Coquet, Ying Hu, Jean Mémin ve Shige Peng, " BSDE'ler ve İlgili g-Beklenti Özellikleri için Ters Karşılaştırma Teoremi ", Olasılıkta Elektronik İletişim , cilt. 5, n o 13,2000, s. 101–117 ( DOI 10.1214 / ecp.v5-1025 , çevrimiçi okuma [PDF] , 2 Ağustos 2012'de erişildi )
S. Peng , Finansta Stokastik Yöntemler , cilt. 1856, cilt. "Matematikte Ders Notları",2004, 165–138 s. ( ISBN 978-3-540-22953-7 , DOI 10.1007 / 978-3-540-44644-6_4 , çevrimiçi oku [ arşiviMart 3, 2016] [PDF] ), "Doğrusal Olmayan Beklentiler, Doğrusal Olmayan Değerlendirmeler ve Risk Ölçüleri"
Z. Chen , T. Chen ve M. Davison , " Choquet beklentisi ve Peng'in g-beklentisi, " Olasılık Yıllıkları , cilt. 33, n o 3,2005, s. 1179 ( DOI 10.1214 / 009117904000001053 , arXiv matematik / 0506598 )