Eliptik integral
Eliptik integraller, matematiksel fiziğin birçok probleminde yer alır : örneğin, büyük genliklerde bir sarkaç periyodunun hesaplanması ve daha genel olarak bir eksen etrafında dönen cisimlerin ( gezegenler , yıldızlar , su damlası, atom çekirdeği) elipsoidal denge formları. , ...).
Genel form
Bir elips yekpare bir bir tamamlayıcı form
f(x)=∫vsxR(t,P(t))dt{\ displaystyle f (x) = \ int _ {c} ^ {x} R \ sol (t, {\ sqrt {P (t)}} \ sağ) \; \ mathrm {d} t}![f (x) = \ int _ {{c}} ^ {{x}} R \ left (t, {\ sqrt {P (t)}} \ sağ) \; {\ mathrm {d}} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64373ae5aac6f9675fd67068ab77dac6fba8084)
burada a, rasyonel fonksiyonu iki değişkenli, a, polinom fonksiyonu basit kökleri derece 3 veya 4 ve bir sabittir.
R{\ displaystyle R}
P{\ displaystyle P}
vs{\ displaystyle c}![vs](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
Bunun ilk sistematik çalışmasını sunan Adrien-Marie Legendre , yeterli değişkenlerdeki değişikliklerin bu integralleri üç kanonik forma indirgemeyi mümkün kıldığını gösterdi:
(1)∫1(ATt2+B)(AT′t2+B′) dt(2)∫t2(ATt2+B)(AT′t2+B′) dt(3)∫11+DEĞİLt21(ATt2+B)(AT′t2+B′) dt{\ displaystyle {\ begin {align} (1) & \ quad \ int {\ frac {1} {\ sqrt {(At ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}} } ~ \ mathrm {d} t \\ (2) & \ quad \ int {\ frac {t ^ {2}} {\ sqrt {(At ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}}} ~ \ mathrm {d} t \\ (3) & \ quad \ int {\ frac {1} {1 + Nt ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {( ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}}} ~ \ mathrm {d} t \ end {hizalı}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} (1) & \ quad \ int {\ frac {1} {\ sqrt {(At ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}} } ~ \ mathrm {d} t \\ (2) & \ quad \ int {\ frac {t ^ {2}} {\ sqrt {(At ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}}} ~ \ mathrm {d} t \\ (3) & \ quad \ int {\ frac {1} {1 + Nt ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {( ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}}} ~ \ mathrm {d} t \ end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e3ea267e30567f2639d3bb634ddea684702dad)
sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü türün eliptik integrali olarak adlandırılır. Hesaplama bir yayının uzunluğuna ait Bernoulli Lemniscate kullanan bu bir yayı, birinci tür bir eliptik integralini elips (kısmen eliptik integral adını haklı) ikinci tür bir entegrali ile; bir elipsoidin alanı, birinci ve ikinci tür eliptik integrallerin bir kombinasyonudur.
Legendre bu integrallere eliptik fonksiyonlar adını verdi . Niels Abel ve Carl Gustav Jakob Jacobi'nin 1827'deki çalışmalarından sonra, eliptik fonksiyon adı şimdi bu integrallerin ters fonksiyonları için ayrılmıştır.
Parametrizasyon
Eliptik integraller, aşağıdaki gibi eşdeğer bir şekilde tanımlanabilen bir parametre ile karakterize edilir:
- modüler açı α
- eliptik modül veya eksantriklik k = sin (α)
- m = k 2 = sin 2 (α) parametresi
Bir komut dosyasının veya diğerinin kullanılması integralin doğasını değiştirmez.
Eksik eliptik integraller
Gösterimlerde varyantlar mevcuttur. Değişken ile modül arasında noktalı virgül olup olmadığına özellikle dikkat edilmelidir.
