İn geometrisi , sarmal a, eğri olan teğet her noktada bir yapan sabit bir açı belirli bir yönü ile. Göre Lancret teoremine , sarmallar arasındaki oran olan tek eğriler eğrilik ve burulma sabittir.
Pek çok sarmal türü vardır, bazıları yön eğrilerine ( Γ ) , diğerleri çizildikleri yüzeye göre belirlenir. alıntı yapabiliriz
pervane | Yön eğrisi | Üzerine çizildiği yüzey |
---|---|---|
Dairesel pervane | Daire | devrim silindiri |
eliptik pervane | Elips | eliptik silindir |
konik pervane | Logaritmik sarmal | devrim konisi |
küresel pervane | episikloid | küre |
paraboloid pervane | Gelişmekte olan daire | paraboloid |
H1 pervane | Tek yapraklı hiperboloid |
Dönen bir silindir üzerinde dairesel bir pervane yazılıdır . Bu silindirin eksenine sarmalın ekseni , bu silindirin yarıçapına sarmalın yarıçapı denir . Silindir üzerine çizilen herhangi bir düz çizgi, pervane tarafından düzenli aralıklarla kesilir ve sabit uzunluğuna pervanenin hatvesi denir .
Basit bir şekilde dairesel bir sarmal elde etmek için, dikdörtgen bir levha alın , köşegen üzerine bir çizgi çizin ve levhayı, büyük veya küçük tarafına paralel bir eksene sahip bir silindir oluşturacak şekilde yuvarlayın; çizgi bir sarmal çizer. Aynı zamanda helezon yayların , solenoidlerin , dişlerin ve kılavuzların ve spiral merdiven korkuluklarının şeklidir .
Direkt bir ortonormal koordinat sistemi ile sağlanan uzayda , dikdörtgen parametrik denklemleri olan eksen , yarıçap a ve adım 2 πb olan iki sonsuz dairesel sarmal vardır:
burada ε 1 (sağ sarmal) veya -1'dir (sinistral sarmal).
Parametrik denklemler de silindir koordinatlarda şunlardır:
burada ε 1 veya -1'dir.
Biz ayarlanırsa c 2 = bir 2 + b 2 , parametrik denklemler de normal bir parametre olan
burada ε 1 veya -1'dir.
Çıkıntı , eksenine dik bir düzlem üzerine dairesel bir helisin bir olan daire . Kendi eksenine paralel bir düzlemde sinüzoide göre çıkıntı yapar .
t 1 ve t 2 parametreleri arasında alınan yarıçapı a ve adımı 2 πb olan dairesel bir sarmal yayın uzunluğu şuna eşittir :
burada c 2 = a 2 + b 2
not edersek f'nin türevi : Bu vektör c = √ a 2 + b 2 normuna sahiptir ve vektörle sabit bir θ açısı yapar . Sarmalın açısına θ açısının tamamlayıcısı α diyoruz .
f '( t ) vektörünün c sabit normu , normal parametreleştirmede eğri denklemlerini ve bir yayın uzunluğunun ifadesini doğrulamayı mümkün kılar.
Bir sekant (M 1 M 2 ) sarmal vektör ile yapan bir açı θ 1,2 şekildedir (en kısa yol kuralı)
Dolayısıyla bu açı her zaman θ'den küçüktür . Bu, sarmalı sonlu artışlar teoreminin (diferansiyellenebilir bir eğrinin her sekantı bir teğete paraleldir) sol eğriler için doğru olmadığını gösteren bir örnek yapar.
Normal parametreleştirmede, not edersek teğet birim vektörü ve türevi Eğrilik bu nedenledir ve normal vektör n ( s ) , M noktasında m izdüşümlü taban çemberinin normal vektörüdür .
Osilasyon düzlemi (M, t , s ) , helezonun α açısına göre ve m cinsinden taban dairesine teğet olana dik bir çizgi boyunca taban düzlemini keser .
M'deki eğrilik merkezi koordinatlara sahiptir Eğrilik merkezleri kümesi, yani sarmalın evrimi , aynı adıma, b 2 / a yarıçapına ve α'yı tamamlayan açıya sahip bir sarmaldır . Bu evrimin evrimi, başlangıç pervanesini döndürür.
Frenet koordinat sisteminin üçüncü vektörü , yani binormal vektör b (s) koordinatları için vardır.
n vektörüne dik olan doğrultucu düzlem, M noktasında silindire teğet olan düzlemdir .
b (s) vektörünün türevi burulma τ sağlar
Bu nedenle burulma sabite eşittir . Tersine, eğrinin şekli, eğrilik fonksiyonu ve burulma fonksiyonu tarafından belirlenen tamsayı olduğundan, sabit eğrilik ve burulma olan tek eğriler dairesel sarmallardır.
Genel helisleri tanımlamak için neredeyse eşdeğer birkaç yaklaşım mümkündür.
Bir sarmal ( H ) a, düzenli eğri bir çizilmiş silindir ve bir de silindirin doğrularını kesişen sürekli bir açı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin . Jeneratörlerin yönü pervanenin eksenidir . Silindirin eksenine dik bir düzlemle kesişmesiyle elde edilen eğri , sarmalın tabanı veya sarmalın yönlendiricisidir ( Γ ) . Tamamlayıcı α açısı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin olan sarmal açısı . Eğer α sıfır, sarmal bir düzlem eğri ise ve α düz, sarmal bir jeneratördür.
İçin α ait ] 0, π / 2 [ , olan üçüncü bir vektör bir koordinat ortonormal sistemi seçerek silindirin ekseni yönlendiriyor biz helisin normal parametre (eğri yatay koordinat bu ispat σ ), komponent aşağıdakilerden mutlaka eğim sin ( α ) ile afindir ve artan σ ile yönlendirilen eğrisel apsis ( Γ ) , eğimi cos ( α ) olan bir afin fonksiyondur .
Tersine, ( Γ ) , normal parametrizasyonu düzenli bir düzlem eğrisi g ( ler ) , eğer eğri düzlemine normal bir birim vektördür ( y ) ve eğer bir ve B herhangi iki reals vardır, parametrizasyon eğrisi yönü eksene sahip bir heliks , taban ( Γ ) ve açı α böyle tan ( α ) = bir . Bu ters durum, düz olmayan a için , sarmalın ikinci bir eşdeğer tanımını sağlar.
Silindiri bir düzlemde geliştirerek, sarmal daha sonra ( deploy ) bir α açısının açılmasıyla düz bir çizgi boyunca açılır .
Eğri ( Γ ) S uzunluğunda kapalı ise , aynı üreteç üzerinde bulunan sarmalın ardışık iki noktası arasındaki mesafe sabittir, sarmalın adımıdır . Tan ( α ) S'ye eşittir
Helis çift yönlü ise, normal vektörü eğrinin ( Γ ) normal vektörününkidir . Eğriliği, eğrininkiyle orantılıdır ( Γ ) : Nokta ise M arasında ( H ) dik proje m arasında ( y ) , içinde oscülatör düzlem M bir açı taban düzlemini kestiği a ve teğet dik olan bir hat boyunca ( y ) içinde m . Doğrultucu düzlem silindire teğettir.
Eğri 3. dereceden çift yönlü ise, burulma ( Γ ) ' nin eğriliği ile orantılıdır : Eğrilik ve burulma arasındaki oran sabittir: Tersine, eğrilik ve burulma arasındaki oranın sabit olduğu 3. dereceden çiftdüze bir eğri bir sarmaldır ( Lancret teoremi ).
Pervanenin başka karakteristik özellikleri de vardır: