Süreklilik modülü

Olarak matematiksel analiz , bir süreklilik modülü bir fonksiyonu olan $ω : [0, \infty] \to [0, \infty]$ kantitatif ölçmek için kullanılan düzgün süreklilik fonksiyonları. Bu nedenle, bir $f : I \to$ function fonksiyonu , süreklilik modülü için $ω$ kabul eder , ancak ve ancak $\ forall x, y \ in I \ quad | f (y) -f (x) | \ leq \ omega (| yx |).$ Süreklilik modülü birbirini iptal etmek ve 0'da sürekli olmak üzere empoze edildiğinden, bir fonksiyon ancak ve ancak bir süreklilik modülü kabul ederse tekdüze olarak süreklidir. Dahası, bir gerçeği aile işlevlerinin süreklilik ortak modülüne itiraf kavramına aynıdır eşsüreklilik . $Ω ( t ): = kt$ modülü , k - Lipschitzian fonksiyonlarına ve $ω ( t ): = kt α$ modülü Höldérien fonksiyonlarına karşılık gelir . Genel olarak, $ω'nin$ rolü , tek tip süreklilik tanımında'nin açık bir işlevsel bağımlılığını sabitlemektir .

Özel bir durum, içbükey süreklilik modülleridir . Metrik uzaylar arasındaki bir fonksiyon için, içbükey, alt-toplamalı, tekbiçimli sürekli veya alt-doğrusal süreklilik modülü ( doğrusal büyüme anlamında ) kabul etmeye eşdeğerdir . Tekdüze sürekli bir fonksiyon için bu tür süreklilik modüllerinin varlığı, alanı ya kompakt ya da bir normlu uzayın dışbükey bir alt kümesi olduğu anda sağlanır .

Bir metrik uzay üzerinde tekdüze sürekli bir fonksiyon, sadece ve ancak $d Y ( f ( x ), f ( y )) / d X ( x , y )$ bölümleri herhangi bir çift $( x , y )$ uzak Diagonal arasında $X$ . Bu özelliğe sahip fonksiyonlar, tekdüze sürekli fonksiyonların bir alt sınıfı olduklarından, onlara "tek tip sürekli sürekli fonksiyonlar" adını vereceğiz.

Tarihi

Steffens (2006) , s. 160 ilk kullanımı özellikleri $w$ devamlılık modülü için Lebesgue (1909) , s. 309 / p. 75 $ω$ olan salınım a Fourier dönüşümü . La Vallée Poussin (1919) , s. 7-8, (1) “süreklilik modülü” ve (2) “salınım modülü” olmak üzere iki addan bahseder ve şu sonuca varır: “ancak ilkini seçiyoruz, çünkü kavramla yapmamız gereken kullanıma daha iyi dikkat çekiyor. ifade eder ” .

Resmi tanımlama

Resmi olarak, bir süreklilik modülü, gerçek (genişletilmiş) değerleri $ω : [0, \infty] \to [0, \infty] olan$ , 0'da kaybolan ve 0'da devam eden, yani $\ lim _ {{t \ ila 0}} \ omega (t) = \ omega (0) = 0.$

Süreklilik modülleri temel olarak, aşağıdaki tanımları kullanarak metrik uzaylar arasındaki fonksiyonlar için tek tip süreklilik ve nokta sürekliliğinin nicel bir değerini vermek için kullanılır.

Bir $f$ fonksiyonu $: ($ $X$ $,$ $d$ $X$ $) \to ($ $Y$ $,$ $d$ $Y$ $)$ , $x$ $\in$ $X$ noktasındaki (yerel) devamlılık modülü için $ω$ kabul eder , eğer $\ forall y \ içinde X \ quad d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq \ omega (d_ {X} (x, y)).$ Benzer şekilde, $f$ (global) süreklilik modülü için $ω$ kabul eder , eğer $\ forall x, y \ in X \ quad d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq \ omega (d_ {X} (x, y)).$ Daha sonra, aynı zamanda söylemek $ω$ (In. Resp sürekliliği bir modüldür $x$ için) $f$ , ya da daha basit bir şekilde, $ön$ olan $ω$ -sürekli (sırasıyla. Gelen $x$ ).