İlk türler
Birinci türden eliptik integraller şu şekilde yazılır:
F(φ,k)=F(φ|k2)=F(günahφ;k)=∫0φdθ1-k2günah2θ.{\ displaystyle F (\ varphi, k) = F (\ varphi \, | \, k ^ {2}) = F (\ sin \ varphi; k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}.}![F (\ varphi, k) = F (\ varphi \, | \, k ^ {2}) = F (\ sin \ varphi; k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {{ \ mathrm d} \ theta} {{\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2449b7c76293507e681cd87ec047ea0219ec6c0)
Bu forma trigonometrik form denir; t = sin (θ), x = sin (φ) değişkenlerinde değişiklik yaparak Jacobi formunu elde ederiz :
F(x;k)=∫0xdt(1-t2)⋅(1-k2t2).{\ displaystyle F (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) \ cdot (1-k ^ {2} t ^ {2})}}}.}![F (x; k) = \ int _ {{0}} ^ {{x}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {{\ sqrt {(1-t ^ {2}) \ cdot (1-k ^ {2} t ^ {2})}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9bc99777c4362f2e8ee41688fb49f0132761cb)
Modüler açının kullanılması:
F(φ∖α)=F(φ,günahα)=∫0φdθ1-(günahθgünahα)2.{\ displaystyle F (\ varphi \ setminus \ alpha) = F (\ varphi, \ sin \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha) ^ {2}}}}.}![F (\ varphi \ setminus \ alpha) = F (\ varphi, \ sin \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {{\ mathrm {d}} \ theta} {{\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha) ^ {2}}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed07918168beada1664cd99b63e5e334de12bfd)
Bu integral , Jacobi'nin eliptik fonksiyonlarını tanımlamayı mümkün kılar . Böylece, sn işlevi F'nin tersi olarak tanımlanır :
F(x;k)=sen⟺x=sdeğil(sen,k){\ displaystyle F (x; k) = u \ iff x = \ mathrm {sn} (u, k)}![{\ displaystyle F (x; k) = u \ iff x = \ mathrm {sn} (u, k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e4f47491736238bb14664d5d7e6994de635d43)
İkinci türler
İkinci tür eliptik integraller trigonometrik biçimde yazılır:
E(φ,k)=E(φ|k2)=E(günahφ;k)=∫0φ1-k2günah2θdθ.{\ displaystyle E (\ varphi, k) = E (\ varphi \, | \, k ^ {2}) = E (\ sin \ varphi; k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, \ mathrm {d} \ theta.}![E (\ varphi, k) = E (\ varphi \, | \, k ^ {2}) = E (\ sin \ varphi; k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ sqrt {1 -k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, {\ mathrm {d}} \ theta.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f5d3c070b349a06f05b860abdf1c9222a80951)
Jacobi biçimleri:
E(x;k)=∫0x1-k2t21-t2dt.{\ displaystyle E (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ { 2}}}} \, \ mathrm {d} t.}![E (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {{\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}}} {{\ sqrt {1-t ^ { 2}}}}} \, {\ mathrm d} t.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b3fedd4ff109b82e9e63c4a9217a43ed5a495f)
Aynı şekilde, modüler açıyla:
E(φ∖α)=E(φ,günahα)=∫0φ1-(günahθgünahα)2dθ.{\ displaystyle E (\ varphi \ setminus \ alpha) = E (\ varphi, \ sin \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha ) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} \ theta.}![E (\ varphi \ setminus \ alpha) = E (\ varphi, \ sin \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha) ^ { 2}}} \, {\ mathrm {d}} \ theta.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e395d98aaa7e2abba4abb06cda4da6be32a58ebc)
Jacobi'nin eliptik fonksiyonları ile bir kez daha bağımız var
E(sdeğil(sen;k);k)=∫0senddeğil2(w;k)dw=sen-k2∫0sensdeğil2(w;k)dw=(1-k2)sen+k2∫0senvsdeğil2(w;k)dw.{\ displaystyle E (\ mathrm {sn} (u; k); k) = \ int _ {0} ^ {u} \ mathrm {dn} ^ {2} (w; k) \, \ mathrm {d} w = uk ^ {2} \ int _ {0} ^ {u} \ mathrm {sn} ^ {2} (w; k) \, \ mathrm {d} w = (1-k ^ {2}) u + k ^ {2} \ int _ {0} ^ {u} \ mathrm {cn} ^ {2} (w; k) \, \ mathrm {d} w.}![E ({\ mathrm {sn}} (u; k); k) = \ int _ {0} ^ {u} {\ mathrm {dn}} ^ {2} (w; k) \, {\ mathrm { d}} w = uk ^ {2} \ int _ {0} ^ {u} {\ mathrm {sn}} ^ {2} (w; k) \, {\ mathrm {d}} w = (1- k ^ {2}) u + k ^ {2} \ int _ {0} ^ {u} {\ mathrm {cn}} ^ {2} (w; k) \, {\ mathrm {d}} w.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350fccd5ea0551d4c2427932ebacda78e14f1aed)
Ekvatordan φ enleminde bir meridyen yayının uzunluğu E ile verilir :
m(φ)=-de(E(φ,e)+d2dφ2E(φ,e)),{\ displaystyle m (\ varphi) = a \ sol (E (\ varphi, e) + {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} \ varphi ^ {2}}} E (\ varphi, e) \ sağ),}![m (\ varphi) = a \ left (E (\ varphi, e) + {\ frac {{\ mathrm d} ^ {2}} {{\ mathrm d} \ varphi ^ {2}}} E (\ varphi , e) \ sağ),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1925b596dd0d515218e4c54e3f23d5db3b3d552)
burada bir bir ana eksen elipsin ve e kendi eksantrikliği.
