Sınırlı geliştirme

Olarak fizik ve matematik , bir sınırlı genişlemesi (gösterilen DL bir noktada bir fonksiyonun) a, polinom yaklaşım toplamı şeklinde bu fonksiyonun yazma demek ki, bu noktada, çevresinde Bu fonksiyonun:

bir polinom fonksiyonunun ve
dikkate alınan noktanın yakınında ihmal edilebilir bir kalan .

Fizikte, bu şekilde yapılan hatanın (yani kalanın) izin verilen hatadan daha az olması şartıyla, fonksiyonun sınırlı gelişimi ile karıştırılması yaygındır . Birinci dereceden bir genişlemeden memnunsak, doğrusal bir yaklaşımdan veya afin bir yaklaşımdan bahsederiz.

Matematikte, sınırlı gelişmeler , fonksiyonların sınırlarını daha basit bir şekilde bulmayı , türevleri hesaplamayı , bir fonksiyonun integrallenebilir olup olmadığını kanıtlamayı veya eğrilerin teğetlere göre konumlarını incelemeyi mümkün kılar .

Tanımlar

Let $f$ bir aralık üzerinde tanımlı gerçek değerli bir fonksiyonun $I$ ve $x 0 \in I$ . Biz söylemek $f$ sınırlı genişlemesini itiraf sırayla n (olarak kısaltılan DL n cinsinden) $x 0$ mevcut ise, $n + 1$ gerçek sayılar $bir 0 , bir 1 , ..., bir n$ böyle fonksiyonu olduğunu tanımladığı: ${\ displaystyle R: I \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + ... + a_ {n } (x-x_ {0}) ^ {n} + R (x) = \ toplam _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + R ( x)}

doğrular:

R ( x )

eğilimi

, 0

olduğunda

X

eğilimi

x , 0

, ve bu "hızlı" yani toplamı, son dönemde daha:

\ lim _ {{x \ rightarrow x_ {0}}} {\ frac {R (x)} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0.

Bunu doğrulayan $R$ fonksiyonları $o (( x - x 0 ) n ) ile gösterilir$ (bkz. “ Asimptotik karşılaştırma ” makalesi ve daha kesin olarak Landau notasyonları ailesi ). Bu nedenle şunu yazıyoruz:

f (x) = \ toplam _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n} ).

$x = x 0 + h$ ayarlayarak sınırlı bir genişletme yazmak yaygındır :

f (x_ {0} + h) = \ toplam _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} h ^ {i} + o (h ^ {n}).

Acil sonuçlar

Eğer $f$ bir DL kabul 0 içinde $X , 0$ , daha sonra $bir 0 = f ( x 0 )$ .
Eğer $f$ bir DL kabul n de $x , 0$ , o zaman, bir DL kabul k de $x , 0$ herhangi bir tamsayı k < n .
Bir gerekli ve yeterli koşul için $f$ bir DL kabul n de $x , 0$ polinom varlığıdır $P$ , öyle ki $f ( x ) = P ( x ) + O (( X - X 0 ) n )$ . Bu tür bir polinom var ise $p$ , o zaman diğer bir sonsuz vardır, ancak sadece bir tanesi daha az derece olduğu ya da eşit $n$ : geri kalan Öklid bölümü arasında $P ( x )$ ile $( X - X 0 ) n +1$ . Bu adlandırılan düzenli bir parçası , ya da ana parçası DL, n, ve $f$ de $x 0$ . Bazen dilin kötüye kullanılmasıyla DL n'yi normal kısmıyla özdeşleştiririz .

