Klein grubu

Bu makalede ise anahat ilişkin cebir .

İlgili projelerin tavsiyelerine göre bilginizi geliştirerek ( nasıl ? ) paylaşabilirsiniz .

Gelen matematik , Klein grubu , iki biri kadar isomorphism için olan gruplar dört elemanları, diğeri ile birlikte siklik bir grup ; döngüsel olmayan en küçük gruptur. 1884'te "ikosahedron ve beşinci dereceden denklemleri çözme kursunda" "Vierergruppe" ( dörtlü grup ) olarak adlandırılan Alman matematikçi Felix Klein'ın adını taşıyor . $C_ {4}$

Tanım

Klein grubu tamamen üç farklı elemanlar olması ile tanımlanır nötr element e bir sahiptir düzeni 2'ye eşit (bunlar involutive ) ve bunların farklı iki ürün üçüncü eşittir. Unsurları ve kanunu çarpımsal olarak not edilerek tablosu şöyle yazılır: ${\ görüntü stili e, a, b, c}$

$\ cdot$	e	NS	B	vs
e	e	NS	B	vs
NS	NS	e	vs	B
B	B	vs	e	NS
vs	vs	B	NS	e

Şu notasyonları karşılıyoruz: ( Vierergruppe'nin baş harfidir). ${\ displaystyle \ {e, a, b, c \} = K_ {4}, V, {\ metin {veya}} V_ {4}}$ $V$

Özellikleri

Tablo simetrik olduğundan, yasa değişmeli: bir değişmeli gruptur . $_ {4}$
e'nin köşegeni, her elemanın kendi simetrik olduğunu gösterir, bu da involüsyona eşdeğerdir.
$_ {4}$ seçkin alt grupları olan basit bir grup değildir . ${\ displaystyle \ {e, a \}, \ {e, b \}, \ {e, c \}}$
$_ {4}$ 2. dereceden iki elemanı tarafından üretilir, örneğin a ve b , minimal ilişkiler . ${\ görüntü stili a ^ {2} = e, b ^ {2} = e, ab = ba}$
Sonuç olarak, ikinci dereceden iki eleman tarafından üretilen herhangi bir alt grup, Klein grubuna eşbiçimlidir.

Klein grubu modelleri

1) Herhangi bir grup gibi , burada öğelerinin sayısını indeksleyen simetrik grubun bir alt grubuna izomorfik . İki ayrık yer değiştirmenin üç ürününü iki mertebenin üç elemanı olarak alabiliriz . Grup daha sonra a, ayırt edici alt grup arasında . Ve bu permütasyonlar eşit olduğundan , alternatif grubun seçkin bir alt grubudur ( basit olmadığı tek durumdur ). $_ {4}$ $S_ {4}$ ${\ displaystyle s_ {1} = (1,2) \ daire (3,4), \, s_ {2} = (1,3) \ daire (2,4), \, s_ {3} = (1 , 4) \ daire (2,3)}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {1}, s_ {2}, s_ {3} \}}$ $S_ {4}$ $bir_ {4}$ $sayı = 4$ $Yıl}$
2) İki ayrık yer değiştirmeyi ve bunların çarpımını düzenin öğeleri olarak da alabiliriz, örneğin . Ancak grup içinde ayırt edilmez . Bu grup, zıt grafiğin otomorfizmaları grubudur (örneğin). ${\ görüntü stili t_ {1} = (1,2), t_ {2} = (3,4), s = (1,2) \ döngü (3,4)}$ ${\ displaystyle \ {id, t_ {1}, t_ {2}, s \}}$ $S_ {4}$
3) izomorfik için , doğrudan ürün bir siklik grup başına 2 seviyesinde. K4{\ görüntü stili K_ {4}} $_ {4}$ VS2×VS2=(VS2)2{\ displaystyle C_ {2} \ kere C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}} ${\ displaystyle C_ {2} \ kere C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}}$
- 3.a) Katkı grubunu model alarak , toplamlar tablosunu elde ederiz: $C_2$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}} = \ {{\ üst üste {0}}, {\ üst üste {1}} \}}$

+	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 0 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 1 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )
( 0 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )
( 1 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )

Çarpma işlemi ona birim eleman değişmeli halka yapısını iletir ve verir . Diğer iki sıfır olmayan eleman birim kare ve sıfır çarpımdır (bu nedenle halka ayrılmaz değildir). ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {2}}$ ${\ görüntü stili ({\ overline {1}}, {\ overline {1}})}$

3.b) Çarpım grubunu model alarak tablo çarpım grubunu elde ederiz: $C_2$ ${\ görüntü stili \ {1, -1 \}}$

$\ zamanlar$	(1.1)	(-1.1)	(1, -1)	(-1, -1)
(0.0)	(1.1)	(-1.1)	(1, -1)	(1.1)
(-1.1)	(-1.1)	(1.1)	(-1, -1)	(1, -1)
(1, -1)	(1, -1)	(-1, -1)	(1.1)	(-1.1)
(1.1)	(1.1)	(1, -1)	(-1.1)	(1.1)

