biçimcilik

Gelen matematik terimi " morfizmanın " karşılaştırma birbirine matematiksel nesneler ile ilgilidir sağlayan bir temel kavramını gösterir.

Olarak genel cebir , bir morfizmanın (veya homomorfizması ) bir bir uygulama arasında iki cebirsel yapılar aynı türden, yani setleri ile donatılmış kanunlarına iç veya dış bileşimin (örneğin, iki grup ya da iki vektör uzayı ), belirli özellikleri saygı olan bir yapıdan diğerine geçerken.

Daha genel olarak, morfizm kavramı kategori teorisindeki temel kavramlardan biridir ; o zaman bu mutlaka bir uygulama değil, iki "nesne" veya " yapı "yı birbirine bağlayan bir "ok "tur ve bunlar mutlaka küme değildir.

Tanımlar

Genel durum ( model teorisi )

Let ve olmayacak iki -structures ilgili setlerinin, ve . Bir morfizmanın in bir uygulamadır ve de bu şekilde: ${\ matematiksel {M}}$ ${\ matematiksel {N}}$ ${\ matematiksel {L}}$ $M$ $DEĞİL$ ${\ matematiksel {M}}$ ${\ matematiksel {N}}$ $m$ $M$ $DEĞİL$

herhangi bir -ary fonksiyon sembolü ve sahip olduğumuz her şey için ( sabitlerin durumuna karşılık gelen n = 0 dahil ); $değil$ $f \ {\ matematiksel {L}} içinde$ $(a_ {i}) _ {i} \ in M \ ^ {n}$ $m (f ^ {\ matematik {M}} (a_ {i}) _ {i}) = f ^ {\ matematik {N}} (m (a_ {i})) _ {i}$
ilişki, herhangi bir sembolün -aire ve her şey için bile, o zaman $değil$ ${\ matematiksel {L}} içinde R \$ $(a_ {i}) _ {i} \ in M \ ^ {n}$ $(a_ {i}) _ {i} \ içinde R ^ {\ matematik {M}}$ $(m (a_ {i})) _ {i} \ içinde R ^ {\ matematiksel {N}}$

$c ^ {\ matematiksel {N}}$ yapıdaki sembolün yorumunu belirleyen . $vs$ ${\ matematiksel {N}}$

monoid vakası

Monoidler kategorisinde, bir morfizm, iki monoid ile arasında aşağıdakileri doğrulayan bir uygulamadır : ${\ displaystyle f: (M, *, e) \ longrightarrow (M ', \ yıldız, e') \,}$ ${\ görüntü stili (M, *, e) \,}$ ${\ görüntü stili (M ', \ yıldız, e')}$

${\ displaystyle \ forall (g, h) \ in M ^ {2}, ~ f (g * h) = f (g) \ yıldız f (h)}$ ;
${\ görüntü stili f (e) = e '}$ .

Grup vakası

Gelen grupların kategori , bir morfizmanın bir uygulamadır iki arasında, grupların ve , doğrular: $f: (G, *) \ uzun sağ ok (G ', \ yıldız) \,$ $(G, *) \,$ $(G ', \ yıldız) \,$

${\ displaystyle \ forall (g, h) \ in G ^ {2}, ~ f (g * h) = f (g) \ yıldız f (h)}$ .

O sonuçlanır çünkü bu tek koşulu ile karşılanır ve . ${\ görüntü stili f (e) = e '}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in G, f (x ^ {- 1}) = (f (x)) ^ {- 1}}$

Yüzükler durumda

Gelen halkaların kategorisinde , bir morfizmanın bir eşleme olan iki arasında (üniter) halkalar , tatmin üç koşul: $f: A \'den B'ye$

${\ displaystyle \ forall a, b \ in A, ~ f (a + _ {A} b) = f (a) + _ {B} f (b)}$ ;
${\ displaystyle \ forall a, b \ in A, ~ f (a * _ {A} b) = f (a) * _ {B} f (b)}$ ;
${\ displaystyle f \ sol (1_ {A} \ sağ) = 1_ {B}}$ .

ki burada , ve (sırasıyla , ve ) işlemleri ve iki halkanın, ilgili çarpımsal nötr belirtir ve . $+ _ {A}$ $*_{AT}$ $1 A}$ $+ _ {B}$ $* _ {B}$ $1_ {B}$ $AT$ $B$