Temel gerçekler

Eğer $f$ kabul ediyor $co$ süreklilik modülü ve için $ω 1 \geq ω$ , daha sonra $f$ tabii ki, aynı zamanda kabul $ω , 1$ süreklilik modülü gibi.
Eğer $f : X \to Y$ ve $g : Y \to Z$ süreklilik ilgili modülleri ile metrik alanlar arasındaki fonksiyonları $ω , 1$ ve $ω 2$ , daha sonra bileşik $g \circ f : X \to Z$ süreklilik modülü için olan $ω 2 \circ ω 1$ .
Eğer $f$ ve $g$ bir ölçüm alanı ile ilgili fonksiyonları X a normalize vektör alan Y'nin , ilgili süreklilik modüllerine sahip, $Q 1$ ve $ω 2$ , daha sonra herhangi bir doğrusal kombinasyonunun $af + bg$ süreklilik modülüne sahip $| a | ω 1 + | b | ω 2$ . Özel olarak, fonksiyonların bir grubu , X için Y sahip $ω$ süreklilik modülü için dışbükeydir.
Eğer $f$ ve $g$ bir ölçüm alanı ile gerçek değerleri ile fonksiyonları sınırlanmış, X süreklilik ilgili modülleri ile, $ω , 1$ ve $ω 2$ , daha sonra ürün $fg$ süreklilik modülü için var $║ g ║ \infty iken ω 1 + ║ f ║ \infty iken ω 2$ .
İşlevlerin grubu X için Y (iki metrik boşluk) $ω$ süreklilik modülü için bir kapalı olarak , Y , X için basit bir yakınsama .
(Eğer f i ) i ∈ I metrik uzay üzerindeki reel değerli fonksiyonların ailesidir X ortak süreklilik modülü ile $w$ sonra, alt zarf ve üst zarf ${\ displaystyle \ inf _ {i \ içinde I} f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sup _ {i \ in I} f_ {i}}$ süreklilik modülü ile gerçek değerli fonksiyonlar olan $w$ , sağlanan onlar herhangi bir noktada sonludur (eğer $ω$ sonlu değerlere sahipse, en az bir noktada sonlu olmaları yeterlidir).

Uyarılar

Bazı yazarlar ek özellikler ister, örneğin $ω$ artıyor veya sürekli. $F$ , önceki zayıf tanımın anlamı dahilinde bir süreklilik modülü kabul ederse , $] 0, \infty [$ üzerinde artan ve sonsuz derecede türevlenebilir olan bir süreklilik modülü kabul eder . Sonra onu elde ederiz

\ omega _ {1} (t): = \ sup _ {{s \ leq t}} \, \ omega (s)

artıyor ve

ω 1 \geq ω

;

\ omega _ {2} (t): = {\ frac {1} {t}} \ int _ {t} ^ {{2t}} \ omega _ {1} (s) \, {\ mathrm d} s

ayrıca sürekli ve

ω 2 \geq ω 1

, ve tanımının yeterli bir varyantı onu

] 0, \infty [

üzerinde sonsuz derecede türevlenebilir kılar .

Herhangi bir muntazam sürekli bir fonksiyon $f$ süreklilik minimal modülüne kabul $ω f$ denir, (en iyi) süreklilik modülü için $f$ :

\ forall t \ geq 0 \ quad \ omega _ {f} (t): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')) \ mid x \ in X, x' \ in X, d_ {X} (x, x ') = t \}.

Benzer şekilde, bir noktada her sürekli fonksiyon $X$ de bir süreklilik az modülüne kabul $x$ , $ω f ( t , x )$ ( (en uygun) süreklilik modülü $f$ de $x$ ):

\ forall t \ geq 0 \ quad \ omega _ {f} (t, x): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')) \ orta x' \ X, d_ {X} (x, x ') = t \}.

Çoğu durumda, $f'nin$ optimal süreklilik modülü açıkça hesaplanamaz, sadece artırılabilir ( $f'nin$ herhangi bir süreklilik modülü ile ). Ek olarak, süreklilik modüllerinin temel özellikleri, sınırlayıcı olmayan tanımla doğrudan ilişkilidir.

