Üçgen matris

Olarak lineer cebir , üçgen matrisler olan kare matrisler sınırlanan değerlerin bir üçgen bölüm olup ana Diagonal , sıfırdır.

Ön açıklama

Daha sonra gelende, bir ele alacağız üniter halka olan Ar olması gerekmez değişmeli , R -modüller sağda solda ve R-modülleri. Değişmeli olmayan halkalara ve sol veya sağ modüllere aşina olmayan okuyucu, R halkasının değişmeli olduğunu ve zıt varsayımın yapıldığı yerlerde pasajları okumadığını varsayabilir . Halka Eğer R değişmeli olduğunu, R solda-modüller ve R sağ birbirine denk-modüller ve sade R -modüller. Benzer şekilde, modüllere aşina olmayan okuyucu, R'nin bir alan olduğunu varsayabilir ve zıt varsayımın yapıldığı bölümleri okumayabilir. Eğer R bir alan ise, soldaki R- modülleri (sırasıyla sağda) soldaki R- vektör uzaylarıdır (sırasıyla sağda). Okuyucu değişmeli olmayan alanlar ve sol ve sağ vektör uzayı aşina değilse son olarak, o varsayabiliriz R bir olduğunu değişmeli alan değil aksine varsayımlar yapılır pasajlar okuyun. Eğer R değişmeli alandır, R solda ve sağ birbirine denk-modüller R -vector boşluklar.

Üst üçgen matrisler

Let R olduğu bir yekpare bir halka . Tanım olarak, katsayıların daha yüksek bir üçgen matris R katsayılı bir kare matris R değerleri, ana diyagonal altında sıfırdır:

A = (a _ {{i, j}}) = {\ begin {pmatrix} a _ {{1,1}} & a _ {{1,2}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{ 1, n}} \ \ 0 & a _ {{2,2}} &&& a _ {{2, n}} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots && \ vdots \\\ vdots && \ ddots & \ noktalar & \ vdots \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a _ {{n, n}} \\\ end {pmatrix}}

A , ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda üst üçgendir :

\ forall i> j, \ quad a _ {{i, j}} = 0

Alt üçgen kalıplar

Let R olduğu yekpare bir halka oluşturur. Tanım olarak, katsayıların daha düşük bir üçgen matris R katsayılı bir kare matris R değerleri, ana diyagonal üzerinde sıfırdır:

A = (a _ {{i, j}}) = {\ begin {pmatrix} a _ {{1,1}} & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ a _ {{2,1}} & a _ {{2,2}} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots && \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots &&& \ ddots & 0 \\ a _ {{n, 1}} & a _ {{n, 2}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{n, n}} \\\ end {pmatrix}}

A , ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda daha düşük üçgendir:

\ forall i <j, \ quad a _ {{i, j}} = 0.

Üçgen matrislerin özellikleri

Devrik bir üst üçgen matrisin tam tersi bir alt üçgen matris ve yardımcısı olup.
Hem alt hem de üst üçgen matris, köşegen bir matristir .
Kesin olarak üçgen bir matris A n M n ( R ) , yani üçgen ve sıfır diyagonal katsayılar, üstelsıfırdır çünkü A n = 0'dır.
Bir halinde , normal bir matris ile ( kompleks katsayıları ) üçgendir sonra köşegendir.

Gösteri

A normal matrisinin (örneğin üst üçgen) n mertebesinde tümevarımla mantık yürütelim. Eğer n = 1, kanıtlamak için hiçbir şey yoktur. Eğer n > 1, bizi yıkmak izin A bloklar halinde : $A = {\ başla {pmatrix} a & L \\ 0 & B \ end {pmatrix}}$ burada L ( satır matrisi ) ve B (üst üçgen) n - 1 mertebesindedir . Sonra ${\ begin {pmatrix} | a | ^ {2} & \ cdots \\\ cdots & L ^ {*} L + B ^ {*} B \ end {pmatrix}} = A ^ {*} A = AA ^ {*} = {\ begin {pmatrix} | a | ^ {2} + LL ^ {*} & \ cdots \\\ cdots & BB ^ {*} \ end {pmatrix}}$ özellikle LL * = 0 - yani L' nin katsayılarının modüllerinin karelerinin toplamı sıfırdır - dolayısıyla L = 0. Sonuç olarak, L * L = 0. Bu nedenle, B normaldir (tümevarım yoluyla) hipotez) köşegen, yani A da.

Eğer A ve B , n mertebesinde iki alt (sırasıyla üst) üçgen matris ise, o zaman A + B ve - A da olur. İçinde değişmeli grup (M n ( R ) +) olan matrislerin n satır ve n katsayılı sütunlar R , (sırasıyla daha yüksek) alt üçgen matrisler bu nedenle meydana alt grup .
Eğer bir alt üçgen λ sonra (sırasıyla üst) olan bir ve bir herhangi da X skalar X. Üçgensel alt (sırasıyla üst) olan matrisler bu nedenle RR - bimodül Mn ( R ) ' nin bir alt bimodülünü oluşturur .
Eğer A ve B , n dereceli iki alt (sırasıyla üst) üçgen matris ise, o zaman AB de.
M n (R) 'de, özdeşlik matrisi diyagonal olduğundan ve dolayısıyla hem üst üçgen hem de alt üçgen olduğundan, önceki iki nokta, üst (veya alt) üçgen matrisler kümesinin M n ( R )' nin bir alt halkası olduğunu gösterir . ). R halkası değişmeli ise, bu alt halka M n ( R ) ' nin bir (genellikle değişmeyen) bir alt cebiridir .
Eğer A = ( a ij ) i, j ve B = ( b i, j ) i, j olan üçgen üst (sırasıyla. Alt) M n ( R ) matrisler , i diyagonal katsayısı inci AB olan bir I , ben b ben, ben . Başka bir deyişle, köşegen AB , A ve B'nin köşegen bileşeni tarafından üretilen bileşendir .
R halkası değişmeli ise, R'deki katsayıları olan üçgen bir matrisin belirleyicisi , köşegen katsayılarının çarpımıdır: $\ det \ left ((a _ {{i, j}}) _ {{(i, j) \ in [\! [1; n] \!] ^ {2}}} \ sağ) = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{i, i}}.$ (Matris üst üçgen ise, ilk sütunun küçüklerine göre genişletin ve matrisin boyutuna tümevarımla neden olun. Matris alt üçgen ise ilk satırın küçüklerine göre genişletin.)
Eğer R, değişmeli bir alandır ve A katsayılı üçgen matris R , özdeğerler ve A diagonal katsayılarıdır. (Aslında matris X İd - Bir de, bu nedenle, önceki bir noktaya göre, demek ki, bu matrisin determinantı, üçgen olan karakteristik polinomu ve A , çarpımına eşit olan X - Bir i, i , burada a i, ben A'nın köşegen katsayılarından geçer . )
Eğer bir üst M'ye ait üçgensel bir matris (sırasıyla alt) n ( R ) ve benzeri her diyagonal katsayıları halinde A olan bir halka olarak tersi R sonra matris A tersi halka M n (R). Bu durumda, tersi de bir üst üçgen matristir (sırasıyla daha düşük). Tersinin diyagonal katsayılarının sondan bir önceki açısından bakıldığında, aşağıdaki A ters çapraz katsayıları daha sonra , A ve geri dönüşümlü R . Dolayısıyla, katsayıları R'de tersine çevrilebilir olan M n ( R ) ' ye ait üst (sırasıyla daha düşük) üçgen matrisler , çarpımsal grup GL ( n , R )' nin bir alt grubunu oluşturur (M n ( R ) ' nin ters çevrilebilir elemanlarının çarpım grubu ).
Önceki maddenin birinci tablosunun tersi bir halka bulabilirsiniz anlamıyla, genellik doğru değildir R , bir tam doğal sayıya n ve M ait bir üçgen matris N ( R, M tersinirdir) n ( R ), ancak çapraz katsayılarının tümü tersine çevrilemez. (Daha sonra böyle bir yüzüğün alan olamayacağını ve değişmeli olamayacağını göreceğiz.)

Karşı örnek

Let R olduğu bir halka ve bir , B olmak unsurları R şekilde ab = 1 ve ba ≠ 1.

(Dava karşılanmaktadır: take için R halkası Endomorfizmlerin bir kabul için bir vektör alan sonsuz sayılabilir baz v 0 , v 1 ... tarafından tanımlanan bileşim ∘ olan bu halkada çarpma f ∘ g : X ↦ f ( g ( x )).

Çek bir sol kaydırma operatörünün geçerlidir v 0 , tüm için 0 ve i 1 ile aynı, en azından, geçerli v ı için v ı -1 . Alalım b herkes için hangi sağ kayması Endomorfizma i , haritalar v i için v i 1 . O zaman a ∘ b = id ama b ∘ a ( v 0 ) = 0, dolayısıyla b ∘ a ≠ id.) Ab = 1 ve ba ≠ 1 ilişkilerinden , a ve b'nin tersinir olmadığı sonucu çıkar. Alt üçgen matris $A: = {\ başla {pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \\\ end {pmatrix}}$ tersine çevrilebilir, çünkü hesaplama matrisin $B: = {\ başla {pmatrix} b & 1-ba \\ - 1 ve a \\\ uç {pmatrix}}$ A'nın sol ve sağ tersinde tersine çevrilir . Yine çapraz elemanlar A olan bir ve b daha önce gördüğümüz gibi, geri dönüşümlü değildir , R . Ayrıca, A'nın tersinin daha düşük üçgen olmadığını da görüyoruz (bu, iki alt üçgen matrisin çarpımının köşegeninin özelliği verildiğinde, A'nın köşegen katsayılarının tersine çevrilemeyeceği gerçeğinden de kaynaklanmaktadır ).

Öte yandan, eğer R halkası değişmeli ise, eğer R katsayıları olan bir üçgen matris tersinir ise, köşegen katsayıları tersinirdir. Aslında, bu matrisin determinantı o zaman tersine çevrilebilir. Bu matrisin determinantının köşegen katsayılarının çarpımı olduğunu gördük, bu nedenle köşegen katsayılarının çarpımı tersine çevrilebilir, bu nedenle her köşegen katsayısı tersinirdir.
Benzer şekilde, eğer R bir alan ise (mutlaka değişmeli değil), eğer katsayıları R olan bir üçgen matris tersine çevrilebilirse, köşegen katsayıları tersinirdir, yani ( R bir alan olduğu için) sıfır değildir.

Gösteri

Örneğin şöyledir: A boyutlu bir tersi üst üçgen matris n vücut katsayılar R . , Saçma ile, ise i diyagonal katsayısı inci A daha sonra sıfır, ı ilk sütun A olarak, oluşturulan R sağda vektör alan R , n ile, i kurallı olarak 1 ilk vektörler - bu uzay, dolayısıyla ilişkilidir , dolayısıyla A'nın sütun vektörlerinin ailesi , sağdaki R n'deki R - vektör uzayının temeli değildir . Bu, A matrisinin R'de tersine çevrilemeyeceğini takip eder , çelişki.

Notlar ve referanslar

Eğer R, değişmeli olarak, bu özel bir durumdur Cayley- Hamilton teoremi . Ama biz çok daha elementally bunu göstermek ve için olabilir herhangi Ar olduğu gibi bu egzersiz ders "Matrix" den düzeltilmiş Vikiversite üzerinde .
(in) Gene H. Golub ve Charles F. Van Loan (in) , Matrix Computations , Johns Hopkins University Press ,1996, 3 e ed. , 694 s. ( ISBN 978-0-8018-5414-9 , çevrimiçi okuyun ) , s. 318, Sorun P7.1.1.
(inç) Yousef Saad (inç) , Seyrek Doğrusal Sistemler için Yinelemeli Yöntemler: İkinci Baskı , SIAM ,2003, 2 nci baskı. , 528 p. ( ISBN 978-0-89871-534-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 20.
Soldaki veya sağdaki matrislerin skalarlarla çarpılması, M n ( R ) toplamalı grubunu solda veya sağda R -modül yapısı ile donatır (bu iki yapı R halkası değişmeli ise çakışır ).
N. Bourbaki , Cebir, I, Bölüm 1 ila 3 , Paris,1970, s. III.12.
Örneğin bkz. Bourbaki 1970 , s. II.152.
Bu karşı örnek , Bourbaki 1970 , § 10, alıştırma. 2, b, p. II.205.
Örneğin bkz. Bourbaki 1970 , s. II.150.

İlgili Makaleler

Lie-Kolchin teoremi