Topaçın Lagrange hareketi
Topacın Lagrange hareketi bir hareketi olan ağır topacın ekseni üzerindeki bir nokta etrafında, bu noktada destek Reaksiyon sıfır an (sahip mükemmel bir bilyalı mafsalı ).
Sıradan bir tepenin aşağı yukarı hareketidir, ancak bir tepede, noktası yuvarlaktır ve "durduğu" düzlemde sürtünürken kayar: ayağa kalktığı ve geldiği jiroskopik tork teoreminin uygulanmasını takip eder. hareketsiz bir üst konuma (yani dikey bir eksen etrafında sabit dönüşte).
Tepenin doğru dönüşü çok hızlıysa, ağırlık ile doğru orantılı sabit bir açısal hızda bir devinim hareketi gözlemleriz ve bunu deneysel olarak jiroskopik bir denge ile doğruladığımız , düğüm açısı sabittir. Değişken bir hıza sahip olan devinimin iki değer arasında salındığı genel duruma yaklaşmadan önce bu daha kolay durumu incelemek tavsiye edilir.
Jiroskopik yaklaşım
Notasyonlar
Dikkat ediyoruz:
-
O mil ekseninin destek görevi gören sabit noktası,
-
G milin atalet merkezi,
-
(ben→,ȷ→,k→){\ displaystyle ({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}}, {\ vec {k}})}sabit olarak kabul edilen, dikey olarak yönlendirilen Galilean bir referans çerçevesi ,k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
-
(ben→,J→,K→){\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}tepenin ekseni boyunca yönlendirilen , tepeye bağlı mobil bir referans çerçevesi ,K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}
-
θ{\ displaystyle \ theta}arasındaki açı ve ( nutasyon açısı ),k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}
-
sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}birim vektör doğrudan çifte ( , ) ortogonaldir . Açı ile ve presesyon açıdır. Birim vektörün çift ( , ) ile doğrudan ortogonal olmasına izin verin ,k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}ψ{\ displaystyle \ psi}ben→{\ displaystyle {\ vec {\ imath}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
-
φ{\ displaystyle \ varphi}arasındaki açı ve . uygun dönüş açısı,sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}ben→{\ displaystyle {\ vec {I}}}φ{\ displaystyle \ varphi}
-
g yer çekimi ivmesi, m , üst kütlesini de arasındaki mesafe O ve en atalet merkezi.
Açıları , , olan Euler açıları .
φ{\ displaystyle \ varphi}θ{\ displaystyle \ theta}ψ{\ displaystyle \ psi}
Denklem
Sabit referans çerçevesine göre tepenin anlık dönüş vektörü:
Ω→=ψ˙k→+θ˙sen→+φ˙K→=θ˙sen→+ψ˙günah(θ)w→+(φ˙+ψ˙çünkü(θ))K→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {k}} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ varphi }} {\ vec {K}} = {\ nokta {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + ({ \ nokta {\ varphi}} + {\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta)) {\ vec {K}}}Dikkate milin eksenel simetrisi özelliklerini alarak, ile gösterelim bir , A , C atalet momentini hesaplanan mil, bir O eksenlerine göre, ya da eksenleri . İş milinin O noktasına göre açısal momentumu :
(ben→,J→,K→){\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}(sen→,w→,K→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}
L→=ATθ˙sen→+ATψ˙günah(θ)w→+VS(φ˙+ψ˙çünkü(θ))K→{\ displaystyle {\ vec {L}} = A {\ nokta {\ theta}} {\ vec {u}} + A {\ nokta {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + C ({\ nokta {\ varphi}} + {\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta)) {\ vec {K}}}Yönlendiricinin ağırlığı ve O şeklindeki toprak reaksiyonu bir tork uygular .