Genel olarak, bir metrik uzay üzerinde tekdüze sürekli bir fonksiyonun süreklilik modülü $+ \infty$ değerini alabilir . F : ℕ → ℕ fonksiyonu, öyle ki f ( n ) = n 2 , ℕ üzerindeki (ayrık) mesafeye göre düzgün bir şekilde süreklidir ve minimum süreklilik modülü, $t$ bir tamsayı ise $ω f ( t ) = + \infty$ olur. doğal ve $ω$ $f$ $($ $t$ $) = 0$ aksi takdirde.

Özel süreklilik modülleri

Özel süreklilik modülleri ayrıca genişleme ve yaklaşım gibi fonksiyonların bazı global özelliklerini verir. Bu bölümde, esas olarak içbükey , alt eklemeli , tekdüze sürekli veya sülinear süreklilik modüllerine odaklanacağız . Bu özellikler esasen eşdeğerdir, çünkü bir modül için $ω : [0, \infty] \to [0, \infty]$ , her iddia aşağıdakileri ifade eder:

$ω$ içbükeydir;
$ω$ bir alt eklemedir;
$ω$ tekdüze olarak süreklidir;
$ω$ sublinear olup, sabitler orada var, yani $bir$ ve $b$ bu şekilde $ω ( t ) \leq en + b$ tüm $t$ ;
$ω$ ,içbükey süreklilik modülüile arttırılır .

Bu nedenle, metrik uzaylar arasındaki bir $f$ fonksiyonu için , içbükey, alt-toplamalı, tekbiçimli sürekli veya alt-doğrusal süreklilik modülünün kabul edilmesine eşdeğerdir. Bu durumda, $f$ fonksiyonuna bazen "özel tekbiçimli sürekli fonksiyon" . Bu, alanın kompakt olduğu durumda, aynı zamanda normlu bir uzayın dışbükey C olduğu durumda da her zaman doğrudur . Aslında, tekdüze sürekli bir fonksiyon $f : C \to Y$ her zaman bir alt eklemeli süreklilik modülünü kabul eder, örneğin, tüm pozitif $s$ ve $t$ için sahip olduğumuz için, daha önce tanımlanmış olan optimum süreklilik modülü $ω f$ :

\ omega _ {f} (s + t) = \ sup _ {{\ | yx \ | = s + t}} d_ {Y} (f (x), f (y))

\ leq \ sup _ {{\ | yx \ | = s + t}} \ left \ {d_ {Y} \ left (f (x), f \ left ({\ frac {sx + ty} {s + t }} \ sağ) \ sağ) + d_ {Y} \ left (f \ left ({\ frac {sx + ty} {s + t}} \ sağ), f (y) \ sağ) \ sağ \} \ leq \ omega _ {f} (t) + \ omega _ {f} (s).

Hemen bir sonucu olarak, normlu bir uzayın dışbükeyinde tekdüze sürekli bir fonksiyonun bir alt doğrusal büyümesi vardır: $a$ ve $b$ sabitleri vardır, öyle ki $| f ( x ) | \leq bir ‖ x ‖ + b$ Tüm $X$ .

Bir Lipschitzian fonksiyonunun alt doğrusal modülleri ve sınırlı pertürbasyonları

Bir kolayca Lipschitzian fonksiyonunun sınırlı bir pertürbasyon olan bir işlev için bir süreklilik sublinear modülüne bulabilirsiniz: Eğer $f$ üniform sürekli $w$ süreklilik modülü ve için $gr$ isimli k -lipschitzian bir (düzgün) mesafesi en $r$ dan $f$ , daha sonra $f$ bir alt doğrusal süreklilik modülü $min ( ω ( t ), 2 r + kt ) kabul eder$ . Tersine, gerçek değerli fonksiyonlar için, herhangi bir özel tekdüze sürekli fonksiyon, bir Lipschitz fonksiyonunun sınırlı ve tekdüze sürekli bir pertürbasyonudur.

