Ferrari Yöntemi

Ferrari yöntemi hayal ve mükemmel Ludovico Ferrari (1540) mümkün hale getirir çözmek dördüncü derece denklemleri radikaller ile eklemeler, çıkarma, çarpma, bölümler ve kare bir kombinasyonu gibi çözümler yazmak için demek ki, kübik ve denklemin katsayılarından oluşan kuartik kökler. Descartes (1637) ve Lagrange (1770) ' in daha sonraki yöntemleriyle aynı formülü, farklı bir görünüm altında dört çözümü sağlar .

Yöntemin prensibi

İlk önce denklemi ( baskın katsayıya bölerek, ardından 3. derece terimini ortadan kaldırmak için değişkeni çevirerek ) formun bir denklemine indirgiyoruz.

{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}

Yöntemin merkez noktası daha sonra monomial değiştirmekten ibarettir $z 4$ polinomla $( z 2 + λ) 2 - 2λ z 2λ2$ parametreli, $X$ ve bulmakta uygun değerini $X$ imkanı sağlar, $z 4 + pz 2 + QZ + r$ Bu nedenle iki kare bir fark olarak, üzerinden bir dikkate değer bir kimlik iki bir sonucu olarak, ikinci derece polinom .

Bazı yazarlar başlamak tercih kareye tamamlama , $z 4 + Pz 2 = ( z 2 + p / 2) 2 - p 2 /4$ , bir başka parametre (Ferrari yöntemini temin etmesini sağlayan, $u = λ - s / 2$ ), Descartes ve Lagrange'in yarısına eşittir ( $y = 2λ - p$ ).

Uygulama

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} -2 \ lambda z ^ { 2} - \ lambda ^ {2} + pz ^ {2} + qz + r \\ & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} - \ sol [(2 \ lambda -p) z ^ {2} -qz + \ lambda ^ {2} -r \ right]. \ End {dizi}}}$

Terimi, $(2λ - p ) z 2 - QZ + λ 2 - R$ , bir polinom olarak görülen $z$ , bir kare olarak yazılır, ancak ve ancak bunun ayırt edici , $q, 2 - 4- (2λ - p ) (λ 2 - r )$ , sıfırdır.

Bu nedenle, kübik (inç) çözme adı verilen karşılık gelen denklemi çözüyoruz :

{\ displaystyle 8 \ lambda ^ {3} -4p \ lambda ^ {2} -8r \ lambda + 4rp-q ^ {2} = 0}

3. derece denklemi çözmenin klasik yöntemlerinden birini kullanarak .

Bir çözüm $λ 0$ , ardından $a 0$ , $b 0$ (muhtemelen karmaşık) seçerek , örneğin:

{\ displaystyle a_ {0} ^ {2} = 2 \ lambda _ {0} -p \ quad {\ text {ve}} \ quad b_ {0} = - {\ frac {q} {2a_ {0}} }}

ilk denklem şöyle olur:

{\ displaystyle (z ^ {2} + \ lambda _ {0}) ^ {2} - (a_ {0} z + b_ {0}) ^ {2} = 0}

veya:

{\ displaystyle (z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0}) (z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ { 0}) = 0}

bu, iki faktörden birinin iptaline eşdeğerdir:

{\ displaystyle z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0} = 0 \ quad {\ text {veya}} \ quad z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ {0} = 0}

Bu iki denklemin her biri $z$ için iki değer veya toplamda dört değer sağlar.

Hemen hemen tüm yazarlar dolaylı hariç burada durum $2λ 0 - s$ (bir yol açacak sıfır bölme $, bir 0 = 0$ yukarıda tanımı $b 0$ ). Ancak bu durumda, $q = 0,$ dolayısıyla $z 4 + pz 2 + qz + r = 0$ denklemi basitçe dörtlü bir denklemdir .

Örnekler için, Wikiversity'deki derse ( aşağıdaki bağlantı ) ve alıştırmalarına bakın.

Referans Notları

Bu ön adım geri kalanını basitleştirmiyor, bazı yazarlar ondan vazgeçiyor: bkz.Joseph -Alfred Serret , Cours d'Algebre Supérieur ,1854, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1849) da ( okuma çizgi ) , s. 233-237, (en) John Hymers (en) , Cebirsel Denklemler Teorisi Üzerine Bir İnceleme , Deighton, Bell,1858, 3 e ed. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 106-107veya Wikiversity'deki “Ferrari Yöntemi” bölümünün sonu ( aşağıdaki bağlantı ).
Daniel Perrin , “ Ferrari'nin yönteminin geometrik vizyon [...] ” , üzerinde Orsay Matematik Bölümü .
(en) Jean-Pierre Tignol , Galois'in Cebirsel Denklemler Teorisi , World Scientific ,2001( çevrimiçi okuyun ) , s. 24.
Tignol 2001 , s. 22-23.
(in) AG Kurosh ( trans. Rusça itibaren), Yüksek Cebir , Mir ,1980( 1 st ed. 1972) ( okuma çizgi ) , s. 231.
Tignol 2001 , s. 24.
En azından Tignol 2001 , s. 24.
$q$ $= 0$ durumu hakkında daha fazla ayrıntı için, örneğin Wikiversity'deki bu düzeltilmiş alıştırmaya bakın .

Ayrıca görün