Üçüncü türler
Üçüncü tür Π eliptik integralleri trigonometrik biçimde yazılmıştır:
Π(değil;φ∖α)=∫0φ11-değilgünah2θ⋅dθ1-(günahθgünahα)2{\ displaystyle \ Pi (n; \ varphi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {1} {1-n \ sin ^ {2} \ theta}} \ cdot { \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha) ^ {2}}}}}![\ Pi (n; \ varphi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {1} {1-n \ sin ^ {2} \ theta}} \ cdot {\ frac { {\ mathrm {d}} \ theta} {{\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha) ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0451d3bda8e2d2b4cd08a6c0d9ba9d905d4617a1)
veya
Π(değil;φ|m)=∫0günahφ11-değilt2⋅dt(1-mt2)(1-t2).{\ displaystyle \ Pi (n; \ varphi \, | \, m) = \ int _ {0} ^ {\ sin \ varphi} {\ frac {1} {1-nt ^ {2}}} \ cdot { \ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-mt ^ {2}) (1-t ^ {2})}}}.}![\ Pi (n; \ varphi \, | \, m) = \ int _ {{0}} ^ {{\ sin \ varphi}} {\ frac {1} {1-nt ^ {2}}} \ cdot {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {{\ sqrt {(1-mt ^ {2}) (1-t ^ {2})}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c13c3642fe8864d5305b1393d9bda66991d9ed6)
N sayısı karakteristik olarak adlandırılır ve diğer argümanlardan bağımsız olarak herhangi bir değeri alabilir. Bununla birlikte, bunun sonsuz olduğuna dikkat edin , m ne olursa olsun .
Π(1;π2|m){\ displaystyle \ Pi (1; {\ tfrac {\ pi} {2}} \, | \, m)}![\ Pi (1; {\ tfrac \ pi 2} \, | \, m)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadde5272e09cfcae3ef6801027653f0573f6d29)
Jacobi'nin eliptik fonksiyonları ile bağlantı bu durumda yazılmıştır.
Π(değil;-dem(sen;k);k)=∫0sendw1-değilsdeğil2(w;k).{\ displaystyle \ Pi (n; \, \ mathrm {am} (u; k); \, k) = \ int _ {0} ^ {u} {\ frac {\ mathrm {d} w} {1- n \, \ mathrm {sn} ^ {2} (w; k)}}.}![\ Pi (n; \, {\ mathrm {am}} (u; k); \, k) = \ int _ {0} ^ {u} {\ frac {{\ mathrm {d}} w} {1 -n \, {\ mathrm {sn}} ^ {2} (w; k)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04c230296154abb498fa7c2bbd3068f194e1b75)
Ekvatordan φ enlemine bir meridyen yayının uzunluğu da Π ile ifade edilebilir :
m(φ)=-de(1-e2)Π(e2;φ|e2).{\ displaystyle m (\ varphi) = a (1-e ^ {2}) \ Pi (e ^ {2}; \ varphi \, | \, e ^ {2}).}![m (\ varphi) = a (1-e ^ {2}) \ Pi (e ^ {2}; \ varphi \, | \, e ^ {2}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fe01460df4da799adbaa0f1c134685799b7252)
Tam eliptik integraller
Eliptik integrallerin "tam" versiyonları genlik durumlarına karşılık gelir φ =π/2izin x = 1 .