3.c) Sonuncusu, 1 ve -1'den oluşan kare matrislerin iki mertebeden iki köşegeninin çarpımsal grubuna doğrudan izomorfiktir: . ${\ displaystyle \ left \ {{\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, {\ startup {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, {\ başlangıç {pmatrix} - 1 ve 0 \\ 0 ve 1 \ bitiş {pmatrix}}, {\ başlangıç {pmatrix} -1 ve 0 \\ 0 ve -1 \ bitiş {pmatrix}} \ sağ \}}$

4) Dihedral grup ile izomorfik olduğundan , Klein grubu ile izomorfiktir . ${\ görüntü stili D_ {2n}}$ ${\ displaystyle C_ {n} \ kere C_ {2}}$ ${\ görüntü stili D_ {4}}$

5) Klein grubu, sekiz elementli grubun birkaç alt grubuna izomorfiktir ; aslında iki farklı nötr olmayan element tarafından üretilen tüm alt gruplar Klein gruplarıdır. Örneğin, model olarak alınır : ${\ görüntü stili (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ görüntü stili (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ $C_2$
5.a) matris çarpımsal eşdeğeri olan ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ üst üste {0}}), ({\ üst çizgi {1}}, {\ üst çizgi {0}}, {\ üst çizgi {1}}), ({\ üst çizgi {0}}, {\ üst çizgi {1}}, {\ üst üste {1}}) \}}$
5.b) . ${\ displaystyle \ sol \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (- 1, -1,1), {\ text {diag}} (- 1, 1, -1), {\ metin {diag}} (1, -1, -1) \ sağ \}}$
5.c) veya matris çarpımsal eşdeğeri olan tekrar ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ üst üste {1}}), ({\ üst çizgi {1}}, {\ üst çizgi {1}}, {\ üst çizgi {0}}), ({\ üst çizgi {0}}, {\ üst çizgi {0}}, {\ üst üste {1}}) \}}$
5.d) ${\ displaystyle \ sol \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (- 1, -1, -1), {\ text {diag}} (- 1 , -1,1), {\ metin {diag}} (1,1, -1) \ sağ \}}$
5.e) veya matris çarpımsal eşdeğeri olan tekrar ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ üst üste {1}}), ({\ üst üste {0}}, {\ üst üste {1}}, {\ üst üste {0}}), ({\ üst üste {0}}, {\ üst üste {1}}, {\ üst üste {1}}) \}}$
5.f) ${\ displaystyle \ sol \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (1,1, -1), {\ text {diag}} (1, -1 , 1), {\ metin {diag}} (1, -1, -1) \ sağ \}}$
6) Klein bir grup, grup izomorf arasında tersinir elemanlarının halka elemanları, aynı zamanda elemanlarına . Dört elementin olduğu diğer iki durumda ( ) döngüseldir.(Z/8Z)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}Z/8Z{\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {3}}, {\ overline {5}} = - {\ overline {3}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {1 }}}$ (Z/12Z)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {12 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {5}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {5}}, {\ overline {11}} = - {\ overline {1 }}}$ ${\ görüntü stili n = 5.10}$ (Z/olumsuzlukZ)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {n {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}
7) Geometrik olarak, ikinci boyutta, Klein grubu, küresel olarak değişmeyen bir dikdörtgen veya bir eşkenar dörtgen (kare olmayan) bırakan, muhtemelen bir segmente indirgenen izometriler grubuna izomorfiktir. Dört öğe daha sonra kimlik kimliği , medyanlar boyunca iki yansıma ve merkezin merkezi simetrisi çokgenin merkezidir, dolayısıyla tablo: ${\ görüntü stili s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ görüntü stili s_ {O}}$

$\ daire$	İD	$s_ {x}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {O}}$
İD	İD	$s_ {x}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {O}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	İD	${\ görüntü stili s_ {z}}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$
${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {O}}$	İD	$s_ {x}$
${\ görüntü stili s_ {O}}$	${\ görüntü stili s_ {O}}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {O}}$	İD

Şekil bir kare ise, ayrıca köşegenlere ve açıların dönüşlerine göre iki yansıma , yani 8 mertebesinde dihedral grubu oluşturan 8 eleman vardır . ${\ displaystyle \ pm 90 ^ {\ circ}}$ ${\ görüntü stili D_ {8}}$

Önceki dönüşümlerin matrislerine geçildiğinde, 3) c)'de görülen çarpımsal matris gösterimi elde edilir.

