Üstel nesne

Gelen matematik ve daha özel olarak Kategori teorisi , bir üstel bir amacı , bir kategorik eşdeğerdir fonksiyonel mekan grubu olarak teori . Tüm bitmiş ürünleri ve tüm üstel nesneleri içeren kategorilere kapalı Kartezyen kategoriler denir . Üstel bir nesne, bir güç nesnesi veya bir morfizm nesnesi olarak da adlandırılabilir.

Tanım

Cı bir kategori olsun ürünleri C'de karıştırma üstel nesne nesneleri ve Y ve Z , Z -Y bir şekilde tanımlanabilir evrensel morfizmalar arasında funktor x - Y için Z . (Funktor - x -Y den C için C nesne gönderir X için X- X , Y ve morfizmanın φ için φ x id Y ).

Açıkça, bir morfizmi olan bir Z Y nesnesi, herhangi bir nesne X ve herhangi bir morfizm g için üstel bir nesnedir : ( X × Y ) → Z , aşağıdaki diyagramın değişeceği şekilde benzersiz bir morfizm vardır : ${\ mathrm {eval}} \ kolon (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z$ $\ lambda g \ iki nokta üst üste X \ - Z ^ {Y}$

Üstel bir amacı ise , Z , Y , tüm nesneler için Z de C , daha sonra gönderir funktoru Z ile Z, Y a, sağ eşlenik x - functor Y . Bu durumda, morfizm kümeleri arasında doğal bir eşleştirme vardır.

{\ mathrm {Hom}} (X \ times Y, Z) \ cong {\ mathrm {Hom}} (X, Z ^ {Y}).

Morfizmler ve bazen üstel asistanlar olarak adlandırılır . $g$ $\ lambda g$

İçin unutmayın setleri kategorisinde , . $A, B$ $A ^ {B} = {\ mathrm {Hom}} (B, A)$

Örnekler

Gelen setlerinin kategorisinde , üstel nesne tüm uygulamaların kümesidir içinde . Uygulama , ( f , y ) çiftini f ( y ) üzerinde gönderen değerlendirme uygulamasıdır . Herhangi bir uygulama için , bir uygulama olan curried formu arasında g : $Z ^ {Y}$ $Y$ $Z$ ${\ mathrm {eval}} \ kolon (Z ^ {Y} \ times Y) \ - Z$ $g \ iki nokta üst üste (X \ times Y) \ rightarrow Z$ $\ lambda g \ iki nokta üst üste X \ - Z ^ {Y}$

\ lambda g (x) (y) = g (x, y).

Gelen topolojik boşlukların kategorisi , üstel bir amacı , Z , Y ise mevcut Y, a, yerel kompakt boşluk . Bu durumda, uzay Z Y tüm kümesidir sürekli haritalar gelen Y için Z ile sağlanan kompakt-açık topoloji . Değerlendirme uygulaması setler kategorisi ile aynıdır. Eğer Y, yerel kompakt değildir, üstel nesne (boşluk olmayabilir Z -Y değerlendirme sürekli olmayabilir, çünkü bir üstel nesne hala var, ancak zorunlu olarak değil). Bu nedenle, topolojik uzaylar kategorisi kapalı Kartezyen değildir.

Referanslar

(en) Jiří Adámek , Horst Herrlich ve George Strecker, Soyut ve Somut Kategoriler (The Joy of Cats) , John Wiley & Sons ,2006( 1 st ed. 1990) ( okuma çizgi )

(in) Robert Goldblatt , Topoi: mantığın kategori analizi , North-Holland , diğerleri. "Mantık Çalışmaları ve Matematiğin Temelleri # 98",1984, Revize ed. , 551 s. ( ISBN 978-0-444-86711-7 ) , "Bölüm 3: epsilon yerine Oklar" , s. 72

(içinde) Saunders Mac Lane , Çalışan matematikçi kategorileri , Springer-Verlag , diğerleri. "Matematikte lisansüstü metinler",1978, 2 nci baskı. , 314 s. ( ISBN 978-0-387-98403-2 , çevrimiçi okuyun ) , "Bölüm 4: Milletvekilleri" , s. 98

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Üstel nesne " ( yazarların listesini görmek ) .

Dış bağlantılar

Üstel nesnelerin ve diğer kategorik yapıların örneklerini üreten Jocelyn Paine tarafından yazılmış etkileşimli web sayfası .