İlk türler
Birinci tür K'nin eliptik integralleri şu şekilde tanımlanır:
K(k)=F(π2,k)=F(π2|k2)=F(1;k)=∫0π/2dθ1-k2günah2θ=∫01dt(1-t2)(1-k2t2),{\ displaystyle K (k) = F \ sol ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ sağ) = F \ sol ({\ frac {\ pi} {2}} \, | \, k ^ {2} \ right) = F \ left (1; k \ right) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1- k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2} ) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}},}![{\ displaystyle K (k) = F \ sol ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ sağ) = F \ sol ({\ frac {\ pi} {2}} \, | \, k ^ {2} \ right) = F \ left (1; k \ right) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1- k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2} ) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6176d0a1f6ef095bf131c3914e27b50ddebdb86)
Biz onun kullanabilirsiniz dizi gelişimi :
K(k)=π2∑değil=0∞[(2değil)!22değil(değil!)2]2k2değil=π2∑değil=0∞[P2değil(0)]2k2değil,{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sol [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} \ sağ] ^ {2} k ^ {2n} = {\ frac {\ pi} {2}} \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} [P_ { 2n} (0)] ^ {2} k ^ {2n},}![K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {{2n} } (n!) ^ {2}}} \ sağ] ^ {2} k ^ {{2n}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ toplam _ {{n = 0}} ^ {\ infty} [P _ {{2n}} (0)] ^ {2} k ^ {{2n}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e599a1506a21fcece196be5cdf48230aaa1cc066)
burada p , n olan Legendre polinomları ilk terimleri verir,
K(k)=π2{1+(12)2k2+(1⋅32⋅4)2k4+⋯+[(2değil-1)!!(2değil)!!]2k2değil+⋯},{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sol \ {1+ \ sol ({\ frac {1} {2}} \ sağ) ^ {2} k ^ {2} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} k ^ {4} + \ cdots + \ left [{\ frac {\ left (2n-1 \ sağ) !!} {\ sol (2n \ sağ) !!}} \ sağ] ^ {2} k ^ {2n} + \ cdots \ sağ \},}![K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left \ {1+ \ left ({\ frac {1} {2}} \ sağ) ^ {2} k ^ {{2}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} k ^ {{4}} + \ cdots + \ left [{\ frac {\ left (2n-1 \ sağ) !!} {\ sol (2n \ sağ) !!}} \ sağ] ^ {2} k ^ {{2n}} + \ cdots \ sağ \},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377e26e9eb16913524ce060131ef61e8da5e2a79)
ile n !! Çift faktörlü bir n .
Hesaplama için aritmetik-geometrik ortalama ile bağlantı kurmak ilginç olabilir :
K(k)=π/2agm(1-k,1+k){\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi / 2} {\ operatöradı {agm} (1-k, 1 + k)}}}![{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi / 2} {\ operatöradı {agm} (1-k, 1 + k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1491a5f6ea63635c598c1f7143688959e7ac032)
.
İkinci türler
İkinci tür E'nin eliptik integralleri şu şekilde tanımlanır:
E(k)=E(π2,k)=E(1;k)=∫0π/21-k2günah2θ dθ=∫011-k2t21-t2dt{\ displaystyle E (k) = E \ sol ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ sağ) = E (1; k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} { \ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ \ mathrm {d} \ theta = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle E (k) = E \ sol ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ sağ) = E (1; k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} { \ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ \ mathrm {d} \ theta = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a848905654c796d6c1ee2c9574bd49ced41c0704)
.
Ana eksen ile bir elips için a ve minör ekseni b nedenle eksantriklik, ikinci tür eliptik yekpare E ( E ) elips çevresinin dörtte verir c sırasıyla ölçülen bir . Açık :
e=1-b2/-de2{\ displaystyle e = {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}}![e = {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca82122c1c9b8997445bf26272baa1e797206e1)
vs=4-deE(e){\ displaystyle c = 4aE (e)}![{\ displaystyle c = 4aE (e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03965e54f5e79a8c089496835ee6bfc5477ebdc3)
.
