Col noktası yöntemi

Gelen matematik , col nokta yöntemi (ayrıca sütun yöntemi , büyük eğim yöntem ya da hızlı düşüş yöntemi ; İngilizce, eğer noktası yaklaşım veya SPA ) mümkün değerlendirilmesini mümkün kılmaktadır asimptotik davranışı tipi bir kompleks integral :

I (\ lambda) = \ int_ \ mathcal {C} f (z) e ^ {\ lambda g (z)} \, dz \,

ne zaman . Fonksiyonları ve vardır analitik ve bir olan kompleks düzlemin entegrasyon yolu . $\ lambda \ rightarrow + \ infty$ $f$ $g$ $\ mathcal {C}$

Farklı kavramlara dayanmasına rağmen, sütun noktası yöntemi genellikle durağan faz yönteminin karmaşık integrallere uzantısı olarak kabul edilir . Bu yöntem özellikle analitik kombinasyonlarda ve istatistiksel mekanikte kullanılır .

Genel fikir

Yöntemin genel bir fikir için entegrasyon yolu sayesinde deforme oluşur Cauchy teoremi belirli bir yol kullanmak için , hızlı bir aşağı iniş yolu sanal kısmı (diğer bir deyişle üstel salınım parçası) fonksiyonunun üzerinde, sabit . $\gama$ $g$

I (\ lambda) = \ int_ \ mathcal {C} f (z) e ^ {\ lambda g (z)} \, dz = \ int_ \ mathcal {\ gamma} f (z) e ^ {\ lambda u ( z)} e ^ {i \ lambda v (z)} \, dz

İntegral daha sonra Laplace yöntemi kullanılarak değerlendirilebilir . Not edilerek, col noktasını fonksiyonunun , bunun için noktayı demek ki elimizde: $z_s$ $g$ $\ kısmi g / \ kısmi z (z_s) = 0$

Klasik bir örnek: Stirling formülü

Amaç, faktöriyel dizisinin asimptotik davranışını incelemektir . Euler'in Gama fonksiyonunun belirli değerlerini kullanıyoruz : ${\ displaystyle (n!) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle n! = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} {\ rm {d}} x}

İntegrand yazılır $exp ( n ln x - x )$ ; dolayısıyla $x = n'de$ bir nokta-sütun vardır . Üstel terimin ikinci türevinin $x = n'deki$ değeri $-1 / n'dir$ . Değişkenlerin değişimi , integrali incelemeye götürür $x = n + y \ sqrt {n}$

{\ displaystyle n! = \ sol ({\ frac {n} {\ rm {e}}} \ sağ) ^ {n} {\ sqrt {n}} \ int _ {- {\ sqrt {n}}} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {y} {\ sqrt {n}}} \ right) ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- y {\ sqrt {n}}} {\ rm {d}} y}

Sağ taraftaki integralin Gauss integraline yakınsadığını baskın yakınsama ile gösterebiliriz.

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- y ^ {2} / 2} {\ rm {d}} y = {\ sqrt {2 \ pi }}}

Böylece Stirling formülünü elde ederiz . ${\ displaystyle n! \ sim (n / {\ rm {e}}) ^ {n} {\ sqrt {2 \ pi n}}}$

Başvurular

Istatistik mekaniği

Gelen istatistiksel mekanik , biz çok sık “kanonik” dengeye “microcanonic” dengeden gidin. Geçiş, önceki örnektekine oldukça benzer bir tarzda boyun yöntemiyle gerçekleştirilen çok sayıda partikül N'nin termodinamik limiti dahilindedir. Schrödinger , bu tür bir hesaplamanın büyük bir destekçisiydi. Yöntemi , özellikle kimyasal potansiyeli tanıtmak için Legendre dönüşümlerinin tüm hesaplamalarına genişletti .

Referanslar

(fr) J. Dieudonné, Calculus infinitesimal , Hermann, 1970
(en) N. Bleistein ve RA Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals , Dover, 1986 [1975]
(en) LB Felsen (de) ve N. Marcuvitz (en) , Radiation and Scattering of Waves , IEEE-Wiley, 1994 [1972], böl. 4
(in) ve Copson , Asimptotik açılımlar , Cambridge University Press, 1965