Legendre polinomu
Matematik ve teorik fizikte, Legendre polinomları , bir dikgen polinom dizisinin en basit örneğini oluşturur . Bu çözeltiler polinom olan p , n ( x ) ve diferansiyel denklem arasında Legendre :
ddx[(1-x2)ddxPdeğil(x)]+değil(değil+1)Pdeğil(x)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sol [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} P_ {n} (x) \ sağ] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0},
n parametresinin bir tamsayı olduğu özel durumda . Legendre polinomları yalnızca x ∈ [-1; 1] çünkü x = ± 1 noktaları bu diferansiyel denklemin düzenli tekil noktalarıdır.
Bu ortogonal polinomlar Legendre polinomları bir dizi fonksiyonu ayrışması örneğin matematik hem de bir çok uygulamaya sahiptir ve Legendre denklemi çözünürlüğü sırasında doğal olarak görünen fizik bölgesi Laplace denklem veya Helmholtz olarak küresel koordinatlar .
Eşdeğer bir tanım, daha soyut ama kavramsal olarak ilginç, Legendre polinomları olduğunu dikkate almaktır özfonksiyonlar arasında Endomorfizma
üzerinde tanımlı ölçütü:
R[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}
P∈R[X]↦sen(P)=ddx[(1-x2)dPdx]{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sol [(1-x ^ {2 }) {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} x}} \ sağ]},
için Özdeğer .
-değil(değil+1), değil∈DEĞİL{\ displaystyle -n (n + 1), \ n \ in \ mathbb {N}}
Legendre polinomları , Jacobi polinomları P'nin özel durumunu oluşturur.( α , β )
nα ve β parametreleri sıfırdır: P n ( x ) = P(0.0)
n( x ) .
Genel tanımlar ve özellikler
Legendre denkleminin bir çözümü olarak tanım
Legendre denklemine denklem diyoruz:
ddx[(1-x2)dydx]+α(α+1)y=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sol [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x}} \ sağ] + \ alpha (\ alpha +1) \, y = 0},
genel olarak . Bu diferansiyel denklemin çözümlerini tüm seriler biçiminde, örneğin Frobenius yöntemini kullanarak aramak mümkündür . Diferansiyel denklem, düzenli tekil noktaları (basit kutuplar) kabul ettiğinden, x = ± 1 değerleri , bu seri sadece | için yakınsayacaktır. x | <1 .
α∈R{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}
Α = n doğal tamsayının olduğu özel durumda , x = ± 1 noktalarında düzenli olan ve n derecesinin sonunda serinin durduğu çözümler, yani polinom şeklinde çözümler elde etmek mümkündür.
Sonuç olarak Legendre polinom p , n (her doğal sayı , n , ve için x ∈ [1; 1] ), diferansiyel denkleme bir çözeltisi bu nedenle:
ddx[(1-x2)dPdeğil(x)dx]+değil(değil+1)Pdeğil(x)=0,Pdeğil(1)=1.{\ displaystyle {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ sol [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P_ {n } (x)} {{\ textrm {d}} x}} \ right] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0, \ qquad P_ {n} (1) = 1. }Bu denklem, doğal olarak bağlantılı olduğu Laplace denklemi Δ f = 0 yazılır, küresel koordinatlar özellikle ortaya çıkar, elektrostatik . Nitekim, bir tek değişkenin iki fonksiyonunun f ( r , θ ) = A ( r ) B ( θ ) çarpımı biçiminde φ azimut açısına bağlı olmayan bir çözüm ararken , denklem B tarafından doğrulanmıştır. bu şekilde elde edilen şu şekildedir:
(1günahθ)ddθ(günahθdBdθ)+değil(değil+1)B=0{\ displaystyle \ sol ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ sağ) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ sol (\ sin \ theta \ , {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} \ theta}} \ sağ) + n (n + 1) \, B = 0},
burada n ( n + 1) ayırma sabitidir. X = cos θ değişkeninin değişimi, B'nin Legendre denklemini takip ettiğini doğrulamayı mümkün kılar . İçin farklı değildir ki demek ki sadece fiziksel olarak kabul edilebilir solüsyonlar, X , → ± 1 olduğu daha sonra olanlar , n , bu nedenle Legendre polinomları tamsayıdır.