mg-degünah(θ)sen→{\ displaystyle mga \ sin (\ theta) {\ vec {u}}}
Açısal momentum teoremi de O olduğu yazılı:
ÖG→∧mg→=mg-degünah(θ)sen→=dL→dt{\ displaystyle {\ vec {OG}} \ kama m {\ vec {g}} = mga \ sin (\ theta) {\ vec {u}} = {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}Yönlendiricinin ekseninin dikey olmadığını varsayalım. Kendimizi ara depoya yerleştiriyoruz . Sabit referans çerçevesine göre ara referans çerçevesinin anlık dönüş vektörü şöyledir
: Ara referans çerçevesinde ifade edilen açısal momentum teoremi şöyledir:
(Ö,sen→,w→,K→){\ displaystyle (O, {\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}(sen→,w→,K→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}(ben→,ȷ→,k→){\ displaystyle ({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}}, {\ vec {k}})}Ωbendeğilt→=ψ˙k→+θ˙sen→=θ˙sen→+ψ˙günah(θ)w→+ψ˙çünkü(θ)K→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega _ {\ rm {int}}}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {k}} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {u} } = {\ nokta {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) {\ vec {K}}}
(mg-degünah(θ)00)=ddt(ATθ˙ATψ˙günah(θ)VS(ψ˙çünkü(θ)+φ˙))+(θ˙ψ˙günah(θ)ψ˙çünkü(θ))∧(ATθ˙ATψ˙günah(θ)VS(ψ˙çünkü(θ)+φ˙)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} mga \ sin (\ theta) \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ begin {pmatrix} A {\ dot {\ theta}} \\ A {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \\ C ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \\ { \ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta) \ end {pmatrix}} \ wedge {\ begin {pmatrix} A {\ dot {\ theta}} \\ A {\ dot {\ psi}} \ sin ( \ theta) \\ C ({\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) \ end {pmatrix}}}sistemi veren:
{mg-degünah(θ)=ATθ¨+VSψ˙günah(θ)(ψ˙çünkü(θ)+φ˙)-ATψ˙2çünkü(θ)günah(θ)0=ATψ¨günah(θ)+ATψ˙θ˙çünkü(θ)+ATψ˙θ˙çünkü(θ)-VSθ˙(ψ˙çünkü(θ)+φ˙)0=VSddt(ψ˙çünkü(θ)+φ˙)+0{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} ve + C {\ nokta {\ psi}} \ sin (\ theta) ( {\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) - A {\ nokta {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ \ 0 & = & A {\ ddot {\ psi}} \ sin (\ theta) + A {\ dot {\ psi}} {\ dot {\ theta}} \ cos (\ theta) & + A {\ nokta {\ psi}} {\ dot {\ theta}} \ cos (\ theta) -C {\ dot {\ theta}} ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot { \ varphi}}) \\ 0 & = & C {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} ({\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta) + { \ nokta {\ varphi}}) & + \, 0 \ end {matris}} \ sağ.}Üçüncü denklem bunun bir sabit olduğunu ifade eder , bu da açısal momentumun bileşeninin sabit olduğu anlamına gelir . Bu nedenle, ikinci denklem şu olur:
ψ˙çünkü(θ)+φ˙{\ displaystyle {\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ nokta {\ varphi}}}ω{\ displaystyle \ omega}K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}
0=ATψ¨günah(θ)+2ATψ˙θ˙çünkü(θ)-VSθ˙ω{\ displaystyle 0 = A {\ ddot {\ psi}} \ sin (\ theta) + 2A {\ nokta {\ psi}} {\ nokta {\ theta}} \ cos (\ theta) -C {\ nokta { \ theta}} \ omega}ve eğer onu ile çarparsak , sağ taraf , ona göre açısal momentum bileşenine eşit olan bir miktarın türevi olur .
günah(θ){\ displaystyle \ sin (\ theta)}ATψ˙günah2(θ)+VSωçünkü(θ){\ displaystyle A {\ nokta {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta)}LÖz{\ displaystyle L_ {Oz}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
Yaklaşık çözünürlük
Açısal hızın diğer açısal hızlara göre büyük olduğu durumlarda kendimizi jiroskopik yaklaşım çerçevesinde konumlandırıyoruz . Bu durumda, eşitlik yaklaştırılır ve eşitlik yaklaştırılır . Bu son eşitlik, özellikle sabit olan anlamına gelir . İlk denklem daha sonra yaklaştığımız hale gelir .
φ˙{\ displaystyle {\ nokta {\ varphi}}}ψ˙çünkü(θ)+φ˙=ω{\ displaystyle {\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ nokta {\ varphi}} = \ omega}φ˙=ω{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = \ omega}ATψ˙günah2(θ)+VSωçünkü(θ)=LÖz{\ displaystyle A {\ nokta {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) = L_ {Oz}}VSωçünkü(θ)=LÖz{\ displaystyle C \ omega \ cos (\ theta) = L_ {Oz}}θ{\ displaystyle \ theta}mg-degünah(θ)=VSψ˙günah(θ)ω-ATψ˙2çünkü(θ)günah(θ){\ displaystyle mga \ sin (\ theta) = C {\ nokta {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega -A {\ nokta {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta)}mg-degünah(θ)=VSψ˙günah(θ)ω{\ displaystyle mga \ sin (\ theta) = C {\ nokta {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega}
Bunu takip eder:
- Kendi açısal dönme hızı sabittir, eşittir .φ˙{\ displaystyle {\ nokta {\ varphi}}}ω{\ displaystyle \ omega}
- Düğüm açısı sabittirθ{\ displaystyle \ theta}
- Açısal devinim hızı sabittir, eşittir .ψ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}mg-deVSω{\ displaystyle {\ frac {mga} {C \ omega}}}
Bunu fark edebiliriz ve paraleldir, ve . Bu nedenle hareket denklemi de yazılmıştır:
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}ÖG→{\ displaystyle {\ vec {OG}}}ÖG→=-deK→{\ displaystyle {\ vec {OG}} = a {\ vec {K}}}L→=VSωK→{\ displaystyle {\ vec {L}} = C \ omega {\ vec {K}}}dL→dt=ÖG→∧mg→{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ vec {OG}} \ kama m {\ vec {g} }}
dL→dt=-m-deg→VSω∧L→{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = - {\ frac {ma {\ vec {g}}} {C \ omega}} \ kama {\ vec {L}}}Daha genel olarak, tipteki bir denklemi sıfır olmayan bir sabitle doğrulayan herhangi bir fiziksel sistem , vektörün yönlendirdiği eksen etrafında bir devinim hareketine maruz kalacağı şekilde olacaktır , ikincisi tam olarak devinimin açısal hız vektörüne eşittir. Aslında, ortogonaldir , bu nedenle bu vektörün modülü L sabittir. Ve sabit vektöre diktir , dolayısıyla bu vektör boyunca bileşeni de sabittir. Önceki iki koşul, bunun bir eksen konisini tanımlamasına neden olur . Öyleyse, devinim hızının duyurulan kadar olduğunu doğrulamak zor değil.
dL→dt=ω→p∧L→{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ vec {\ omega}} _ {p} \ kama {\ {L}}} ileω→p{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}ω→p{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}dL→dt{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}dL→dt{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}ω→p{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}ω→p{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}
Böyle bir fenomenin bir örneği , manyetik momentinin içine daldırıldığı manyetik alanla orantılı olması özelliğine sahip bir manyetik dipolün açısal momentumunu etkileyen Larmor devinimi tarafından verilmektedir (bu, birçok parçacık için geçerlidir). Not orantılılık bu katsayısını. Açısal momentum daha sonra tipin bir denklemini karşılar . Bu manyetik alan sabitse, açısal devinim hızına eşit bir eksen devinim hareketi gerçekleştirin .
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}γ{\ displaystyle \ gamma}dL→dt=-γB→∧L→{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}} = - \ gamma {\ vec {B}} \ kama {\ vec { L}}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}-γB→{\ displaystyle - \ gamma {\ vec {B}}}
Ekinoksların presesyonu
Önceki çalışma , ekinoksların devinim fenomeni için de , tepenin uyguladığı ağırlığın momentini, Dünya'nın ekvator boncuğuna Güneş ve Ay tarafından uygulanan çift tarafından değiştirilerek uygulanır. İlk yaklaşım olarak, açısal devinim hızının teorik ifadesi şöyledir:
ψ˙=-32GVS-ATVS(MSÖlebenldSÖlebenl3+MLsendeğiledLsendeğile3)çünkü(θ)ω{\ displaystyle {\ dot {\ psi}} = - {\ frac {3} {2}} G {\ frac {CA} {C}} \ sol ({\ frac {M _ {\ rm {Soleil}} } {d _ {\ rm {Güneş}} ^ {3}}} + {\ frac {M _ {\ rm {Ay}}} {d _ {\ rm {Ay}} ^ {3}}} \ sağ ) {\ frac {\ cos (\ theta)} {\ omega}}}Ortalama mesafeleri ve Dünya'dan Güneş ve Ay'a kadar kullandığımız yer. ve Güneş ve Ay'ın kütleleri, G evrensel çekim sabiti , C ve A Dünya'nın kutup eksenine ve ekvator eksenine göre eylemsizlik momentleri , ekliptik üzerindeki karasal eksenin eğimi ve Dünyanın kendi başına dönme hızı. Ay'ın katkısı Güneş'in iki katı kadardır (yani Güneş için yaklaşık 16 "/ yıl ve Ay için 34" / yıl).
dSÖlebenl{\ displaystyle d _ {\ rm {Güneş}}}dLsendeğile{\ displaystyle d _ {\ rm {Ay}}}MSÖlebenl{\ displaystyle M _ {\ rm {Güneş}}}MLsendeğile{\ displaystyle M _ {\ rm {Ay}}}θ{\ displaystyle \ theta}ω{\ displaystyle \ omega}
Homojen bir elipsoid kutupsal yarı ekseni a ve yarı ekvatoral ekseni b için , bölüm şu şekildedir , ancak Dünya'nın bu modellemesi, devinim döneminin kesin değerini çıkarmak mümkün değildir. Tersine, bu dönemin astronomik gözlemlerle belirlenmesi, değerinin veya yaklaşık olarak 1/306'nın çıkarılmasını mümkün kılar.
VS-ATVS{\ displaystyle {\ frac {CA} {C}}}b2--de2b2{\ displaystyle {\ frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {b ^ {2}}}}VS-ATVS{\ displaystyle {\ frac {CA} {C}}}
Hipparchus , devinimin açısal hızı hakkında iyi bir tahmin verdi. İlk noktasının konumunu 1 "yay hassasiyeti ile nasıl ölçeceğini bilmiyordu , ancak daha önce 2 asırlık, yani 10.000" yay ölçüsüne sahipti ki bu yeterliydi.
Gök kutup sonsuza yakın değildir kutup yıldızı . 26.000 yılda, gökyüzünde Q noktası etrafında, ekliptiğe dik yönde , Ejderha takımyıldızının yaklaşık ortasında bulunan Q noktası etrafında bir daire tanımladı : yarıçapı 23 ° 26 'olan daire çok geniştir ve 13.000 yıllar direği Herkül ve Lyra takımyıldızının sınırına götürecek : o zaman, iklim açısından, kuzey yarımküre bu kez güney yarımküreden biraz daha fazla ısı alacak (~% 7), ki bu Milanković'in İklim teorisi ( eksantrikliğin periyodik varyasyonunu ve periyodik eğim varyasyonunu eklemeliyiz (Ay'ın varlığıyla stabilize edilmiştir) Böylece , Holosen buzul döngüleri ile dikkate değer bir anlaşma elde ederiz .
Genel dava
çözüm
Hareket denklemlerinin şöyle olduğunu gördük:
{mg-degünah(θ)=ATθ¨+VSψ˙günah(θ)ω-ATψ˙2çünkü(θ)günah(θ)LÖz=ATψ˙günah2(θ)+VSωçünkü(θ)ω=ψ˙çünkü(θ)+φ˙{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} + C {\ nokta {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega - A {\ nokta {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\ L_ {Oz} & = & A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) \\\ omega & = & {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}} \ end {matris}} \ doğru.}nerede ve sabitler. İkinci denklem, bir fonksiyonu olarak ifade etmemize izin verir . Bu ifadeyi ilk denklemde taşırsak, ikinci dereceden doğrusal olmayan bir diferansiyel denklem elde ederiz , genel olarak biçimsel olarak çözülmez, ancak bunun bir birinci integralin, mekanik enerji toplamının ifadesinden başka bir şey olmadığını doğrulayabiliriz, Sürtünme yoksa hareket sırasında sabit olan:
ω{\ displaystyle \ omega}LÖz{\ displaystyle L_ {Oz}}ψ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}θ{\ displaystyle \ theta}θ{\ displaystyle \ theta}
Em=mg-deçünkü(θ)+12⟨Ω→,L→⟩=mg-deçünkü(θ)+12(ATθ˙2+ATψ˙2günah2(θ)+VS(φ˙+ψ˙çünkü(θ))2){\ displaystyle E_ {m} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {L}} \ rangle = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} (A {\ nokta {\ theta}} ^ {2} + A {\ nokta {\ psi}} ^ {2} \ sin ^ {2} ( \ theta) + C ({\ nokta {\ varphi}} + {\ nokta {\ psi}} \ cos (\ theta)) ^ {2})}İfadeleri dikkate alarak ve hareket son iki denklem tarafından verilen, biz edinin:
ψ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}φ˙{\ displaystyle {\ nokta {\ varphi}}}
Em=mg-deçünkü(θ)+12(ATθ˙2+(LÖz-VSωçünkü(θ))2ATgünah2(θ)+VSω2){\ displaystyle E_ {m} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ left (A {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {(L_ { Oz} -C \ omega \ cos (\ theta)) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ sağ)}Bu denklemi genellikle şu şekilde yazıyoruz:
Em=12ATθ˙2+Eeff{\ displaystyle E_ {m} = {\ frac {1} {2}} A {\ dot {\ theta}} ^ {2} + E _ {\ rm {eff}}}ile , miktar etkili potansiyel enerji olarak adlandırılır.
Eeff=mg-deçünkü(θ)+12((LÖz-VSωçünkü(θ))2ATgünah2(θ)+VSω2){\ displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ sol ({\ frac {(L_ {Oz} -C \ omega \ cos ( \ theta)) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ sağ)}Bu denklem, düğüm davranışının nitel bir çalışmasını mümkün kılar , ancak aynı zamanda bazı özel durumlarda, örneğin varyasyonları küçükse doğrusallaştırma ile elde edilen yaklaşık bir çözünürlük sağlar .
θ{\ displaystyle \ theta}θ{\ displaystyle \ theta}
Bunun Poinsot'ta hareket eden bir referans çerçevesinde bir Poinsot hareketi olduğunu gösterebiliriz .
Kaliteli eğitim
Belirli bir anda, 0 ve π'den farklı, bunun sıfır olmayan (örneğin, kesinlikle pozitif) ve bunun farklı olduğunu varsayalım . Bu durumda, zamanın artan bir fonksiyonudur. Değerin π alması veya hatta π'ye yönelmesi imkansızdır, çünkü etkili potansiyel enerji , mekanik enerjinin sabitliğine aykırı olarak, yönelimlidir. Bu nedenle, aşılamayacak bir maksimum değer vardır . Bu değerde iptal edilir. Ayrıca, altına düşürülemeyecek bir minimum değer olduğunu da gösteriyoruz . Düğüm hareketi bu iki değer arasında sınırlıdır. 90 ° 'nin altındaki değerler jiroskopik etkiden kaynaklanmaktadır.
θ{\ displaystyle \ theta}θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}LÖz{\ displaystyle L_ {Oz}}±VSω{\ displaystyle \ pm C \ omega}θ{\ displaystyle \ theta}θ{\ displaystyle \ theta}+∞{\ displaystyle + \ infty}θ1<π{\ displaystyle \ theta _ {1} <\ pi}θ{\ displaystyle \ theta}θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}θ0>0{\ displaystyle \ theta _ {0}> 0}θ{\ displaystyle \ theta}θ{\ displaystyle \ theta}
Hareketsiz yönlendiricinin kararlılığı
Yükselen bir dikey eksen etrafında sabit dönen bir topaç durumu, uykuda olan bir tepe olarak adlandırılır. Bu istikrarın durumunu belirleyebiliriz. Etkili potansiyel enerjinin minimum olması yeterlidir .
θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}
Dönüş dikey ise, elimizde olur ve etkili potansiyel enerjinin ifadesi şöyle olur:
LÖz=VSω{\ displaystyle L_ {Oz} = C \ omega}
Eeff=mg-deçünkü(θ)+12(VS2ω2(1-çünkü(θ)2ATgünah2(θ)+VSω2)=mg-deçünkü(θ)+12VSω2+12VS2ω2ATbronzlaşmak2(θ2){\ displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2} ( 1 - \ cos (\ theta) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right) = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2}} {A}} \ tan ^ {2 } ({\ frac {\ theta} {2}})}Bir sınırlı gelişme mahalle etkili potansiyel enerjinin ardından verir:
θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}
Eeff=mg-de+12VSω2+(VS2ω24AT-mg-de)θ22+Ö(θ2){\ displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga + {\ frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} + \ left ({\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2 }} {4A}} - mga \ right) {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}} + o (\ theta ^ {2})}If , or again içinde bir minimum vardır . Kararlılık, dönme hızı yüksek, eylemsizlik merkezi O noktasına yakın ve eylemsizlik momenti A (küre yerine disk şeklindeki mil) ile karşılaştırıldığında atalet momenti yüksek olduğundan daha büyük olacaktır.
θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}VS2ω24AT-mg-de>0{\ displaystyle {\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2}} {4A}} - mga> 0}VS2ω2>4ATmg-de{\ displaystyle C ^ {2} \ omega ^ {2}> 4Amga}
Tekdüze devinim
Sabit olduğunda tek tip bir devinim vardır . İkinci hareket denklemi , bunun ancak ve ancak sabit olması durumunda gerçekleştiğini gösterir . Bu durumda, ilk hareket denklemi şöyle olur:
ψ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}LÖz=ATψ˙günah2(θ)+VSωçünkü(θ){\ displaystyle L_ {Oz} = A {\ nokta {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta)}θ{\ displaystyle \ theta}
mg-de=VSψ˙ω-ATψ˙2çünkü(θ){\ displaystyle mga = C {\ nokta {\ psi}} \ omega -A {\ nokta {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta)}ikinci dereceden denklem . Bu nedenle, belirli bir düğüm için iki olası presesyon hızı vardır. Pratikte, daha yavaş olanı elde etmesi en kolay olanıdır. Zaman artan bu yavaş presesyon jiroskopik yaklaşım bağlamında yukarıda bulunan presesyon oranı değerine yaklaşır.
ψ˙{\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}θ{\ displaystyle \ theta}ω{\ displaystyle \ omega}
Doğrusal hareket
Jiroskobun hareketinin doğrusallaştırılması, Euler açılarının küçük varyasyonlarının referans açılardan meydana geldiğini varsaymaktan ibarettir. Daha sonra , sadece birinci derecenin koşullarını koruyarak hareket denklemlerinde sınırlı bir geliştirme gerçekleştiririz. Böylece çözülebilir bir doğrusal diferansiyel sistem elde ederiz.
Örnek olarak, aşağıdaki yaklaşımlarla tek tip devinim durumunu ele alıyoruz:
-
θ(t)=θ0+Y(t){\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} + Y (t)}, referans görevi gören sabit bir düğüm açısı nerede ,θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}
-
ψ(t)=t⋅Pr+X(t)günah(θ0){\ displaystyle \ psi (t) = t \ cdot \ mathrm {Pr} + {\ frac {X (t)} {\ sin (\ theta _ {0})}}}Pr ile nütasyona karşılık gelen ve önceki paragrafın denklemini sağlayan sabit devinim oranlarından biri . X ( t ) 'nin paydası , gelecekteki diferansiyel sistemi ve jiroskopun kinetik enerjisinin X ve Y'ye göre ifadesini basitleştirmektir .θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}mg-de=VSω×Pr-ATçünkü(θ0)×Pr2{\ displaystyle mga = C \ omega \ times \ mathrm {Pr} -A \ cos (\ theta _ {0}) \ times \ mathrm {Pr} ^ {2}}
İlk iki hareket denklemini doğrusallaştırıyoruz:
{mg-degünah(θ)=ATθ¨+VSψ˙günah(θ)ω-ATψ˙2çünkü(θ)günah(θ)LÖz=ATψ˙günah2(θ)+VSωçünkü(θ){\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} + C {\ nokta {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega - A {\ nokta {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\ L_ {Oz} & = & A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) \ end {matris}} \ sağ.}ve şunu elde ederiz:
{0=Y¨+VSω-2ATçünkü(θ0)PrATX˙+günah2(θ0)Pr2YX˙=VSω-2ATçünkü(θ0)PrATY{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} 0 & = & {\ ddot {Y}} + {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}} {\ dot {X}} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2} Y \\ {\ dot {X}} & = & {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}} Y \ end {matris}} \ sağ.}Rad / s cinsinden, pratik olarak doğru dönmenin yüksek hızlarına eşit olduğunu ve enerjiyi koruyan bir jiroskopik kuplajı karakterize ettiğini not edelim : bu X'den Y'ye ve tersi.
K=VSω-2ATçünkü(θ0)PrAT{\ displaystyle K = {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}}}VSATω{\ displaystyle {\ frac {C} {A}} \ omega}
İlk denklem şöyle olur:
0=Y¨+KX˙+günah2(θ0)Pr2Y=Y¨+(K2+günah2(θ0)Pr2)Y{\ displaystyle 0 = {\ ddot {Y}} + K {\ dot {X}} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2} Y = {\ ddot {Y}} + (K ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2}) Y}Bu, sinüzoidal bir titreşim salınımı şeklinde entegre edilmiştir . Jiroskobun ucu daha sonra bir küre üzerinde aşağı yukarı uzatılmış bir trokoidi tanımlar .
K2+günah2(θ0)Pr2∼K∼VSATω{\ displaystyle {\ sqrt {K ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2}}} \ sim K \ sim {\ frac {C} { A}} \ omega}
Başka bir örnek: Hareket denklemlerini, başlangıç koşulları olarak 0 ve from'den farklı bir düğüm ve sıfır dönüş ve devinim değişim hızları ile doğrusallaştırırsak, o zaman küre üzerinde sikloid bir hareket elde ederiz, sikloidin noktaları yukarı.
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
Kaynakça
- Michèle Audin, Hamiltonian sistemleri ve integrallenebilirliği , EDP Sciences , 2001, ( ISBN 978-2868835222 )
- J.-P. Pérez, Mekanik, temeller ve uygulamalar , Masson,1997( ISBN 2-225-82916-0 )
Notlar ve referanslar
-
Perez 1997 , s. 383
-
Perez 1997 , s. 393
-
Perez 1997 , s. 389
-
Pierre Kohler, Gökyüzü, evrenin rehber atlası , Hachette ,1982, s. 279
-
Perez 1997 , s. 384
-
L. Landau ve E. Lifchitz, Teorik Fizik, Mekanik , Elipsler ,1994, s. 173
-
Perez 1997 , s. 385
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">