Lagrange kimliği
Gelen matematik ve daha özel olarak cebir , Lagrange kimliği tarafından keşfedilen, Joseph Louis Lagrange , kareler bir miktar içine kare toplam bir ürün dönüştürme bir formüldür; çapraz çarpımın özellikleri üzerinde önemli sonuçları vardır .
Cebirsel kimlik formülasyonları
Lagrange kimliği olan:
(∑k=1değil-dek2)(∑k=1değilbk2)-(∑k=1değil-dekbk)2=∑1≤ben<j≤değil(-debenbj--dejbben)2(=12∑1≤ben,j≤değil(-debenbj--dejbben)2){\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} && = & \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & \\ & {\ biggl (} & = & {1 \ over 2} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & {\ biggr)} \ end {hizalı}}}Reel veya karmaşık sayıların herhangi iki ailesi ( a 1 , a 2 ,…, a n ) ve ( b 1 , b 2 ,…, b n ) veya daha genel olarak bir değişmeli halkanın elemanları için geçerlidir . Bu, Binet-Cauchy'nin özel bir kimliğidir .
Gerçek durumda, bir vektör gösterimi ile daha kompakt bir şekilde ifade edilebilir:
‖-de‖2 ‖b‖2-(-de⋅b)2=∑1≤ben<j≤değil(det(-debenbben-dejbj))2{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = \ toplam _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left (\ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ sağ) ^ {2}}burada bir ve b ℝ taşıyıcısıdırlar n . Bu ifade ℂ uzatılabilir n bir dot ürün değiştirerek çarpım bir karmaşık sayı kare z kendi karesine modülü | z | :
(∑k=1değil|-dek|2)(∑k=1değil|bk|2)-|∑k=1değil-dek¯bk|2=∑1≤ben<j≤değil|-debenbj--dejbben|2{\ displaystyle {\ biggl (} \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {a_ {k}}} b_ {k} { \ biggr |} ^ {2} = \ toplam _ {1 \ leq i <j \ leq n} | a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} | ^ {2}}demek ki :
‖-de‖2 ‖b‖2-|-de⋅b|2=∑1≤ben<j≤değil|det(-debenbben-dejbj)|2.{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - | \ mathbf {a \ cdot b} | ^ {2} = \ toplam _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ sağ | ^ {2}.}Pozitif olarak ve yalnızca dışarı iptal eşitlik sağ taraftaki bir ve b olan doğrudaş , Lagrange özdeşliği gerektirir Cauchy-Schwartz eşitsizliği ve durumunda eşitlik kendi halinde Öklid alanlarda (örneğin, ℝ olarak , n ) ve onun Hermit uzaylarında analog (ℂ n olarak ).
Özel durumlar n = 2 ve n = 3 geometrik yorumlara sahiptir:
- için n = 2, elde ederiz Diophantus kimliğini (Brahmagupta o içine genelleştirir) :(-de12+-de22)(b12+b22)=(-de1b1+-de2b2)2+(-de1b2--de2b1)2,{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) = (a_ {1} b_ {1 } + a_ {2} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) ^ {2},}bu, komplekslerdeki modülün çarpımsallığına karşılık gelir, çünkü ve ayarlanmasıyla bu formül ;z1=-de1+ben-de2{\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + {\ rm {i}} a_ {2}}z2=b2+benb1{\ displaystyle z_ {2} = b_ {2} + {\ rm {i}} b_ {1}}|z1z2|2=|z1|2|z2|2{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | ^ {2} = | z_ {1} | ^ {2} | z_ {2} | ^ {2}}
- durumda , n = 3, aşağıda ele alındığı ilgili bölümde çapraz ürün .
Cebirsel versiyonun gösterilmesi
Aşağıdaki ispat doğrudan bir cebirsel hesaplamaya karşılık gelir ve bu nedenle herhangi bir değişmeli halkada geçerlidir .
∑1≤ben<j≤değil(-debenbj--dejbben)2=∑1≤ben<j≤değil(-deben2bj2-2-debenbben-dejbj+-dej2bben2)=∑1≤ben,j≤değilben≠j(-deben2bj2--debenbben-dejbj)=∑1≤ben,j≤değil(-deben2bj2--debenbben-dejbj)=(∑ben=1değil-deben2)(∑j=1değilbj2)-(∑ben=1değil-debenbben)(∑j=1değil-dejbj).{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & = \ toplam _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} + a_ {j } ^ {2} b_ {i} ^ {2}) \\ & = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} 1 \ leq i, j \ leq n \\ i \ neq j \ end {smallmatrix}} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} ^ {2} \ right) - \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} \ right). \ end {hizalı }}}
Harici ürünü kullanarak Lagrange kimliği yazılabilir:
(-de⋅-de)(b⋅b)-(-de⋅b)2=(-de∧b)⋅(-de∧b).{\ displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ kama b) \ cdot (a \ kama b).}Bu nedenle, skaler ürünlerine göre iki vektörün dış çarpımının normunu verir:
‖-de∧b‖=(‖-de‖ ‖b‖)2-‖-de⋅b‖2.{\ displaystyle \ | a \ kama b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}
Lagrange kimliği ve çapraz çarpım
Üç boyutta, Lagrange kimliği, bir paralelkenarın alanının karesinin, üç koordinat düzlemindeki izdüşümlerinin alanlarının karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler. Matematiksel, eğer bir ve b ℝ taşıyıcısıdırlar 3 normuna | a | ve | b |, çapraz çarpım ve skaler çarpımı kullanarak kimliği yazabiliriz :
|-de|2|b|2-(-de⋅b)2=|-de×b|2.{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = | \ mathbf {a \ times b} | ^ {2}.}Aslında sol taraf
|-de|2|b|2(1-çünkü2θ)=|-de|2|b|2günah2θ{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}θ, a ve b vektörlerinin oluşturduğu açıdır ; kenarların paralelkenarının alanıdır | a | ve | b | ve θ açısı (ayrıca Determinant (matematik) makalesine bakın ) ve bu nedenle sol taraf bu alanın karesidir. Sağdaki çapraz çarpım şu şekilde tanımlanır:
-de×b=(-de2b3--de3b2)ben+(-de3b1--de1b3)j+(-de1b2--de2b1)k,{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) \ mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) \ mathbf {k},}koordinatları (mutlak değerde) paralelkenarın sırasıyla yz , zx ve xy düzlemlerindeki izdüşümlerinin alanları olan vektör .
