Thue Lemması

Olarak modüler aritmetik , Thue lemması herhangi olduğu kurar tamsayı modülo $m,$ bir “ile temsil edilebilir , modüler fraksiyonu olan” pay ve payda olarak, içerisinde , mutlak değer , artarak kare kökü bir $m$ . Axel Thue'ye atfedilen ilk gösteri, çekmece prensibini kullanır . Bir tamsayıdır uygulanan $m$ bir kare olan modülo -1 (a özellikle asal sayı $m$ 1 modülo 4 uyumlu tamsayıdır) ve hiç $bir$ şekilde $, bir 2 + 1 \equiv 0 mod m$ bu lemması bir ifade sağlar $m$ olarak aralarındaki iki karenin toplamı .

Eyaletler

Let $m > 1$ ve $bir$ iki tamsayı .

Tüm için realse $X$ ve $Y$ şekilde ${\ displaystyle 0 <Y \ leq m <XY}$ , $x$ ve $y$ tam sayıları vardır, öyle ki ${\ displaystyle ax \ eşdeğeri y {\ pmod {m}}, \ quad 1 \ leq x <X \ quad {\ text {ve}} \ quad | y | <Y.}$

Shoup özel durumda bu ifadeyi kanıtlamaktadır $X$ ve $Y$ ardından uygular, tam sayılardır $X = Y = 1 + ⌊ \sqrt m ⌋$ için, $m$ değil kare .

LeVeque, aşağıdaki değişkeni $X = \sqrt m'ye$ uygulamayı tercih eder : herhangi bir gerçek $X için,$ öyle ki , $x$ ve $y$ tam sayıları vardır, öyle ki . Bu varyant, yeterince yakın bir gerçek için uygulanan yukarıdaki ifadeden çıkarılır . ${\ displaystyle 1 <X <m}$ ${\ displaystyle ax \ eşdeğeri y {\ pmod {m}}, \ quad 1 \ leq x <X \ quad {\ text {et}} \ quad | y | \ leq m / X}$ ${\ displaystyle Y> m / X}$ ${\ displaystyle m / X}$

Not Genel olarak, bu lemmanın var olmasını garanti ettiği çözüm

( x , y )

benzersiz değildir ve rasyonel

x ⁄ y'nin

kendisi de değildir: örneğin, eğer

m = a 2 + 1

X = Y = a + 1 \geq 2 ise

, iki çözümümüz var

( x , y ) = (1, a ), ( a , -1)

. Diğer hipotezler altında - ancak Thue'nin lemması ile uyumsuz - olası çözüm benzersizdir.

Brauer ve Reynolds teoremi

Thue lemması iki bilinmeyen değiştirerek genelleştirilmiş göre ler bilinmeyen ve lineer kongrüens homojen sistemi ile R , bir ile bağlantılı kongrüanslar matris ile tamsayı katsayılı R satır ve s sütun: $x, y$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ noktalar, x_ {s}}$ ${\ displaystyle ax \ equiv y {\ pmod {m}}}$ ${\ displaystyle A = (a_ {i, j})}$

Öyleyse , gibi tüm pozitif gerçekler için ${\ displaystyle r <s}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ noktalar, \ lambda _ {s}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ noktalar \ lambda _ {s}> m ^ {r}}$ ,gibi tam sayılar var ${\ displaystyle x_ {1}, \ noktalar, x_ {s}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {s} a_ {i, j} x_ {j} \ equiv 0 {\ pmod {m}} \ quad (i = 1, \ noktalar, r), \ quad | x_ {j} | <\ lambda _ {j} \ quad (j = 1, \ dots, s) \ quad {\ text {ve}} \ quad (x_ {1}, \ dots, x_ {s}) \ neq (0, \ noktalar, 0)}$ .

Gösteriler

Brauer ve Reynolds teoreminin kanıtı.
Bize göstermek Let kesinlikle daha az küçük tamsayı söylemek olduğunu, olduğu aşan tamsayı kısmı arasında . Böylece sahibiz ${\ displaystyle \ mu _ {j}}$ $\ lambda _ {j}$ ${\ displaystyle 1+ \ mu _ {j}}$ $\ lambda _ {j}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ mu _ {j} <\ lambda _ {j} \ leq 1+ \ mu _ {j}.}$ Sayısı ve tam sayıdır s - küpe şekilde doğrular: $l$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ noktalar, x_ {s})}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x_ {j} \ leq \ mu _ {j} \ quad (j = 1, \ noktalar, s)}$ ${\ displaystyle l = \ prod _ {j = 1} ^ {s} (1+ \ mu _ {j}) \ geq \ prod _ {j = 1} ^ {s} \ lambda _ {j}> m ^ {r}.}$ Bu olası değerlerin sayısından daha sıkı büyüktür r içinde tuples görüntüleri ile . Sonuç olarak (çekmece esasına göre), iki vardır ayrı ler aynı görüntüye sahip -uplets. Aralarındaki fark, reklamı yapılan çözümdür . ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}) ^ {r}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto Ax}$ $x$
Proof of Thue's lemma. Bilinmeyen ve üst sınırını not ederek
Brauer ve Reynolds teoremini belirli duruma uygulayalım . Varsayımlar ve (bu nedenle ) , ve gibi bir tamsayı çiftinin varlığını sağlar . Daha fazla olduğu için bu nedenle sıfır değildir (aksi takdirde mod ile uyumlu olacağı için çok da olurdu ). Hatta değiştirmek gerekirse Nihayet, karşıtıyla, pozitiftir. ${\ displaystyle s = 2, r = 1, A = (a, -1)}$ $(x, y)$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ $(X, Y)$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ ${\ displaystyle Y> 0}$ ${\ displaystyle XY> m}$ $X> 0$ $(x, y) \ neq (0,0)$ ${\ displaystyle ax \ equiv y {\ pmod {m}}}$ ${\ displaystyle | x | <X}$ ${\ displaystyle | y | <Y}$ ${\ displaystyle Y \ leq m}$ ${\ displaystyle | y | <m}$ $x$ $y$ ${\ displaystyle 0}$ $m$ $(x, y)$ $x$