Gösteri
Gerçekten de, küresel koordinatlarda ( r , θ , φ ) Laplace denklemi yazılır:
1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2günahθ∂∂θ(günahθ∂f∂θ)+1r2günah2θ∂2f∂φ2=0{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi r }} \ sağ) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ parsiyel \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi \ theta}} \ sağ) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ bölümlü ^ {2} f} {\ kısmi \ varphi ^ {2}}} = 0}.
Problemin, çözümün azimut açısına φ bağlı olmadığı ve dolayısıyla değişkenlerin ayrılması yöntemiyle bir çözüm aranması durumunda, f ( r , θ ) = A ( r ) B formundadır.
( θ ) ikame ile gelir:
1r2ddr(r2dATdr)B(θ)+1r2günahθddθ(günahθdBdθ)AT(r)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ sağ) B ( \ theta) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {dB} {d \ teta}} \ sağ) A (r) = 0},
üyeyi üyeye A ( r ) B ( θ ) ürününe bölerek :
1AT(r)r2ddr(r2dATdr)=-1B(θ)r2günahθddθ(günahθdBdθ){\ displaystyle {\ frac {1} {A (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ sağ) = - {\ frac {1} {B (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { dB} {d \ theta}} \ sağ)}.
İki farklı değişkene bağlı olarak, iki üyenin her biri arasında eşitlik olması gerektiğinden, ikincisinin tüm olası değerleri için, bunların her biri, yazmanın mümkün olduğu, ayırma sabiti adı verilen bir sabite eşit olmalıdır. formu genelliği kaybetmeden a ( α + 1) ile α gerçek. X = cos θ değişkeninin değişimi , ikinci üyeden kaynaklanan denklemi bir Legendre denklemi şeklinde koymayı mümkün kılar. Bununla birlikte, fizikte θ açısının tüm olası değerleri için tanımlanmış çözümler arıyoruz , yani aslında x = ± 1'de düzenli , bu nedenle α = n , n tamsayı ile Laplace denkleminin açısal kısmı bu nedenle iyi gösterilen biçimde.
Bir endomorfizmin özfonksiyonları olarak tanım
Daha özet şekilde, Legendre polinomları tanımlamak mümkündür p , n olarak Özfonksiyonların için özdeğerler - N ( N + 1) ile, n tamsayısının, Endomorfizma tanımlanan :
R[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}
P∈R[X]↦sen(P)=ddx[(1-x2)dPdx]{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ sol [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ sağ]}.
Bu daha soyut tanım, özellikle Legendre polinomlarının ortogonallik özelliklerini göstermek için ilginçtir.
Jeneratör işlevi
Bu polinom dizisini, jeneratör serisi ile de tanımlayabiliriz :
11-2xz+z2=∑değil=0∞Pdeğil(x)zdeğil{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xz + z ^ {2}}}} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) \, z ^ {değil}}.
Bu ifade özellikle fizikte, örneğin elektrostatik veya yerçekimi potansiyelinin çok uzağındaki gelişimde (çok kutuplu gelişme) ortaya çıkar.
Genel olarak z'nin karmaşık olduğunu düşünürsek , Laurent serisinin katsayılarının hesaplanması şunu verir:
Pdeğil(x)=12πben∮(1-2xz+z2)-1/2z-değil-1dz{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint (1-2xz + z ^ {2}) ^ {- 1/2} \, z ^ {- n-1} \, \ mathrm {d} z}anahat, orijini çevreleyen ve saat yönünün tersine alındığı yer.
Legendre polinomlarını, genişleme katsayıları gibi, bu jeneratör fonksiyonuyla tanımlamak mümkündür.
Diğer tanımlar
Bonnet'in tekrarlama formülü
Bu formül hızlı bir şekilde mümkün düzenin Legendre polinom ifadesinin elde edilmesini mümkün kılar ( n + 1) siparişlerin olanlardan , n ve ( n - 1) .
Herhangi bir tam sayı için n ger 1 :
(değil+1)Pdeğil+1(x)=(2değil+1)xPdeğil(x)-değilPdeğil-1(x){\ displaystyle (n + 1) \, P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) \, x \, P_ {n} (x) -n \, P_ {n-1} (x) }ile p 0 ( x ) = 1 ve p 1 ( x ) = x . Jeneratör işlevinden kolayca gösterilebilir.