Ayrıca tam bir seri geliştirmeye sahibiz :
E(k)=π2∑değil=0∞[(2değil)!22değil(değil!)2]2k2değil1-2değil=π2{1-(12)2k21-(1⋅32⋅4)2k43-⋯-[(2değil-1)!!(2değil)!!]2k2değil2değil-1-⋯}.{\ displaystyle E (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sol [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} \ sağ] ^ {2} {\ frac {k ^ {2n}} {1-2n}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ sol \ {1 - \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} {\ frac {k ^ {2}} {1}} - \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ sağ) ^ {2} {\ frac {k ^ {4}} {3}} - \ cdots - \ left [{\ frac {\ left (2n-1 \ right) !!} { \ left (2n \ right) !!}} \ sağ] ^ {2} {\ frac {k ^ {2n}} {2n-1}} - \ cdots \ sağ \}.}![E (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ left [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {{ 2n}} (n!) ^ {2}}} \ sağ] ^ {2} {\ frac {k ^ {{2n}}} {1-2n}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left \ {1- \ left ({\ frac {1} {2}} \ sağ) ^ {2} {\ frac {k ^ {2}} {1}} - \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ sağ) ^ {2} {\ frac {k ^ {4}} {3}} - \ cdots - \ left [{\ frac {\ left (2n-1 \ right ) !!} {\ left (2n \ right) !!}} \ right] ^ {2} {\ frac {k ^ {{2n}}} {2n-1}} - \ cdots \ sağ \}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db1c5ff8d97ff582a59fa0daece8582ca75a435)
Üçüncü türler
Üçüncü tür Π eliptik integralleri şu şekilde tanımlanabilir:
Π(değil,k)=∫0π/2dθ(1-değilgünah2θ)1-k2günah2θ.{\ displaystyle \ Pi (n, k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {(1-n \ sin ^ {2} \ theta) {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.}![\ Pi (n, k) = \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} \ theta} {(1-n \ sin ^ {2} \ theta ) {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178fc6dad3f232b90cc9d4a90b6758320d6d2759)
Bazen n karakteristiğinin tersi ile tanımlanabilirler ,
Π′(değil,k)=∫0π/2dθ(1+değilgünah2θ)1-k2günah2θ.{\ displaystyle \ Pi '(n, k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {(1 + n \ sin ^ {2} \ theta ) {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.}![\ Pi '(n, k) = \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} \ theta} {(1 + n \ sin ^ {2} \ theta) {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9dab0ccc343ee7b5af61fba18d1d8ab2607145)
Referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır
İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde
" Eliptik ayrılmaz " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(en) Subrahmanyan Chandrasekhar , Elipsoidal denge figürleri , New Haven, Yale University Press,1969, 253 s. ( Mayıs ISBN 978-0-486-65258-0 )
-
ET Whittaker ve Watson, Modern Analiz Kursu , New York, Mac Millan, 1943, s. 515 .
-
(in) " agm yöntemiyle tam eliptik integral Değerlendirilmesi " ile ilgili Florida Üniversitesi, Makine ve Uzay Mühendisliği Bölümü .
Ayrıca görün
Kaynakça
- (en) Milton Abramowitz ve Irene Stegun , Formüller, Grafikler ve Matematiksel Tablolarla Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı [ baskı detayı ] ( çevrimiçi okuyun )
-
Paul Appell ve Émile Lacour, eliptik fonksiyonlar teorisinin ilkeleri ve uygulamaları bölüm VII (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
-
Alfred George Greenhill , Eliptik fonksiyonlar ve uygulamaları bölüm II (G. Carré, Paris, 1895)
- (en) Louis V. King, Eliptik fonksiyonların ve integrallerin doğrudan sayısal hesaplaması üzerine , Cambridge University Press,1924( çevrimiçi okuyun )
-
Adrien-Marie Legendre , Eliptik Fonksiyonlar ve Euler İntegralleri Üzerine İnceleme (Huzard-Courcier, Paris, 1828)
-
(tr) Benjamin Osgood Pierce, Kısa bir integral tablosu s. 66 (Ginn ve co., Boston, MA, 1899)
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
(tr) Eric W. Weisstein , " Eliptik İntegraller " , MathWorld'de şunları içerir:
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">