İki karenin toplamlarına uygulama

Thue lemması, örneğin, iki kare teoreminde yararlı olan aşağıdaki önermeyi kanıtlamaya izin verir :

Eğer o zaman aralarında ve gibi asal sayılar varsa . ${\ displaystyle -1 \ eşittir bir ^ {2} {\ pmod {m}}}$ ${\ displaystyle u, v> 0}$ ${\ displaystyle au \ equiv v {\ pmod {m}}}$ ${\ displaystyle m = u ^ {2} + v ^ {2}}$

Gösteri

Sonra Thue lemma'yı seçerek veya (işaretine bağlı olarak ), ve elde ederiz . ${\ displaystyle X = Y = {\ sqrt {m + 1}}}$ ${\ displaystyle (u, v) = (x, y)}$ ${\ displaystyle (-y, x)}$ $y$ ${\ displaystyle 1 \ leq u, v \ leq {\ sqrt {m}}}$ ${\ displaystyle au \ equiv v {\ pmod {m}}}$

Daha sonra fark ya kesinlikle daha az olduğu bile bir olduğunu kare . Aslında, bir tam sayı için (zorunlu olarak tuhaf), bunu kolayca gösterebiliriz . $sen$ $v$ ${\ displaystyle {\ sqrt {m}}}$ $m$ ${\ displaystyle a ^ {2} \ eşdeğeri -1 {\ pmod {n ^ {2}}}}$ $n> 1$ ${\ displaystyle ve \ eşittir \ n {\ pmod {n ^ {2}}}}$

Biz o anlamak (beri ve ). ${\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} = m}$ ${\ displaystyle 0 <u ^ {2} + v ^ {2} <2m}$ ${\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} \ equiv 0 {\ pmod {m}}}$

Nihayet, ve kendi aralarında asaldırlar çünkü bölerse ve sonra bu yüzden . $sen$ $v$ $d$ $sen$ $v$ ${\ displaystyle md \ orta (a ^ {2} +1) u ^ {2} + (v-au) (v + au) = u ^ {2} + v ^ {2} = m}$ ${\ displaystyle d \ mid 1}$

Bunun tersine, eğer ile ve birbirleri ile (de ana asal $m$ ) daha sonra $-1$ olan kare modülo $m$ tamsayı arasında tanımlanan modulo $m$ göre . ${\ displaystyle m = u ^ {2} + v ^ {2}}$ $sen$ $v$ $-de$ ${\ displaystyle au \ equiv v {\ pmod {m}}}$

Referanslar

1917 veya 1902'de:
- (hayır) A. Thue, "Et bevis for at lignigen A 3 + B 3 = С 3 er remulig i hele fra nul forsk jellige tal A, B og С", Archiv. Matematik için. og Naturvid , cilt. 34, n, o , 1917, 15, uygun olarak (in) Alfred Brauer RL Reynolds, " Aubry-Thue teoremini olduğu " , Canad. J. Math. , cilt. 3,1951, s. 367-374 ( DOI 10.4153 / CJM-1951-042-6 )ve (içinde) William J. LeVeque (en) , Sayı Teorisinin Temelleri , Dover ,2014( 1 st ed. 1977) ( çevrimiçi okuma ) , s. 180 ;
- (hayır) A. Thue , " Et par antydninger til en taltheoretisk metode " , Kra. Vidensk. Selsk. H için. , cilt. 7,1902, s. 57-75, Uygun için Pete L. Clark, “ Thue Önsavı ve İkili Formları ”,2010( DOI 10.1.1.151.636 ) .
(inç) Carl Löndahl, " Karelerin toplamları üzerine ders " ,2011.
LeVeque 2014 , s. 182, önizleme üzerinde Google Kitaplar .
(inç) Victor Shoup , Sayı Teorisi ve Cebire Hesaplamalı Giriş , UPC ,2005( çevrimiçi okuyun ) , s. 43teorem 2.33.
Shoup 2005 , s. 43, Teorem 2.34.
LeVeque 2014 versiyonunda , s. Bu lemmanın 180'i, vazgeçilmez hipotezin yerini almıştır ve LeVeque'in ek hipotezi , sonuç kısmında belirttiği ek koşulu garanti etmek için yeterli değildir . ${\ displaystyle X> 1}$ $X> 0$ ${\ displaystyle a \ not \ equiv 0 {\ pmod {m}}}$ $y \ neq 0$
Shoup 2005 , s. 90.
Brauer ve Reynolds 1951 , LeVeque 2014 , s. 179, önizleme üzerinde Google Kitaplar .
Daha fazlasını varsayarsak , ${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ leq m}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ noktalar, x_ {s}) \ not \ equiv (0, \ noktalar, 0) {\ pmod {m}}.}$

İlgili Makaleler