Gösteri
Değişken t'ye göre Legendre polinomlarının tanımını jeneratör fonksiyonundan türeterek, yeniden düzenlemeden sonra gelir:
x-t1-2xt+t2=(1-2xt+t2)∑değil=1∞değilPdeğil(x)tdeğil-1.{\ displaystyle {\ frac {xt} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = (1-2xt + t ^ {2}) \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1}.}.
Tekrar kullanmak geliyor
11-2xt+t2=∑değil=0∞Pdeğil(x)tdeğil{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n }}
∑değil=0∞xPdeğil(x)tdeğil-∑değil=0∞Pdeğil(x)tdeğil+1=∑değil=0∞(değil+1)Pdeğil+1(x)tdeğil-2∑değil=0∞(değil+1)xPdeğil+1(x)tdeğil+1+∑değil=0∞(değil+1)Pdeğil+1(x)tdeğil+2.{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} xP_ {n} (x) t ^ {n} - \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n + 1} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n} -2 \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) xP_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1} + \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2}.}Daha sonra aynı t kuvvetine sahip terimlerin katsayılarını belirleyerek , o zaman gelir:
- için n = 0 , ya da normalleştirme durum için alarak , bunun P 1 ( x ) = x ;xP0(x)=P1(x){\ displaystyle xP_ {0} (x) = P_ {1} (x)}P0(x)=1,∀x∈[-1,1]{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1, \ forall x \ [-1,1] içinde}
- için n = 1 , for Standardization'e aynı koşulu ile, yukarıdaki gibi ;3xP1(x)-P0(x)=2P2(x){\ displaystyle 3xP_ {1} (x) -P_ {0} (x) = 2P_ {2} (x)}P2(x)=3x2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}
- genel olarak n ≥ 1 için , önceki yineleme formülünü verir.(2değil+1)xPdeğil(x)=(değil+1)Pdeğil+1(x)+değilPdeğil-1(x){\ displaystyle (2n + 1) xP_ {n} (x) = (n + 1) P_ {n + 1} (x) + nP_ {n-1} (x)}
Normalleştirme koşulu olarak P 0 ( x ) = 1 alarak , polinom P n ( x ) Rodrigues'in formülü kullanılarak ifade edilebilir:
Pdeğil(x)=(12değildeğil!)ddeğildxdeğil[(x2-1)değil]{\ displaystyle P_ {n} (x) = \ sol ({\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ sağ) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \! \ left [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ sağ]}.
Toplam olarak tanımlar
Bu polinomu toplam olarak iki şekilde tanımlıyoruz:
Pdeğil(x)=12değil∑k=0E(değil/2)(-1)k(değilk)(2değil-2kdeğil)xdeğil-2k{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ toplamı _ {k = 0} ^ {E (n / 2)} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ binom {2n-2k} {n}} x ^ {n-2k}}(biz çıkarırız )
P2değil(0)=122değil(-1)değil(2değildeğil){\ displaystyle P_ {2n} (0) = {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} (- 1) ^ {n} {\ binom {2n} {n}} \,}
Pdeğil(x)=12değil∑k=0değil(değilk)2(x-1)değil-k(x+1)k{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ toplamı _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2 } (x-1) ^ {nk} (x + 1) ^ {k}}nerede kullandık:
(değilk)=değil!(değil-k)!k!{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}
Bazı polinomlar
İlk on bir polinom:
- P0(x)=1{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1 \,}
- P1(x)=x{\ displaystyle P_ {1} (x) = x \,}
- P2(x)=12(3x2-1){\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {2} -1) \,}
- P3(x)=12(5x3-3x){\ displaystyle P_ {3} (x) = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {3} -3x) \,}
- P4(x)=18(35x4-30x2+3){\ displaystyle P_ {4} (x) = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3) \,}
- P5(x)=18(63x5-70x3+15x){\ displaystyle P_ {5} (x) = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x) \,}
- P6(x)=116(231x6-315x4+105x2-5){\ displaystyle P_ {6} (x) = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {6} -315x ^ {4} + 105x ^ {2} -5) \,}
- P7(x)=116(429x7-693x5+315x3-35x){\ displaystyle P_ {7} (x) = {\ frac {1} {16}} (429x ^ {7} -693x ^ {5} + 315x ^ {3} -35x) \,}
- P8(x)=1128(6435x8-12012x6+6930x4-1260x2+35){\ displaystyle P_ {8} (x) = {\ frac {1} {128}} (6435x ^ {8} -12012x ^ {6} + 6930x ^ {4} -1260x ^ {2} +35) \, }
- P9(x)=1128(12155x9-25740x7+18018x5-4620x3+315x){\ displaystyle P_ {9} (x) = {\ frac {1} {128}} (12155x ^ {9} -25740x ^ {7} + 18018x ^ {5} -4620x ^ {3} + 315x) \, }
- P10(x)=1256(46189x10-109395x8+90090x6-30030x4+3465x2-63){\ displaystyle P_ {10} (x) = {\ frac {1} {256}} (46189x ^ {10} -109395x ^ {8} + 90090x ^ {6} -30030x ^ {4} + 3465x ^ {2 } -63) \,}
Özellikleri
Derece
Polinom P n derece n'dir .
