Yüzdürme olan kuvvet , bir tamamen veya kısmen yerleştirilmiş bir gövde tarafından gerçekleştirilen özel bir sıvı ( sıvı veya gaz ) ve bir alana maruz yerçekimi . Bu kuvvet , derinlik veya yükseklik ile sıvının basıncının artmasından kaynaklanır (yerçekiminin sıvı üzerindeki etkisi, hidrostatik maddeye bakınız ): batık bir cismin alt kısmında, üst kısmından daha büyük basınç, sonuç genellikle dikey bir yukarı doğru itmedir. Bir cismin kaldırma gücünü bu itme kuvvetiyle tanımlarız . Bu itme ilk olarak Arşimet tarafından incelenmiştir .
“Durağan bir sıvıya daldırılan, sıvı tarafından tamamen ıslanan veya serbest yüzeyini geçen herhangi bir cisim, aşağıdan yukarıya doğru yönlendirilen ve yer değiştiren sıvının hacminin ağırlığına eşit (ve zıt) dikey bir kuvvete maruz kalır . Bu kuvvete Arşimet'in itmesi denir . İtme merkezi olarak adlandırılan yer değiştiren sıvının kütle merkezi için geçerlidir . "
Teoremin uygulanabilmesi için, batık sıvı ve batık cisim hareketsiz olmalıdır. Suya daldırılmış gövdeyi, dengeyi bozmadan daldırılan sıvı ile değiştirmek de mümkün olmalıdır, karşı örnek su ile dolu bir küvetin tıpasıdır: bunun yerine su konulursa, küvetin boşaldığı ve küvetin boşaldığı açıktır. sıvı artık dinlenmede değildir. Teorem, tıpanın sıvı tarafından tamamen ıslanmadığı ve serbest yüzeyinden geçmediği bir durumda olduğumuz için geçerli değildir.
Önceki koşullara uyulduğunda, tek biçimli bir yerçekimi alanında , not edilen Arşimet itmesi aşağıdaki formülle verilir:
P→AT=-mfg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} veya:Akışkanın yoğunluğunun ρ da aynı olduğu özel durumda , elimizde:
P→AT=-ρVg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} veya:Kuvvetlerin yoğunluklarını ( normlarını ) göz önüne alırsak, o zaman, ilişkili vektörlerin normlarını P A ve g'ye not ederek , şunları elde ederiz:
Yoğunluk P bir Arşimet itme ifade edilir N , yoğunluk ρ içinde kg m -3 , yer değiştiren akışkan hacminin V bölgesi m 3 ve yer çekimi ivmesi g olarak d s -2 .
Dinlenme halindeki bir sıvıyı düşünün. Bu sıvı içindeki herhangi bir şeklin belirli bir hacmini düşünce yoluyla sınırlandırırız. Bu hacim de hareketsizdir: ağırlığına rağmen bu hacim düşmez. Bu nedenle ağırlığının, onu yerinde tutan ve dış sıvıdan gelen karşıt bir kuvvet tarafından titizlikle dengelendiği anlamına gelir. Şimdi her zaman düşünceyle bu hacmi herhangi bir cisimle değiştiriyoruz. Akışkanı dengede tutan kuvvet, hacmin yüzeyine etki eden bir sıkıştırma kuvveti olduğundan, aynı kuvvetin batık cisim için hala geçerli olduğunu varsaymak mümkündür: her zaman yer değiştiren akışkanın ağırlığının tersidir. Arşimet'in itmesidir. Durgun haldeki homojen akışkan ile durgun haldeki akışkana daldırılan cisim için kuvvet alanlarının aynı olmasına "katılaşma teoremi" denir.
Bir varsayalım küp kenarı a olan tam bir sıvı içinde batık yatay ve derinlikte bulunan olmak üst yüzü z 1 > 0 (pozitif yönde aşağı). Artan z ekseni boyunca yönlendirilen birim vektörü göstereceğiz (dolayısıyla aşağı yönlü).
Düzgün bir yerçekimi alanına maruz kalan durgun haldeki sıkıştırılamaz bir sıvı durumunda, z derinliğindeki mutlak basınç p şu değere eşittir :
veya:Bir benzer bir sıvı sütununu dikkate doğru kaldırım değişken yükseklik z olan ve taban yüzeyinin sabittir ve bir eşit A. derinlikte z norm hidrostatik basınç karşılık P arasında ağırlık baz bölünmesi, A ve sıvı sütunu: p ( z ) = P / A .