7. boyutta
ℝ 7'nin a ve b vektörleri için Lagrange kimliği ℝ 3 durumunda olduğu gibi şu şekilde yazılabilir :
|-de|2|b|2-|-de⋅b|2=|-de×b|2.{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - | \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} | ^ {2} = | \ mathbf {a } \ times \ mathbf {b} | ^ {2}.}Bununla birlikte, 7 boyutlu çapraz ürün, normal çapraz ürünün tüm özelliklerine sahip değildir. Yani, örneğin, Jacobi'nin kimliğini doğrulamıyor .
Kuaterniyonlarla yorumlama
Bir p kuaterniyonu , bir skaler t ve bir v vektörünün toplamı olarak tanımlanır :
p=t+v=t+x ben+y j+z k.{\ displaystyle p = t + \ mathbf {v} = t + x \ \ mathbf {i} + y \ \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}.}İki dördün p = t + v ve q = s + w'nin çarpımı şu şekilde tanımlanır:
pq=(st-v⋅w)+sw+tv+v×w.{\ displaystyle pq = (st- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) + s \ mathbf {w} + t \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}.}Konjugat q olduğu
q¯=t-v,{\ displaystyle {\ overline {q}} = t- \ mathbf {v},}ve normunun karesi
|q|2=qq¯=t2 + x2+ y2 + z2.{\ displaystyle | q | ^ {2} = q {\ overline {q}} = t ^ {2} \ + \ x ^ {2} + \ y ^ {2} \ + \ z ^ {2}.}Normun çok yönlülüğüne sahibiz, yani p ve q kuaterniyonları için şunlara sahibiz:
|pq|=|p||q|.{\ displaystyle | pq | = | p || q |.}P ve q kuaterniyonları , skaler kısımları sıfırsa hayali (veya saf) olduğu söylenir veya
p=v,q=w.{\ displaystyle p = \ mathbf {v}, \ quad q = \ mathbf {w}.}Lagrange'ın kimliği (3. boyutta) basitçe hayali kuaterniyonlar için normun çok yönlülüğünü öne sürmek anlamına gelir
|vw|2=|v|2|w|2{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = | \ mathbf {v} | ^ {2} | \ mathbf {w} | ^ {2}}çünkü tanım gereği
|vw|2=(v⋅w)2+|v×w|2.{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) ^ {2} + | \ mathbf {v} \ times \ mathbf { w} | ^ {2}.}(Herhangi bir kuaterniyon için çarpımsallık, başka bir önemli kimlik verir: dört Euler karesinin kimliği .)
Referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
“ Lagrange özdeşliği ” ( yazarların listesini görmek ) .
-
(in) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press ,
2003, 2 nci baskı. , 3252 s. ( ISBN 978-1-4200-3522-3 , çevrimiçi okuyun ).
-
(in) Robert E. Greene ve Steven G. Krantz , Bir Kompleks Değişkenin Fonksiyon Teorisi , AMS ,
2006, 3 e ed. , 504 s. ( ISBN 978-0-8218-3962-1 , çevrimiçi okuyun ) , "Alıştırma 16" , s. 22.
-
(inç) Vladimir A. Boichenko, Leonov Gennadii Alekseevich ve Volker Reitmann, Sıradan Diferansiyel Denklemler için Boyut Teorisi , Vieweg + Teubner Verlag ,
2005( ISBN 3-519-00437-2 , çevrimiçi okuyun ) , s. 26.
-
(in) J.Michael Steele , The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities , UPC ,2004, 306 s. ( ISBN 978-0-521-54677-5 , çevrimiçi okuyun ) , "Alıştırma 4.4: Lagrange'ın karmaşık sayılar için kimliği" , s. 68-69.
-
örneği sayfa 4 için bakınız bölüm 7 arasında bu kitabın Frank Jones tarafından Rice Üniversitesi .
-
(in) Howard ve Chris Anton Rorres, İlköğretim Lineer Cebir: Uygulamalar Sürüm , John Wiley & Sons ,2010, 10 inci baskı. , 773 s. ( ISBN 978-0-470-43205-1 ve 0-470-43205-5 , çevrimiçi okuyun ) , "Nokta ve çapraz ürünler arasındaki ilişkiler" , s. 162.
-
(in) Pertti Lounesto , Clifford Cebirleri ve spinors , CUP,2001, 2 nci baskı. , 338 s. ( ISBN 978-0-521-00551-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 94.
-
Lounesto 2001 . Özellikle bkz. § 7.4 Çapraz ürünler, ℝ 7 , s. 96 .
-
(inç) Jack B. Kuipers , Kuaterniyonlar ve Dönme Dizileri: Yörüngelere, Havacılık ve Sanal Gerçekliğe Uygulamaları İçeren Bir Astar , PUP ,2002, 371 s. ( ISBN 978-0-691-10298-6 , çevrimiçi okuyun ) , böl. § 5.6 ("Norm") , s. 111.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">