Gelen cebirsel geometri , grup arasında Picard bir ilişkili bir grup olduğu cebirsel çeşitli daha genel olarak, bir ya da model . Bu grup genellikle izomorftur bölenler arasında Cartier . Eğer K a, numarası alanı , tamsayılar halkasının Picard grubu K başkadır sınıfların grubu arasında K . İçin cebirsel eğriler ve değişmeli manifold Picard grubu (ya da daha doğrusu Picard funktor ), sırasıyla yapı sağlar Jakobien ve çift değişmeli manifoldu . Bu yapı genel olarak düzgün projektif manifoldlar için mevcuttur .
Yapısal kirişli bir diyagram düşünün . Bir ters çevrilebilir kiriş üzerinde bir olduğu yerel olarak serbest tutarlı ışın rank 1. Bu araçlar arasında bir kirişidir -modüller ve herhangi bir nokta, bir açık mahalle sahip bu izomorf . İle tanımlanan çift ışın
Tüm açık için bir de daha sonra bir ters çevrilebilir demeti ve biz tensör ürünün kanonik demetleri izomorfizm sahip olan .
Tanım tersinir kasnakların izomorfizm sınıflarının seti olarak adlandırılır Picard grubu arasında ve resmi gösterilir ( ). Tensör ürünü, Pic ( ) üzerinde onu değişmeli bir grup yapan bir çarpma yasasını indükler . Nötr öğe, sınıfıdır ve sınıfının tersi , ikili sınıfıdır .
Zariski en kohomolojisi açısından, Picard grubu grubuna izomorf olan ters çevrilebilir elemanların sheaf için bir . Etale veya FPPF kohomolojisi olarak Picard grubu izomorf burada bu demet (Etale veya FPPF) olduğu ilişkilendirir .
Eğer diyagramları bir morfizmanın tarafından karşılıklı görüntü indükler Picard gruba homomorfizması
.
Bir alan üzerinde bir projektif manifold olduğunda , herhangi bir ters çevrilebilir demet ile göreceli bir tam sayı olan bir dereceyi ilişkilendirebiliriz .
Bir alan üzerinde geometrik olarak bağlantılı bir düzgün projektif eğri ise , 0 derece ters çevrilebilir kasnaklara karşılık gelen Pic grubu, Jacobian'ın rasyonel noktalarının grubudur , en azından uygun alanlar için (örneğin cebirsel olarak kapalı veya sonlu) veya bir rasyonel nokta. Pic ( ) ' nin bir alt grubudur ve bölüm grubu Pic ( ) / Pic izomorfiktir .
Eğer olan bir spektrumu Dedekind halkası , daha sonra Pic ( ) izomorf sınıfların grup arasında (ana fraksiyonel ideallerinin grubu ile fraksiyonel ideallerin grubunun bölüm). Özellikle, Pic ( ) önemsizdir ve ancak ve ancak asıl ise.
Biz tarafından ifade üzerine demeti rasyonel fonksiyonların . Genel durumda tanımı biraz karmaşıktır. Ama eğer ayrılmaz bir parçasıdır, kesitlerinin halka boş olmayan bir açıkken üzerinde kesirleri sadece alanıdır herhangi bir açık benzeşik için bir . Yapım gereği, içeren bir halka demetidir . Biz bu nedenle, ters çevrilebilir elemanlarının grupların kasnakların bir içerme var içinde . Kesin bir grup grupları dizisine sahibiz
Tanım olarak, Cartier bölenler grubu, küresel bölümler grubudur . Bu grubun bölümünü, grubun kanonik görüntüsü ile CaCl ( ) ile gösteriyoruz (bu görüntü, temel Cartier bölenlerine karşılık gelir). Uzun kesin kohomoloji dizisi, enjekte edici bir homomorfizm verir
.Cartier bölenlerinin yerel temsili, bu homomorfizmi açıklığa kavuşturmayı mümkün kılar ve bu homomorfizmin görüntüsünün, içerdiği ters çevrilebilir kasnakların izomorfizm sınıfları kümesi olduğunu görüyoruz .
Bu nedenle, Cartier bölenlerinin denklik sınıfları grubu ile Picard grubu arasında, bir alan üzerinde yarı yansıtmalı bir manifold olduğunda veya bir integral şema olduğunda bir izomorfizme sahibiz .
Izin vermek diyagramların bir morfizmi. Herhangi bir -şema için , Picard grubunu ve izdüşüm morfizminin nerede olduğuna göre bölümünü dikkate alabiliriz . Böylelikle şema kategorisinden değişmeli gruplar kategorisine bir çelişkili fonksiyon elde ederiz.
Bu, diyagram kategorisinde étale veya fppf topolojisi için bir ön paket tanımlar . Picard funktor ilişkili Etale demet veya FPPF gösterilir ve adı göreli Picard functor . . Belirli koşullar altında bu functor, üzerinde bir grup şeması ile temsil edilebilir . Bu, örneğin geometrik olarak ilişkili liflerin olduğu düzgün bir projektif eğri olduğu durumdur . Nötr bileşen grubu şemasının tam olarak Jacobi arasında (ki burada olağan bir durumdur bir gövde tayfıdır).