Tabanlı
Aile basamaklı derece polinomların bir aile olmanın, bir olduğunu temeli ait vektör alanı .
(Pdeğil)değil≤DEĞİL{\ displaystyle (P_ {n}) _ {n \ leq N}} RDEĞİL[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {N} [X]}
Parite
Legendre polinomları n'nin paritesini izler . Bu özelliği şu şekilde ifade edebiliriz:
Pdeğil(-x)=(-1)değilPdeğil(x).{\ displaystyle P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x). \,}(özellikle ve ).
Pdeğil(-1)=(-1)değil{\ displaystyle P_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}}P2değil+1(0)=0{\ displaystyle P_ {2n + 1} (0) = 0}
Ortogonalite
Legendre polinomlarının önemli bir özelliği ortogonalliğidir . Tüm m , n tamsayıları için şunları göstermek mümkündür :
∫-11Pm(x)Pdeğil(x)dx=22değil+1δmdeğil{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = {2 \ üzeri {2n + 1}} \ delta _ {mn}}Bu ilişkiyi , sınırlı bir aralıkta iki fonksiyonun çarpımının integralinden tanımlanan iki fonksiyonun iç çarpımını tanıtarak yorumlamak mümkündür :
⟨f,g⟩=∫-debf(x)g(x)W(x) dx{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x},
burada W ( x ) "ağırlık fonksiyonu" olarak adlandırılır, [ a , b ] integralin yakınsamasına sonsuz konu olabilen iki fonksiyonun diklik aralığıdır.
Legendre polinomları durumunda, ortogonalite aralığı [−1, 1] 'dir ve ağırlık fonksiyonu basitçe değer 1'in sabit fonksiyonudur, bu nedenle yazmak mümkündür: bu polinomlar, üzerinde tanımlanan skaler ürüne göre ortogonaldir . ilişki:
⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}R[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}
⟨Pm,Pdeğil⟩=∫-11Pm(x)Pdeğil(x)dx=22değil+1δmdeğil{\ displaystyle \ langle P_ {m}, P_ {n} \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = {2 \ üzeri {2n + 1}} \ delta _ {mn}}.
Gösteri
P n'nin tam tanımı , endomorfizmin öz değeri - n ( n + 1) için bir özvektör olduğunu gösterir :
P∈R[X]→sen(P)=ddx[(1-x2)dPdx]{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ to u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ sol [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ sağ]},
Bununla birlikte, bu endomorfizm, önceki skaler çarpım için simetriktir , çünkü ardışık parçalarla iki entegrasyon gerçekleştirerek gelir:
∀P,Q∈R[X],⟨sen(P),Q⟩=∫-1+1sen(P)(x)Q(x)dx=-∫-1+1P′(x)(1-x2)Q′(x)dx=∫-1+1P(x)ddx((1-x2)Q′(x))dx=⟨P,sen(Q)⟩{\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {R} [X], \ quad \ langle u (P), Q \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} u (P) (x ) Q (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P '(x) (1-x ^ {2}) Q' (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left ((1-x ^ {2 }) Q '(x) \ sağ) \ mathrm {d} x = \ langle P, u (Q) \ rangle}.
Farklı özdeğerlerle ilişkili özvektörler olduklarından, Legendre polinomları ailesi ortogonaldir.
Dahası, bir dayanak olduğu için, yani var :
(Pdeğil)değil≤DEĞİL{\ displaystyle (P_ {n}) _ {n \ leq N}}RDEĞİL[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {N} [X]}PDEĞİL+1∈(RDEĞİL[X])⊥{\ displaystyle P_ {N + 1} \ içinde (\ mathbb {R} _ {N} [X]) ^ {\ bot}}
∀Q∈RDEĞİL[X],∫-11PDEĞİL+1(x)Q(x)dx=0{\ displaystyle \ forall Q \ in \ mathbb {R} _ {N} [X], \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {N + 1} (x) Q (x) \, \ mathrm { d} x = 0}Standart
L 2 ([-1,1]) ' de norm karesi şöyledir:
‖Pdeğil‖2=22değil+1.{\ displaystyle \ | P_ {n} \ | ^ {2} = {\ frac {2} {2n + 1}}.}Aslında, tüm n > 1 için , ilişkiyi kurabiliriz
Pdeğil+1′-Pdeğil-1′=(2değil+1)Pdeğil,{\ displaystyle P '_ {n + 1} -P' _ {n-1} = (2n + 1) P_ {n}, \,}buradan çıkarım yaptığımız (bunu tüm k için kullanarak , P k - 1 ' k - 2 derecedir < k dolayısıyla P k'ye ortogonaldir ve parçalara göre bir entegrasyon gerçekleştirerek ):
⟨Pdeğil,(2değil+1)Pdeğil⟩=⟨Pdeğil,Pdeğil+1′-Pdeğil-1′⟩=⟨Pdeğil,Pdeğil+1′⟩=[PdeğilPdeğil+1]-1 1-⟨Pdeğil′,Pdeğil+1⟩=[PdeğilPdeğil+1]-1 1.{\ displaystyle \ langle P_ {n}, (2n + 1) P_ {n} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {n + 1} -P' _ {n-1} \ rangle = \ açılı P_ {n}, P '_ {n + 1} \ rangle = [P_ {n} P_ {n + 1}] _ {- 1} ^ {\ 1} - \ langle P' _ {n}, P_ {n + 1} \ rangle = [P_ {n} P_ {n + 1}] _ {- 1} ^ {\ 1}.}Yana P , n p , n + 1 tek ve tüm k , p k (1) = 1 , biz, böylece ile sonuna kadar (2 , n + 1) || P n || 2 = 2 .
Ekleme teoremi
Eğer 0 ≤ ψ 1 <π , 0 ≤ ψ 2 <π , ψ 1 + ψ 1 <π ve φ herhangi bir gerçek, daha sonra
Pk(çünküψ1çünküψ2+günahψ1günahψ2çünküϕ)=Pk(çünküψ1)Pk(çünküψ2)+2∑m=1∞(-1)mPk-m(çünküψ1)Pkm(çünküψ2)çünkümϕ,{\ displaystyle P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k } (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {- m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi,}eşdeğer olan
Pk(çünküψ1çünküψ2+günahψ1günahψ2çünküϕ)=Pk(çünküψ1)Pk(çünküψ2)+2∑m=1∞Γ(k-m+1)Γ(k+m+1)Pkm(çünküψ1)Pkm(çünküψ2)çünkümϕ.{\ displaystyle P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k } (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (k -m + 1)} {\ Gama (k + m + 1)}} P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ çünkü m \ phi.}Ayrıca buna sahibiz
Qk(çünküψ1çünküψ2+günahψ1günahψ2çünküϕ)=Pk(çünküψ1)Qk(çünküψ2)+2∑m=1∞(-1)mPk-m(çünküψ1)Qkm(çünküψ2)çünkümϕ{\ displaystyle Q_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k } (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {- m} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi}0 ≤ ψ 1 < ψ 2 varsayımı altında .
Legendre polinomlarının seri ayrışması
Odakları -1 ve +1 olan bir elipsin içindeki holomorfik herhangi bir f işlevi , elipsin içindeki herhangi bir kompakt üzerinde düzgün bir şekilde birleşen bir dizi biçiminde yazılabilir:
f(z)=∑değil=0∞λdeğilPdeğil(z){\ displaystyle f (z) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} P_ {n} (z)}
ile ∀değil∈DEĞİL,λdeğil∈VS.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ lambda _ {n} \ in \ mathbb {C}.}
Biz ifade polinom ait katsayısı P n kendi norm tarafından.
Pdeğil~{\ displaystyle {\ tilde {P_ {n}}}}
Let olmak f sürekli bir harita -1 [; 1] . Tüm doğal sayılar için poz verdiğimiz
vsdeğil(f)=∫-11f(x)P~değil(x)dx,{\ displaystyle c_ {n} (f) = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) {\ tilde {P}} _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x,}Bundan sonra, sekans ( c , n ( f )) , bir yer alır toplanabilir kare ve açıklamak mümkün kılan ortogonal projeksiyonu ve f ile :
Rdeğil[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [X]}
Sdeğilf=∑k=0değilvsk(f)P~k.{\ displaystyle S_ {n} f = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} (f) {\ tilde {P}} _ {k}.}Ayrıca buna sahibiz:
-
∀x∈[-1,1],Sdeğilf(x)=∫-11Kdeğil(x,y)f(y)dy{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \; S_ {n} f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) f ( y) \, \ mathrm {d} y}çekirdek ile Kdeğil(x,y)=değil+12P~değil+1(x)P~değil(y)-P~değil+1(y)P~değil(x)x-y;{\ displaystyle K_ {n} (x, \; y) = {\ frac {n + 1} {2}} {\ frac {{{\ tilde {P}} _ {n + 1} (x) {\ yaklaşık işareti {P}} _ {n} (y) - {\ tilde {P}} _ {n + 1} (y) {\ tilde {P}} _ {n} (x)} {xy}};}
- Sdeğilf(x)-f(x)=∫-11Kdeğil(x,y)(f(y)-f(x))dy.{\ displaystyle S_ {n} f (x) -f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) (f (y) -f (x)) \, \ mathrm {d} y.}
Ayrıca f'nin bir Lipschitzian işlevi olduğunu varsayalım . Daha sonra ek mülke sahibiz:
∀x∈]-1,1[,limdeğil→∞Sdeğilf(x)=f(x).{\ displaystyle \ forall x \ in] -1,1 [, \; \ lim _ {n \ ila \ infty} S_ {n} f (x) = f (x).}başka bir deyişle eşitlik
f=∑değil=0∞vsdeğil(f)P~değil{\ displaystyle f = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (f) {\ tilde {P}} _ {n}}
doğrudur sadece anlamda içinde L 2 , ancak anlamında basit yakınsama üzerinde -1]; 1 [ .
Bir fonksiyonun dijital entegrasyonu
[-1; aralığında bir fonksiyonun integralini sayısal olarak hesaplamak için ; 1] , en popüler yöntemlerden biri, Legendre polinomlarının özelliklerine dayanan Gauss-Legendre kuadratür yöntemidir . Şu formu alır:
∫-11f(x)dx≈∑ben=1değilwbenf(xben){\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) \, \ mathrm {d} x \ yaklaşık \ toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i} )}ile:
-
(xben)ben≤değil{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ leq n}}Legendre polinomunun sıfırlar kümesi P n
-
(wben)ben≤değil{\ displaystyle (w_ {i}) _ {i \ leq n}} ilgili ağırlıklar: wben=-2(değil+1)Pdeğil′(xben)Pdeğil+1(xben){\ displaystyle w_ {i} = {\ frac {-2} {(n + 1) P '_ {n} (x_ {i}) P_ {n + 1} (x_ {i})}}}
Özellikle, n- sıralı formül , derece 2 n - 1 olan herhangi bir polinom fonksiyonu için doğrudur .
Fizik uygulamaları
Legendre polinomları, Hermite veya Laguerre'ninkiler gibi , fiziğin veya sayısal hesaplamanın çeşitli dallarında görünürler, çünkü belirli integrallerin analitik olarak değerlendirilmesine gerek kalmadan hesaplanmasına izin verirler, ancak yeterli bir değişken değişikliği ile tek bir yer kendini entegrasyon aralığında [−1, 1].
Legendre polinomları, tipin fonksiyonlarını seri olarak geliştirmeyi mümkün kılar (bu formül doğrudan üretici fonksiyondan çıkarılabilir):
1|r→-r→′|=1r2+r′2-2rr′çünküγ=∑ℓ=0∞r′ℓrℓ+1Pℓ(çünküγ), ile r>r′{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sol | \ mathbf {\ vec {r}} - \ mathbf {\ vec {r}} ^ {\ prime} \ sağ |}} = {\ frac {1} { \ sqrt {r ^ {2} + r ^ {\ prime 2} -2rr '\ cos \ gamma}}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} {\ frac {r ^ {\ prime \ ell}} {r ^ {\ ell +1}}} P _ {\ ell} (\ cos \ gamma), {\ text {with}} r> r '}burada r ve r ' vektörlerin normlarıdır ve sırasıyla ve aralarındaki açıdır. Böyle bir gelişme, örneğin elektrik dipol çalışmasında veya daha genel olarak elektrik veya yerçekimi alanının sürekli bir yük veya kütle dağılımından (çok kutuplu gelişme) büyük bir mesafede ifadesinde kullanılır .
r→{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {r}}}r→′{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {r}} ^ {\ prime}}γ{\ displaystyle \ gamma}
Legendre polinomları , eksenel bir simetri ( V daha sonra ϕ'dan bağımsızdır ) ile devam eden bir problem durumunda, yüklerin boş olduğu bir bölgedeki elektrik potansiyeli V için Laplace denkleminin çözümünde küresel koordinatlarda görünür. değişkenlerin ayrılması yöntemi. Laplace denkleminin çözümü şu şekildedir:
∇2V(r→)=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V (\ mathbf {\ vec {r}}) = 0}
Φ(r,θ)=∑ℓ=0∞[ATℓrℓ+Bℓr-(ℓ+1)]Pℓ(çünküθ).{\ displaystyle \ Phi (r, \ theta) = \ toplamı _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sol [A _ {\ ell} r ^ {\ ell} + B _ {\ ell} r ^ {- (\ ell +1)} \ sağ] P _ {\ ell} (\ cos \ theta).}
Notlar ve referanslar
-
Aslında, diferansiyel denklem geliştirerek, biz formda koymak ile, ve . Sonuç olarak, x = 1 ve x = -1 noktalarının gerçekten de f ( x ) ve g ( x ) derecelerinin kutuplarını oluşturduğu açıktır .y″-f(x)y′+g(x)y=0{\ Displaystyle y '' - f (x) \, y '+ g (x) \, y = 0}f(x)=2x1-x2{\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x} {1-x ^ {2}}}}g(x)=değil(değil+1)1-x2{\ displaystyle g (x) = {\ frac {n (n + 1)} {1-x ^ {2}}}}
-
Murray R. Spiegel (en) , Fourier Analizi ve Sınır Değer Problemlerine Uygulama: 205 Çözülmüş Alıştırmalar , Schaum Serisi ,1987, 200 p. ( ISBN 978-2-7042-1019-0 ) , böl. 7 (“Legendre'nin işlevleri ve uygulamaları”), s. 138-142.
-
tek tek hem de bağlı Laplace denkleminin açılı parçanın çözeltileri değişken ayrılmasıyla arar daha genel durumda İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ve φ tanıtmak sağlar ilişkili Legendre polinomları , yakından ilişkili küresel harmonik .
-
İlk beş formül için bir tablo MathWorld'de (en) Eric W. Weisstein , " Legendre-Gauss quadrature " içinde bulunabilir.
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
-
(in) Gradshteyn ve IM Ryzhik, IS İntegrallerde, Seri ve Ürünlerinin Tablo (de) , Alan Jeffrey Daniel Zwillinger (ed.), Academic Press , 7 inci ed. 2007 ( ISBN 978-0-08047111-2 ) [ çevrimiçi okuyun ] ve hata verileri
- Georgette Nockere, dijital tablo Legendre polinomları , ARB , 8 inci baskı. 1949
-
Joseph Kampé de Fériet , Matematiksel fiziğin işlevleri , CNRS , 1957
-
Konu hakkındaki pelerinler 1989
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">