Alt katkı modülleri ve genişletilebilirlik

Dışbükey alanı üzerinde muntazam sürekli fonksiyonlar için yukarıda özelliği bir tür kabul zıddı özel bir eşit sürekli fonksiyon: en azından gerçek değerli fonksiyonların durumunda, $f : X \to$ bir alt kümesi ile tanımlanan ℝ X normalleştirilmiş alan 'bir D kabul ediyor bir uzantısı E alt toplamsal modülü muhafaza $Q'dan$ ve $f$ . Bu uzantıların en küçüğü ve en büyüğü:

f _ {*} (x): = \ sup _ {{y \ in X}} \ left \ {f (y) - \ omega (| xy |) \ sağ \},

f ^ {*} (x): = \ inf _ {{y \ in X}} \ left \ {f (y) + \ omega (| xy |) \ sağ \}.

Belirtildiği gibi, herhangi bir alt eklemeli süreklilik modülü tekdüze süreklidir: aslında, süreklilik modülünü kabul eder. Bu nedenle, $f *$ ve $f *$ sırasıyla $ω-$ süreksiz bir ailenin alt ve üst zarflarıdır - dolayısıyla hala $ω-$ süreksizdirler.

İçbükey Modüller ve Lipschitzian Yaklaşımı

Herhangi bir özel düzgün sürekli fonksiyon $f : X \to$ ℝ bir ölçüm alanı ile tanımlanan X a, homojen sınır Lipschitzian fonksiyonların. Ayrıca, Lipschitz sabiti cinsinden yaklaşımın yakınsama oranı , $f'nin$ süreklilik modülü tarafından belirlenir . Daha doğrusu, $f'nin$ minimum içbükey yakınsaklık modülü $ω$ olsun ,

\ omega (t) = \ inf {\ büyük \ {}, + b \ orta \ forall x \ in X, \, \ forall x '\ in X \, \, | f (x) -f (x') | \ leq a | xx '| + b {\ büyük \}}.

Let $δ ( ler ) olarak$ işlev arasında düzgün mesafe $f$ ve set $Dudak s$ arasında lar -lipschitzian fonksiyonları gerçek değerleri X :

\ delta (s): = \ inf {\ büyük \ {} \ | fu \ | _ {{\ infty, X}} \ orta u \ in {\ mathrm {Lip}} _ {s} {\ büyük \} } \ leq + \ infty.

Daha sonra, $ω ( t )$ ve $δ ( s )$ fonksiyonları, Legendre dönüşümü yoluyla birbirleriyle ilişkilendirilebilir : daha doğrusu, $2 δ ( s )$ ve $- ω (- t )$ (uygun bir şekilde , sonlamalarının dışında $+ \infty$ kadar genişletilmiş $)$ etki alanı) birkaç eşlenik dışbükey işlev oluşturur, çünkü $2 \ delta (s) = \ sup _ {{t \ geq 0}} \ left \ {\ omega (t) -st \ right \} \ quad {{\ rm {ve}}} \ quad \ omega (t ) = \ inf _ {{s \ geq 0}} \ sol \ {2 \ delta (s) + st \ sağ \}.$ Yana $ω ( t ) = o (1)$ için $t \to 0 +$ , bundan elde $δ ( s ) = o (1)$ için $t + \to \infty$ , ki bu araçlar $f$ Lipschitzian fonksiyonların eşit bir sınırdır. Optimal bir yaklaşım, fonksiyonlar tarafından verilir

f_ {s}: = \ delta (s) + \ inf _ {{y \ in X}} \ {f (y) + sd (x, y) \}, \ \ {\ mathrm {for}} \ s \ {\ mathrm {dom}} (\ delta) içinde:

Her bir $ön s$ isimli $s$ -lipschitzian ve $║ f - f s ║ \infty iken, X = δ ( s )$ . Örneğin, $α$ -Hölderian fonksiyonlar ile ilgili X ℝ muntazam ile tahmin edilebilir fonksiyonları $ler$ -lipschitzian fonksiyonların bir yakınsama hızı da süreklilik modülü ile “neredeyse Lipschitz” fonksiyonları ( $w$ $($ $t$ $=:)$ $kt$ $(| log ($ $t$ $) | + 1)$ ) üstel yakınsama hızı $O (e$ $-$ $as$ $)$ ile karakterize edilir . ${\ displaystyle O (s ^ {- {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}})}$

Kullanım örnekleri

Let $f : [ a , b ] \to$ ℝ bir sürekli fonksiyon. Göstermede Riemann integre bir $f$ , terminal arasındaki mesafe genel olarak Riemann toplar göre üst ve alt alt bölümü P = ( t i ) 0≤ i ≤ N süreklilik modülü kullanarak $f$ ve adım | P | $P$ alt bölümü :

S ^ {*} (f; P) -S _ {*} (f; P) \ leq (ba) \ omega (| P |).

Fourier serisinin kullanım örneği için Dini (in) testine bakın .

$L p$ fonksiyonlarının ve süreklilik $L$ $p$ modüllerinin çevirileri grubu

Let $1 \leq s$ , $f$ : ℝ N → ℝ bir fonksiyonu olabilir sınıfı $L p$ ve $h \in$ ℝ n . H - tercüme dan $f$ , bu işlev demek ki sınıfı olan $L$ $p$ ; dahası, $p$ $<\infty ise$ , o zaman $‖$ $h$ $‖ \to 0$ . Böylece, ötelemeler doğrusal izometriler olduğundan, $‖$ $h$ $‖ \to 0 olduğunda$ , $v$ $\in$ ℝ n'de tekdüze olarak . $\ tau _ {h} \ f: = f (\ cdot -h)$ $\ | \ tau _ {h} ff \ | _ {p} = o (1),$ $\ | \ tau _ {{v + h}} f- \ tau _ {v} f \ | _ {p} = o (1), \$

$P = \infty$ olduğu durumda , yukarıdaki özellik genel olarak doğru değildir: aslında, tekdüze bir şekilde sürekli olduğu anlamına gelir. Bu, tekdüze sürekli fonksiyonların süreklilik modülü kavramını genelleyen aşağıdaki tanımdan kaynaklanmaktadır: ölçülebilir bir fonksiyon $f$ için bir süreklilik modülü $L p$ : ℝ → ℝ bir süreklilik modülüdür $ω$ $: [0, \infty] \to [0 , \infty]$ öyle ki Süreklilik modülü daha sonra $L$ $p$ fonksiyonlarının süreklilik özelliğine nicel bir değer verir . $\ | \ tau _ {h} ff \ | _ {p} \ leq \ omega (h).$

Daha yüksek mertebeden süreklilik modülü

Süreklilik modülünün biçimsel tanımı, birinci dereceden sonlu fark kavramını kullanır :

\ omega _ {f} (\ delta) = \ omega (f, \ delta) = \ sup \ limits _ {{x; | h | <\ delta;}} \ left | \ Delta _ {h} (f, x) \ sağ |.

Bu farkı n mertebesindeki bir farkla değiştirirsek , n mertebesinde süreklilik modülü elde ederiz :

\ omega _ {n} (f, \ delta) = \ sup \ limits _ {{x; | h | <\ delta;}} \ left | \ Delta _ {h} ^ {n} (f, x) \ sağ |.

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " süreklilik modülü " ( yazarların listesini görmek ) .
G. Choquet , Analiz kursu. Tome II, Topologie , Masson , Paris, 1964.
C. de la Vallée Poussin , Bir gerçek değişkenin fonksiyonlarının yaklaştırılması üzerine dersler , Paris, Gauthier-Villars,1919( 1952'yi yeniden yazdırın ) ( çevrimiçi okuyun ).
Henri Lebesgue , " Tekil integraller hakkında ", Ann. Fac. Sci. Üniv. Toulouse , 3 rd serisi, cilt. 1,1909, s. 25-117 ( çevrimiçi okuyun ), yeniden basıldı: Henri Lebesgue, Scientific Works , cilt. 3., s. 259-351.
(en) Karl-Georg Steffens , Yaklaşım Teorisinin Tarihi , Boston, Birkhäuser ,2006( çevrimiçi okuyun ).
(tr) AV Efimov , “ Süreklilik, modülü ” in, Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).

İlgili Makaleler

Yapıcı analiz
Modül càdlàg
Eşitsiz Jackson (tr)
Bir dizinin yakınsama modülü (fr)
Kuratowski gömme ve Tietze uzama teoremi