Olmayan değişmeli geometrisi tarafından geliştirilen, Alain Connes , bir dalı olan matematik , spesifik olarak bir tür geometri ayrı cebirsel cebirsel geometri genellikle (geliştirdiği anlaşılmaktadır olarak Alexander Grothendieck tanımlanmış nesneler ile ilgilenen gibi) olmayan değişmeli cebirsel yapılara .
Ana fikir, olağan geometri anlamındaki bir alanın , bu alanda tanımlanan dijital işlevler seti ile tanımlanabileceğidir. Bu fonksiyonlar kümesi , aynı zamanda değişmeli olan bir alan üzerinde ilişkisel bir cebir oluşturur : iki fonksiyonun çarpımı, bir sıra seçimine bağlı değildir. O zaman, değişmeli olmayan birleşmeli cebirleri, değişmeli olmayan torus gibi "değişmeyen uzaylarda" "fonksiyon cebirleri" olarak görmeyi düşünebiliriz .
Birçok geometrik soruya modern yaklaşım, incelemek istediğimiz alanda tanımlanan işlevlere odaklanmaktır. Örneğin, Riemann manifoldlarının geometrisi çalışması, merkezi bir araç olarak Riemann-Roch teoremi ve genellemeleri ile manifold üzerinde tanımlanan meromorfik fonksiyonların incelenmesini içerir ; cebirsel geometrisi tarafından recast içinde Grothendieck , genel işlevleri (çalışma hasredilir desenler ). Bu işlev kümeleri, toplama ve çarpma için, çoğu durumda karşılık gelen uzayı karakterize eden değişmeli halkaları oluşturur; bu uzayların bir anlamda değişmeli bir topolojiye sahip olduğunu söyleyebiliriz .
Değişmeli olmayan bir geometrinin "hayali", "işlevler" olarak kabul edilen, halkanın elemanlarının desteği olarak yorumlanabilecek değişmeyen halkalar "boşlukları" ile benzer şekilde ilişkilendirmektir. Oldukça önemsiz olmayan karşılık gelen genellemeler, değişmeli olmayan topolojilerle sağlanan değişmeli olmayan uzaylar olarak adlandırılır .
Teknik açıdan, Alain Connes tarafından geliştirilen teorinin bir kısmının kökleri, özellikle ergodik teoriden daha eski yaklaşımlara dayanmaktadır . 1970 civarında George Mackey , ergodik grup eylemleri için homojen alanlar (genişletilmiş anlamda) olacak bir sanal alt grup teorisi yarattı ; bu teori şimdi değişmeli olmayan geometrinin özel bir durumu olarak yorumlanıyor.
1997'de Alain Connes, değişmeyen geometrinin M teorisine uygulamalarını keşfetti ve bu da fizikçilerin onunla ilgilenmesine neden oldu; özellikle kuantum alan teorisinde çeşitli ve beklenmedik uygulamalar ortaya çıktı .
Gelfand temsili (in) bir ile ortakları değişmeli C * cebiri ile ( ikilik ) bir yerel kompakt ayrılmış alan ; değişmeli olmayan durumda bile, bir C * - cebiri S ile spektrum adı verilen bir topolojik uzay - ilişkilendirebiliriz ; sık sık o zaman söylemek s bir olan nonkomutatif uzay .
Σ-sonlu ölçülen uzaylar ve değişmeli Von Neumann cebirleri arasında da bir ikilik vardır , biz de aynı şekilde değişmeli olmayan ölçülü uzaylar olarak adlandırılan değişmeli olmayan Von Neumann cebir nesneleriyle ilişkilendiririz .
Bir Riemann manifoldu M , ek yapılarla sağlanan topolojik bir uzaydır; cebir Cı ( M boyunca sürekli fonksiyonların) M sadece topolojisi yeniden sağlar. Riemann yapısını yeniden oluşturmaya izin veren bir cebirsel değişmezlik , Alain Connes tarafından Atiyah-Singer indeksinin teoreminden esinlenerek spektral üçlü (en) adı altında tanıtıldı . Dış cebirin paketi olan M'nin yukarısındaki düz bir vektör demetinden E inşa edilmiştir . Hilbert uzayı L 2 ( E , E bölümlerinin) E integrallenebilirdir kare temsil C ( M) (çarpma operatörler tarafından); Biz sınırsız bir operatör tanımlayabilir D ile L 2 ( E , E ) a kompakt X'nun ayarlanır öyle ki geçiş [ D , f zaman] sınırlanan f ayırt edilebilirdir. 2008'de Alain Connes , bir Riemann çeşidi olarak M'nin bu üçlü ile karakterize edildiğini gösterdi.
Bu kablolar, bir üçlü olarak olmayan bir değişmeli Riemannsal manifoldu (tanımlamak için bir , H , D , bir C * cebiri bir temsili ile oluşturulan) bir Hilbert alanı (non-değişmeli) H , ve sınırsız bir operatör D ile H , örneğin [olarak birlikte kompakt bir çözme, D , bir tüm] sınırlanan sahip bazı yoğun altcebirine bir . Bu konudaki araştırmalar çok aktiftir ve değişmeli olmayan Riemann manifoldlarının birçok örneği oluşturulmuştur.
İkilik arasında afin düzenleri ve değişmeli halkalar potansiyel benzer bir tanımlamak olmayan değişmeli afin şemaları kategorisi olarak çift kategorisinin üniter halkaları . Bu bağlamda, Zariski topolojisinin bazı genellemeleri, bu afin diyagramları daha genel nesnelerle ilişkilendirmeye izin verir.
Proj inşaatı (en) , bir ilgili değişmeli halka aynı zamanda bir satır izlenmesi, değişmeli durumunda uzatılabilir mezun Serre en teoremi kategorisine tutarlı kasnakların . Bu uzantı, Michael Artin ve JJ Zhang tarafından değişmeli olmayan projektif geometrinin bir tanımı olarak alınmıştır .
Teoriyi motive eden sorulardan biri, homoloji gibi klasik topolojik değişmezleri değişmeli olmayan duruma genişletme ve daha kesin olarak bunları değişmeli olmayan operatörlerin cebirlerinden dualite ile tanımlama olasılığıdır .
Alain Connes'in bu yöndeki başlangıç noktalarından biri, yeni bir kohomolojik teori, döngüsel kohomoloji ve bunun cebirsel K-teorisi ile olan ilişkisini (Connes - Chern karakterleri aracılığıyla) keşfetmesidir.
Teorisi karakteristik sınıflar arasında türevlenebilir manifoldlar siklik kohomolojisi araçları kullanılarak spektral üçe kadar uzatılabilir; bu nedenle, bu uzantıdaki temel karakteristik sınıf, JLO cocycle (en) , Chern'in karakterini genelleştirir . İndeks teoreminin birkaç genellemesi , sayısal değişmezlerin üçlülerden etkili bir şekilde çıkarılmasına izin verir.