Bununla birlikte, sıvı kolonun ağırlığının ifadesi şu şekildedir:
veya:Bu nedenle, p ( z ) = P / A formülünü kullanarak şunu elde ederiz :
.Bu nedenle mutlak basınç
.Tarafından simetri , küpün dört yan yüzleri üzerine uygulanan basınç kuvvetleri ikişer ikişer birbirlerini iptal.
Küpün üst yüzüne ( A = a 2 alanının) sıvı tarafından uygulanan kuvvet , yukarıdan aşağıya doğru yönlendirilir ve şu değere eşittir:
.z 2 = z 1 + a derinliğinde bulunan küpün alt yüzüne ( A = a 2 alanının) sıvı tarafından aşağıdan yukarıya doğru yönlendirilen kuvvetin değeri:
.Bu nedenle basınç kuvvetlerinin sonucu şu değere eşittir:
veya:Bu nedenle ortaya çıkan kuvvet, yer değiştiren sıvı hacminin ağırlığının tam tersine oldukça eşittir. Bu kuvvet negatif olduğundan, aşağıdan yukarıya doğru dikey olarak iyi yönlendirilmiştir.
Önceki gösterimi herhangi bir şekle sahip bir hacme genellemek mümkündür. Sonsuz elemanları d bir sonsuzluğa hacmi çevreleyen yüzey ayrıştırılması için yeterlidir S , bundan sonra bir ekleme, uçaklar olduğu varsayılır integrallerin hesaplama her sonsuz kuvvetleri, her biri üzerinde uygulanan yüzey elemanı .
Arşimet teoremi gradyandan çıkarılabilir : kapalı bir S yüzeyi ile sınırlandırılmış , mutlak olarak tek tip olması gerekmeyen bir yerçekimi alanına maruz kalan ρ yoğunluğundaki bir akışkana tamamen daldırılmış , belirsiz bir V hacmini varsayalım .
Basıncın p tanımına göre , hacme uygulanan basınç kuvvetlerinin bileşkesi:
veya:Gradyan teoremi ile hidrostatiğin temel yasasına göre , bu ifade şöyle olur:
yer değiştiren sıvının hacminin ağırlığının tersidir.
Hacmi V , kütlesi m ve yoğunluğu ρ olan bir katıyı, düzgün yoğunluğu ρ f olan bir sıvıya tamamen daldıralım , sonra onu durgun halden çıkaralım . Başlangıçta, hız sıfır, sadece iki kuvvet katı hareket: ağırlığı F p (aşağı doğru) ve Arşimet itme F bir (yukarı doğru).
F p = ρ V g F , bir = ρ f V g F p / K bir = ρ / ρ fBu durumda, yoğunluk oranı eşdeğerdir yoğunlukları :
Katının dengede olmadığı iki durumda, sonraki hareketi üç kuvvet tarafından belirlenir: ağırlığı, Arşimet itmesi (ağırlığın karşıtı) ve viskoz bir sürtünme kuvveti F f (hızın tersi).
Göre Newton'un hareket ikinci yasasına , o zaman var:
F p - F a ± F f = m a (pozitif yön aşağı)burada bir katı madde hızlandırılmasıdır.
Viskoz sürtünme kuvveti sabit olmadığı ve hız ile arttığı için, ivme kademeli olarak azalır, böylece katı, kuvvetlerin bileşkesi sıfır olduğunda az çok hızlı bir şekilde sınırlayıcı bir hıza ulaşır.
Yoğunluğu ρ L olan bir sıvının yüzeyinde yüzen katı bir hacim V ve ρ S yoğunluğunu düşünün . Katı yüzüyorsa, bunun nedeni ağırlığının Arşimet'in itme kuvvetiyle dengelenmesidir:
F , bir = F p .Arşimet itme kuvveti (mutlak değerde) yer değiştiren sıvının hacminin ağırlığına ( batırılmış V i hacmine eşit) eşit olarak şunu yazabiliriz:
ρ L V ben g = ρ S V g - (1).Batık hacim bu nedenle değer:
V ben = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Yana V > V i , bu aşağıdaki ρ S < ρ L .
Bir buzdağı vakasına başvuru0 °C'de deniz suyunda yüzen bir parça saf buz düşünelim . Let ρ S = 0.917 g / cm ' 3 ve ρ L = 1.025 g / cm' 3 (biz olurdu ρ L = 1.000 g / cm ' 3 için saf su ile 3.98 ° C ). Raporρ Sρ L(yani göreceli yoğunluk daldırılmış birim böylece, 0.895 eşittir) V i toplam hacminin yaklaşık% 90 temsil eder V buzdağının.