Sınırlı gelişmeler üzerinde operasyonlar

toplam Eğer f ve g , iki DL kabul n de

x , 0

, daha sonra + g f bir DL kabul n de

x , 0

, normal kısmı DL iki normal parça eklenerek elde edilmektedir , n ve f ve g . skaler ile çarpma Eğer f bir DL kabul n de

x , 0

, daha sonra λ f bir DL kabul n de

x , 0

, normal kısmı DL normal bölümünü çarpılarak elde edilir , n ve f X ile. Ürün Eğer f ve g , iki DL kabul n de

X 0

, ilgili normal parçalar, P ve Q , daha sonra FG ve PQ bir DL kabul n de

x 0

aynı normal kısmının. Eğer

x 0

= 0, bu düzenli bir parçası Öklid dizgisinde olan PQ göre X , n + 1 . Tersine çevirmek Eğer U (

x 0

) = 0 ve eğer U bir DL kabul n de

x , 0

, daha sonra

1 / 1 - sen

bir DL n kabul eder . Bu sınırlı genleşme düzenli bir parçası olduğu DL ait N arasında en

x

0

\ toplam _ {{k = 0}} ^ {n} u ^ {k}

bölüm Çarpımı ve tersini birleştirebilir veya payın normal kısmının artan güçlerine göre paydanınkiyle bölebiliriz . Kompozisyon Eğer U , bir DL kabul n de

x , 0

normal kısmı P ve eğer v , bir DL kabul n de u (

x 0

, düzenli kısmı) Q , daha sonra hacim ∘ u ve Q ∘ P bir DL sahip n de

x 0

aynı, bölüm düzenli "Entegrasyon" Eğer f bir DL kabul n de

x , 0

, daha sonra herhangi bir ilkel F arasında f bir DL kabul n + 1 de

x

, 0

olduğu

{\ displaystyle f (x) = \ toplam _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n })}

{\ displaystyle F (x) = F (x_ {0}) + \ toplam _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {i + 1}} (x-x_ {0} ) ^ {i + 1} + o ((x-x_ {0}) ^ {n + 1}).}

türetme Bir DL varlığına ilişkin genel bir teoremi yoktur , n en

x 0

, bir DL kabul bir fonksiyonun türevi için , n + 1 de

x , 0

. Örneğin,

0

, fonksiyon X ↦ x 3 sin (1 / X ) - uzatılmış ile

0 \mapsto 0

bir DL kabul - 2 (o

0 + O ( x 2 )

), ancak türev DL kabul etmez 1 . Öte yandan, daha önce, eğer, sözü geçen

F '

, bir DL kabul n de

x , 0

, o zaman bu DL normal kısmı DL normal kısmının türevidir , n + 1 ve F de

x , 0

Sınırlı geliştirme ve türetilebilir işlevler

Taylor - Young teoremi , $x$ $0$ noktasında (ile ) $n$ kez türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun bu noktada bir DL n kabul etmesini sağlar : ${\ displaystyle ne \ geq 1}$ ${\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {f' '(x_ {0})} {2! }} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ nokta + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})}$ ya kısaltılmış yazıyla $f (x) = \ toplam _ {{i = 0}} ^ {n} {\ frac {f ^ {{(i)}} (x_ {0})} {i!}} (x-x_ {0 }) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})$ .

Biz üzerinde indüksiyonla bunu kanıtlamak n , sayesinde yukarıdaki teoremi ait dönem için dönem “entegrasyon” bir DL.

Bir DL varlığı 0 ile $x , 0 olduğu$ eşdeğer süreklilik de $x , 0$ , ve bir DL varlığı 1 de $x , 0 olduğu$ en Diferensiyellenebilirlik eşdeğer $x 0$ . Öte yandan, için , bir DL varlığı n de $x$ $0$ fonksiyonu olduğu anlamına gelmez kere türevlenebilir $x$ $, 0$ (örneğin x ↦ x 3 sin (1 / X ) süreklilik uzatılmadığı - $0$ -, kabul içerisinde $, 0$ , DL 2 , ancak ikinci bir türevi). $n \ geq 2$ $değil$

Bazı kullanımlar

Düzenin gelişmesi $0$ yılında $x 0$ yazılı tutarlar $f$ sürekli olduğundan $x 0$ : ${\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + o ((x-x_ {0}) ^ {0}) = f (x_ {0}) + o (1)}$

Düzenin sınırlı genişleme $1$ içinde $X 0$ onun tarafından bir eğri yaklaşan miktarlarda teğet olarak $x 0$ ; afin yaklaşımdan da söz ediyoruz : $f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0})$ . Varlığı de fonksiyonun Türevlenebilirliği eşdeğerdir $x 0$ .

Düzenin sınırlı genişleme $2$ içinde $X 0$ , bir tarafından bir eğri yaklaşan miktarlarda parabol olarak, ya da ikinci dereceden hakları $x 0$ . Derece 2 teriminin katsayısının sıfır olmaması koşuluyla , $x 0$ civarında tanjantına göre eğrinin konumunu belirlemeye izin verir : aslında bu katsayının işareti bu konumu verir (ayrıca makaleye bakınız). fonksiyon dışbükey ).

$h$ değişkeninin değişimi $=$ $1 / x$ Bir DL kullanılarak sağlar 0 ile $0$ , bir DL, sonsuzda bir sınır bulmak ve 1 de $0$ teğet olduğu gibi (bir asimptot denklemi belirlemek için, DL 2 yapar mümkün konumunu belirlemek için asimptota göre eğri).

Bazı örnekler

Aşağıdaki işlevler, herhangi bir n tamsayısı için $0'da$ DL n'ye sahiptir .

${\ frac 1 {1-x}} = \ toplam _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + {\ frac {x ^ {{n + 1}}} {1-x} } = \ toplam _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + o (x ^ {n})$ (sonuç, geometrik serinin toplamıdır ).
$ln (1 + x )$ önceki formül entegrasyonu ile , n = m - 1, değişim X için -x ve indeks değişikliği k = i + 1 ${\ displaystyle = \ toplam _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} x ^ {k} + o (x ^ {m})}$
$e x$ (Taylor formülünü kullanarak) ${\ displaystyle = \ toplam _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} x ^ {i} + o (x ^ {n})}$
2 n +2 mertebesine $sin$ DL'nin 2 n + 1mertebesinde ana kısmıaynıdır çünkü $x$ $2$ $n$ $+$ $2'deki$ terimsıfırdır (çift üslü tüm terimler gibi) ve $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+2$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+ 1$ $)$ . ${\ displaystyle x = \ toplam _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} x ^ {2i + 1} + o (x ^ {2n + 2})}$
$çünkü$ sırayla 2 de , n için 2 ile + 1 DL önemli bir kısmının , n terimi, çünkü aynı $x$ $2$ $, n$ $+ 1$ , sıfırdır ve (tüm tek üs bakımından benzeri) $o$ $($ $x$ $2$ $, n$ $+ 1$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $)$ . ${\ displaystyle x = \ toplam _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} x ^ {2i} + o (x ^ {2n + 1})}$
$(1 + x ) bir$ ${\ displaystyle = 1 + \ toplam _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} \ sol (\ prod \ limitler _ {j = 0} ^ {i-1} (aj ) \ sağ) x ^ {i} + o (x ^ {n}).}$

Bu örnekler tüm seriler halinde de geliştirilebilir .

Form

Bazı olağan işlevler , özel işlevleri genişletmek için kullanılabilen $0 ile$ sınırlı bir genişletmeye izin verir:

$(1 + x) ^ {a} = 1 + balta + {\ frac {a (a-1)} {2!}} X ^ {2} + {\ frac {a (a-1) (a-2) ) } {3!}} X ^ {3} + \ cdots + {\ frac {a (a-1) (a-2) ... (a- (n-1))} {n!}} X ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots + x ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots + (- 1) ^ {n} x ^ {n} + o (x ^ {n) })$
${\ displaystyle \ ln {(1-x)} = - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots - { \ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots + (- 1) ^ {n-1} {\ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} + o (x ^ {2n + 1})}$
${\ displaystyle \ günah x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$tan$ ,vardır Bernoulli sayıları . ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} (1-4 ^ {n})} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ { 2n})}$ $B_ {n}$
$cosh$ ${\ displaystyle x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n }} {(2n)!}} + O (x ^ {2n + 1})}$
$günah$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + O (x ^ {2n + 2})}$
$tanh$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} 4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n} )}$
$arksin$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ {5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5} } + \ cdots + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1 ) }} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arccos$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} - x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ { 5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5}} - \ cdots - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arktan$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arşınh$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots ( 2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$artan$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n) + 2})}$

Afin yaklaşımlar: 1. dereceden sınırlı genişleme

Sıklıkla 1. dereceden sınırlı açılımlar ( "afin yaklaşımlar" veya "teğet afin yaklaşımlar" olarak da adlandırılır ) kullanılır, bu da çok büyük bir kesinlik gerekmediğinde hesaplamaları kolaylaştırmayı mümkün kılar; $x 0$ noktasında şu şekilde verilirler :

{\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + (x-x_ {0}) f '(x_ {0}) + o (x-x_ {0})}

(biz denklemi bulmak teğet için grafikte $f$ ).

Özellikle, $0$ noktasında :

(1+x)de=1+dex+Ö(x){\ görüntü stili (1 + x) ^ {a} = 1 + balta + o (x)} ${\ görüntü stili (1 + x) ^ {a} = 1 + balta + o (x)}$ ve bu yüzden
- ${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + o (x)$ ve
- ${\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1 + {\ frac {x} {2}} + o (x) ~;}$
${\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x + o (x) ~;}$
${\ görüntü stili {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + o (x).}$

Her zamanki gelişmeler $0$ arasında trigonometrik fonksiyonlar

Sipariş vermek için:
- ${\ displaystyle \ günah x = x + o (x ^ {2})}$ , , ${\ displaystyle \ arcsin x = x + o (x ^ {2})}$
- ${\ displaystyle \ tan x = x + o (x ^ {2})}$ , , ${\ displaystyle \ arctan x = x + o (x ^ {2})}$ bu formüller genellikle küçük açı yaklaşımları olarak bilinir ve
sipariş etmek için: ${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + o (x ^ {3})}$ .

Notlar ve referanslar

Sınırlı gelişme kavramı, fonksiyonun karmaşık veya vektör değerlerine sahip olduğu durumda genelleştirilebilir , ancak bu makalede bu duruma yaklaşılmamıştır; diğer genellemeler için asimptotik gelişme makalesine bakın .
Jacqueline Lelong-Ferrand ve Jean-Marie Arnaudiès , Matematik kursu , t. 2: Analiz , Bordalar,1977, 4 th Ed. , s. 148, tanım IV.7.2; (varsa benzersiz olan) kendisi polinom onlar tarafından adlandırılır geliştirilen sınırlı bir $f$ , ve gösterilen $DL n ( f )$ ya da, hassas, gerekli ise, $DL n ( f , x 0 )$ .
Bir gösteri için, örneğin Vikiversite ile ilgili "Sınırlı gelişmeler" bölümünün "Tanım" kısmına bakın .
Bir gösteri için, örneğin Vikiversite ile ilgili "Sınırlı gelişmeler" bölümünün § "Toplam ve ürün" kısmına bakın .
Vikiversite ile ilgili “Sınırlı gelişmeler” bölümünün “Kompozisyon” bölümünde bir örnek sunulmuştur .
Bu, L'Hôpital kuralının bir uygulamasıdır . Bir gösteri için, örneğin Vikiversite ile ilgili "Sınırlı gelişmeler" bölümündeki § "Dönem için türetme ve entegrasyon terimi" bölümüne bakın .
Örneğin Vikiversite ile ilgili “Sınırlı gelişmeler” bölümündeki § “Taylor formülleri”ne bakın .

İlgili Makaleler