9) Üçüncü boyutta, Klein grubu, küresel olarak değişmeyen kübik olmayan dikdörtgen paralel yüzlü bir izometriler grubuyla izomorfiktir . Bu nedenle bazen şilte grubu ( dönüş ) olarak adlandırılır . Üç iç içe geçen eleman, paralel borunun üç simetri ekseni etrafındaki dönüşlerdir. Dikkate alındığında, tabloyu alıyoruz: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$

$\ daire$	İD	$s_ {x}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {z}}$
İD	İD	$s_ {x}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {z}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	İD	${\ görüntü stili s_ {z}}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$
${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	${\ görüntü stili s_ {z}}$	İD	$s_ {x}$
${\ görüntü stili s_ {z}}$	${\ görüntü stili s_ {z}}$	${\ görüntü stili s_ {y}}$	$s_ {x}$	İD

Karşıdaki şekilde, üç tersine çevirme, havacılık formülasyonlarından sonra adlandırılır: yuvarlanma , eğim , sapma .

Önceki dönüşümlerin matrislerine geçildiğinde, 5.b)'de görülen çarpımsal matris gösterimi elde edilir.

Boyutta, üç tane 10), üç ortogonal düzlemde göre üç yansımaların oluşturulan grubu, iki iki formları sekiz elemanları ile bir grup üç ters üzerinde görülür ve merkezi orta simetri O. Bu grup izomorf böylece kimliğin iki farklı öğesi bir Klein grubu oluşturur. Örneğin , 9 görülen grubu) oluşturmak oluşturmak ), matrisin eşdeğer 5.f ve oluşturmak ), matrisin eşdeğerdir 5.d. Böylece Klein grubuna yedi izomorf alt grubu vardır. ${\ görüntü stili xOy, xOz, yOz}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {yz}, s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, s_ {O} \}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$ ${\ görüntü stili s_ {O}}$ ${\ görüntü stili (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ görüntü stili s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ görüntü stili s_ {xy}, s_ {xz}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {x} \}}$ ${\ görüntü stili s_ {O}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {O}, s_ {z}, s_ {xy} \}}$ ${\ görüntü stili (C_ {2}) ^ {3}}$
11) Daha genel olarak, Klein alt grupları - vektör uzayının iki boyutlu vektör alt uzaylarına karşılık gelir ; sayıları bu nedenle binom Gauss katsayısıdır . ${\ görüntü stili (C_ {2}) ^ {n}}$ (Z/2Z){\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}})}(Z/2Z)olumsuzluk{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {n}} ${\ displaystyle {n \ 2 seç} _ {2} = {\ frac {(2 ^ {n} -1) (2 ^ {n} -2)} {6}}}$
12) Klein grubu ayrıca simetrik farkla donatılmış iki elemanlı bir kümenin parça kümesine eşbiçimlidir . Hangi tabloyu verir: $\ {a, b \}$

$\Delta$	$\ hiçbir şey$	$\{NS\}$	$\ {B \}$	$\ {a, b \}$
$\ hiçbir şey$	$\ hiçbir şey$	$\{NS\}$	$\ {B \}$	$\ {a, b \}$
$\{NS\}$	$\{NS\}$	$\ hiçbir şey$	$\ {a, b \}$	$\ {B \}$
$\ {B \}$	$\ {B \}$	$\ {a, b \}$	$\ hiçbir şey$	$\{NS\}$
$\ {a, b \}$	$\ {a, b \}$	$\ {B \}$	$\{NS\}$	$\ hiçbir şey$

"Kesişim" yasası daha sonra birim elemanın değişmeli halka yapısına, 3) a)'da görülen halkaya izomorfik bir halka verir. ${\ görüntü stili (P (\ {a, b \}), \ Delta, \ cap)}$ $\ {a, b \}$

13) Polinom iki elemanlı alanda indirgenemez , bölüm 4 elemanlı ve toplama kısmı Klein grubu olan bir alandır . Burada birim elemanının sıfır olmayan iki farklı elemanı birbirine zıttır. Tablolarımız var: ${\ görüntü stili P = 1 + X + X ^ {2}}$ $F_2$ ${\ displaystyle F_ {2} (X) / P}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {X}} = \ varphi, \ varphi ^ {2} = {\ overline {1}} + \ varphi}$

+	0	1	φ	φ ²
0	0	1	φ	φ²
1	1	0	φ²	φ
φ	φ	φ²	0	1
φ ²	φ²	φ	1	0

$\ zamanlar$	1	φ	φ ²
0	0	0	0
1	1	φ	φ²
φ	φ	φ²	1
φ ²	φ²	1	φ

Etnolojide uygulama

In Akrabalık ait İlköğretim Yapıları , etnolog Claude Lévi-Strauss matematikçi yardımıyla, André Weil , grubun Klein'ın kavramını kullanarak temel akrabalık yapı kavramını tanımlar. Gelen Mitleri Yapısı , Levi-Strauss kurma Klein'ın gruplarını yeniden kullanılacaktır mitin kanonik formülü .

Notlar ve referanslar

(de) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , Leipzig, Teubner,1884, 12 ve 13 s. ( çevrimiçi okuyun )
Paul Jolissaint, Okuma Notları: Gruplar ve Etnoloji : HTML versiyonu veya PDF versiyonu .