Bir bardakta eriyen bir buz küpüSaf su üzerinde yüzen bir buz parçasının erimesinin, su seviyesinde bir değişiklik olmaksızın gerçekleştiğini doğrulamak kolaydır. Batık buzun hacmi gerçekten de buz küpünün ağırlığına eşit olmak için gerekli olan sıvı su hacmine tekabül eder ( Denk. 1). Buz küpü eriyerek (kütlenin korunumuyla) tam olarak bu hacimde su üretir ve bu da "katı buzun kaybolmasıyla kalan deliği tıkar". Su seviyesi aynı kalır. Yandaki şekilde, noktalı çizgilerle sınırlandırılmış hacim, sol camda, daldırılan buzun hacmi ve sağ camda, buz küpünün erimesiyle üretilen sıvı suyun hacmidir.
Ayrıca aşağıdaki hesaplama yapabilir: Bunlardan durumunda, örneğin, bir buz 1 cm 3 ve yoğunluk 0.917 g cm- -3 (dolayısıyla 0.917 içeren g su), batık hacmi 0.917 olan cm 3 ( Eq. 2 ) (bir buzdağı gibi, çoğu su altındadır). Buz küpü eridiğinde, şimdi 1 g · cm -3 yoğunluğuna sahip olacak olan bu 0.917 g su, tam olarak buz küpünün batık kısmının kapladığı hacmi kaplayacaktır.
Her şey, Arşimet'in itişi gövdenin merkezine , yani yer değiştiren sıvı hacminin ağırlık merkezine uygulanmış gibi olur .
Bu özellik, bir denizaltının su altında veya bir aerostatın stabilitesinin hesaplanması için önemlidir : Bu makinelerin döndüğünü görme cezası altında, gövde merkezlerinin ağırlık merkezlerinin üzerinde olması gerekir.
Öte yandan bir gemi söz konusu olduğunda, aşırı doğrultu momentlerini önlemek için gövdenin merkezi genellikle ağırlık merkezinin altında bulunur. Bununla birlikte, teknenin eğimi değiştiğinde ( yuvarlanma ), gövdenin merkezi ağırlık merkezinden daha fazla yanal olarak hareket eder, bu da tekneyi orijinal eğimine döndürme eğiliminde olan tork üretir . İstikrar daha sonra, itme varyasyonlarının uygulama noktası olan metamerkezin konumu ile sağlanır. Bu metamerkez, ağırlık merkezinin üzerinde olmalıdır.
Anekdot olarak, denizaltı tasarımcılarının makineleri için aynı anda iki tür denge sağlamaları gerektiğini fark edebiliriz: dalışta denge ve yüzeyde denge.
Yüzer Kuruluşlara Dair Risâle ettiği, Arşimet ve sıvı ya da üzerinde yüzen dalmış katı cisimlerin denge koşulları - - akışkanların statiği yasalarına dışarı setleri muhtemelen Arşimed eserlerinin bilinen en iyi, herkes Keep çünkü Arşimet'in banyo yaparken hidrostatik temel ilkesine dair sezgiye sahip olduğunu söyleyen Vitruvius'un aktardığı anekdotu dikkate alın:
Arşimet yaşamış Yunan bilgin Syracuse , Sicilya dan 287 M.Ö.. AD için 212 M.Ö.. AD , ister matematik ister fizik alanında olsun, birçok bilimsel, teorik veya pratik çalışmasıyla tanınır . Oluşumu Yüzer ilgili İnceleme sıkı bir sıvı, katı ya da sıvı bir gövdenin daldırma, çalışmalar düşük, eşit ya da daha büyük bir yoğunlukta , bir dal için de temel oluşturur akışkan mekaniği "daha geç olarak adlandırılacak, hidrostatik ". Bu kitap tam olduğu gösterilmektedir bilim adamı, adını taşıyan teoremi olan XVI inci yüzyıla.
Yüzer Kuruluşlara Dair Risalesi Arşimed itme ilişkin diğer önerileri içerir:
Vitruvius , Syracuse Kralı II. Hieron'un (306-214) genç arkadaşı ve bilimsel danışmanı Arşimet'ten (o zamanlar 22 yaşında) Zeus'a adak olarak yaptığı altın bir tacın tamamen altından olup olmadığını doğrulamasını isteyeceğini bildirir. ya da usta içine gümüş koymuşsa . Çek tabii ki taca zarar vermemek içindi. Bunun şekli de süslemenin hacmini hesaplamak için çok karmaşıktı. Arşimet hamamdayken nesnelerin içinde nasıl yüzdüğünü gözlemleyerek tacın gerçekten altın olup olmadığını doğrulamanın bir yolunu bulurdu. O zaman çırılçıplak sokağa çıkıp " Eureka !" diye bağırırdı . » (Buldum!), O zamandan beri ünlü olan bir formül.
Arşimet'in hamamda yaptığı gözlem, verilen aynı hacim için cisimlerin aynı ağırlığa sahip olmadığı, yani birim hacim başına farklı bir kütleye sahip olduğudur. Günümüzde yoğunluktan bahsediyoruz . Gümüş (yoğunluk 10.500 kg m -3 ) altından daha az yoğundur (yoğunluk 19.300 kg m -3 ), dolayısıyla daha düşük bir yoğunluğa sahiptir: aynı kütleyi elde etmek için altından daha fazla miktarda gümüş gerekir. Zanaatkar kralın tacına para sakladıysa, Arşimet tacın yalnızca altından yapılmışsa olduğundan daha büyük olması gerektiği sonucuna vardı. Böylece kuyumcu aldatmacası ortaya çıktı.
Böylece Arşimet, Kral Hieron'un sorusunu yanıtlamak için taç tarafından yer değiştiren su hacimlerini ve aynı kütleye sahip bir miktar altını karşılaştırabildi. Her ikisi de aynı hacimde suyu hareket ettirirse, yoğunlukları eşittir ve her ikisinin de aynı metalden yapıldığı sonucuna varılabilir. Deneyi gerçekleştirmek için, altın kütlesini ağzına kadar doldurulmuş (ve nesneyi daha iyi gözlemlemek için bir ağızla donatılmış) bir kaba daldırmayı hayal edebilirsiniz. Belirli bir miktar su daha sonra kaptan taşacaktır (ölçmek için toplanabilir). Ardından altını çıkarıp yerine incelenecek olan taç takıyoruz. Taç tamamen altınsa, su taşmaz. Öte yandan, yoğunluğu daha düşükse ve dolayısıyla aynı kütle için hacmi daha büyükse, ek su taşacaktır.
Yer değiştiren suyun hacmi, altın içindeki gümüş oranına bağlı olacaktır; Altın, gümüşten yaklaşık olarak iki kat daha yoğun olduğundan, kütlece %10 altının gümüşle değiştirilmesi, hacimde %10'luk bir artışa yol açar. Ama nedeniyle altın yüksek yoğunluk, hacmi derece düşüktür: 1 arasında bir taç hacmi kg altının yalnızca biraz daha fazla 50 cm 3 sadece 4.34 arasında bir farktır gümüş, altın ve yerine% 10 cm 3 (bir çay kaşığı içindeki su hacmi)
Vitruvius tarafından bu şekilde açıklanan yöntemin iki dezavantajı vardır. Birincisi, Arşimet ilkesini burada devreye sokmamasıdır. İkinci sorun, gerçekçi koşullar altında, altının yoğunluğu ve taç hacminin küçük olması nedeniyle, yer değiştiren suyun hacminin çok küçük olması ve ölçümünün farklı işlemlerde kaybolabilecek su tarafından bozulmasıdır. Bu nedenle Arşimet'in böyle bir deneyimden anlamlı sonuçlar çıkarması pek olası değildir.
Daha gerçekçi bir yöntem aşağıdaki gibidir. Kütleleri eşit olan bir tarafta taç ve diğer tarafta saf altın ile dengeyi dengeliyoruz. Ardından, tartılan nesneler tamamen daldırılır (tartının ölçeklerinin etkisinin üstesinden gelmek için, kesinlikle aynı olduklarından emin olabiliriz veya daha iyisi, ince bir tel ile değiştirerek onları kaldırabiliriz. ve yoğunluğu suya yakın. ). Taç saf altın değilse, hacmi biraz daha büyüktür, bu nedenle aynı saf altından bir miktar daha büyük bir Arşimet kuvveti üretir ve terazinin ilk dengesi bozulur. Burada yine ağırlık farkı küçüktür; koşulları yukarıda hayal altında, bu 5 ağırlığına tekabül cm 3 su, yani 5 g . Bu nedenle, zor ama gerçekçi olmayan böyle bir değişimi tespit edebilecek bir dengeye ihtiyacımız var.
Cihaz aslında hidrostatik balans adı altında üretilmişti .
Anekdot, La Baignoire d'Archimède gibi başlıklarla sürdürülür . Sven Ortoli ve Nicolas Witkowski (1998) tarafından yazılan A Little Mythology of Science veya Henri Abril (2012) tarafından yazılan The Bath of Archimedes - Poetic Anthology of Obériou .