Vektör uzayları örneği

Olarak vektör uzayı kategorisi (en) , bir ilgili sabit alan K , bir morfizmanın bir uygulamadır iki arasında, K - vektör uzayı ve doğrusaldır, diğer bir deyişle tatmin: $f: E \'den F'ye$ ${\ görüntü stili (E, + _ {E}, \ cdot _ {E})}$ ${\ görüntü stili (F, + _ {F}, \ cdot _ {F})}$

$f$ bir gruba morfizmanın olup içinde ; ${\ görüntü stili (E, + _ {E})}$ ${\ görüntü stili (F, + _ {F})}$
${\ displaystyle \ forall x \ E'de, ~ \ forall \ lambda \ K'de, ~ f (\ lambda \ cdot _ {E} x) = \ lambda \ cdot _ {F} f (x)}$ ,

şuna eşdeğerdir:

${\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E \ kere E, ~ \ forall \ lambda \ in K, ~ f (\ lambda \ cdot _ {E} x + _ {E} y) = \ lambda \ cdot _ {F} f (x) + _ {F} f (y)}$ .

cebir vakası

İki durumunda - uniferous cebirlerin ve bir morfizmanın tatmin: $K$ $(A, +, \ kez,.)$ $(B, {\ nokta {+}}, {\ nokta {\ kere}} ,.)$

$f$ doğrusal bir haritasıdır içinde ; $AT$ $B$
$f$ bir halka morfizmidir,

şuna eşdeğerdir:

$f (1_ {A}) = 1_ {B}$ ;
$\ forall (x, y) \ in A ^ {2}, ~ \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, ~ f (\ lambda .x + \ mu .y) = \ lambda . f (x) {\ nokta {+}} \ mu .f (y)$ ;
$\ forall (x, y) \ in A ^ {2}, ~ f (x \ kere y) = f (x) {\ nokta {\ kere}} f (y)$ .

Sıralı setlerin durumu

İkisi arasında bir morfizmanın sıralı küme ( A , ⊑) ve ( B , ≼) bir olduğu artan harita f den A için B (düzenini korur ki), yani durumundadır: tüm x ve y de bir şekilde x ⊑ y , elimizde f ( x ) ≼ f ( y ) var.

Önceden sipariş edilmiş kümelerin morfizmlerinin tanımı aynıdır.

Gelen topolojik boşluklar kategorisinde , bir morfizmanın iki arasında sürekli bir harita basitçe topolojik boşluklar . Topolojik çerçevede "morfizm" kelimesi kullanılmaz, ancak aynı kavramdır.

Ölçülebilir uzayların durumu

Ölçülebilir uzaylar kategorisinde , bir morfizm ölçülebilir bir fonksiyondur.

Sıralama

Bir endomorfizm , kendi içindeki bir yapının morfizmidir;
bir izomorfizm , aynı tür yapı ile sağlanan iki küme arasındaki bir morfizmdir , öyle ki zıt yönde bir morfizm vardır, öyle ki ve yapıların kimlikleri böyledir; $f$ $f'$ $f \ daire f '$ $f '\ çevre f$
Bir otomorfizma kendi içinde bir yapının izomorfizm olduğu;
bir epimorfizm (veya epik morfizm ), şu şekilde bir morfizmdir : herhangi bir tip morfizm çifti için (ve dolayısıyla her şey için ), if , o zaman ; $f: A \'den B'ye$ $g, h$ $B \'den E'ye$ $E$ $g \ daire f = h \ daire f$ $g = h$
bir monomorfizm (veya monik morfizm ), şu şekilde bir morfizmdir : herhangi bir tür morfizm çifti için (ve dolayısıyla her şey için ), if , o zaman . $f: A \'den B'ye$ $g, h$ $E \'den A'ya$ $E$ $f \ daire g = f \ daire h$ $g = h$

Örnek: Bir kümenin kimliği, dikkate alınan yapı ne olursa olsun her zaman bir otomorfizmadır.

Referanslar

(tr) Nicolae Popescu ve Liliana Popescu, Kategoriler Teorisi , Sijthoff & Noordhoff,1979( çevrimiçi okuyun ) , s. 3.
Daha fazla ayrıntı için bkz örneğin (in) Maurice Auslander (de) ve David Buchsbaum (de) , Gruplar, Yüzüklerin, Modülleri , Dover ,2014( 1 st ed. 1974) ( çevrimiçi okuma ) , s. 85-86.
N. Bourbaki , Elements of matematiğin : Küme teorisi [ basımların ayrıntıları ], s. IV.11 ve 12 (örnek 1).

Şuna da bakın: