D'Alembert prensibi
D'Alembert ilkesi bir olan ilke ve analitik mekaniği tüm belirten stres güçlerinin bir sistemin çalışır bir değil sanal değiştirme .
Bu ilke, 1743'te Jean le Rond d'Alembert tarafından , Dinamikler Üzerine İnceleme adlı eserinde farklı terimlerle ifade edilmiştir ; daha sonra Joseph-Louis Lagrange tarafından analitik mekaniğin geliştirilmesinde, özellikle 1788'de dinamiklerin temel ilkesinden başlayan Euler-Lagrange denklemlerini , en az eylem ilkesinden geçmeden (ona izin veren bir yöntem) göstermek için kullanıldı. onları 1756'da bulmak için).
Aslında, bu ilke, örneğin, bir nesnenin yerleştirildiği masanın pasif olduğunu (yalnızca vücuda tepki kuvvetlerine karşı gelir) ve ona herhangi bir hızlanma veya enerji sağlamayacağını varsayar.
Matematiksel formülasyon
Sistem, bir sonlu grubu ile karakterize olduğu varsayılmaktadır P arasında malzeme noktaları tabi kısıtlar (katılıklar, evrim, mekanik eklemler, vb alanının sınırlarını), ancak olmadan sürtünme .
Sistemin sanal olarak yer değiştirmesinin tanımı : P noktalarının anlık ve sonsuz küçük bir yer değiştirmesidir ve fiziksel kısıtlamalara saygı duyulur.
δr→{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}
Gerilmeler fiziksel kısıtlamalar (vücut yerleştirildiği masa tepki kuvveti, rijitlik direnci saygı böylece vücuda tatbik kuvvetler , dış kuvvetlerin , ...).
D'Alembert ilkesi, bir sisteme uygulanan gerilim kuvvetleri kümesinin sanal bir yer değiştirme sırasında çalışmadığını ( enerji üretmediğini veya tüketmediğini ) söyler :
Gerilme kuvvetleri her biri için ise , o zaman vücudun herhangi bir sanal yer değiştirmesi için, bizde:
R→ben{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {i}}ben∈P{\ displaystyle i \ P’de} (δr→ben)ben∈P{\ displaystyle \ sol (\ delta {\ vec {r}} _ {i} \ sağ) _ {i \ P içinde}}
∑ben∈PR→ben⋅δr→ben=0{\ displaystyle \ sum _ {i \ P} {\ vec {R}} _ {i} \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i} = 0} (d'Alembert denklemi),ile
hızlanma ve (kısıtlama değildir) kuvvetlerin toplamı ile etkili olan ve kullanılarak
dinamiklerinin temel ilkesi yazılır , bir elde eder
-de→ben{\ displaystyle \ {\ vec {a}} _ {i}}F→ben{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}} ben∈P{\ displaystyle \ i \ P’de}mben.-de→ben=F→ben+R→ben{\ displaystyle \ textstyle m_ {i}. {\ vec {a}} _ {i} = {\ vec {F}} _ {i} + {\ vec {R}} _ {i}}∑ben∈P(F→ben-mben-de→ben)⋅δr→ben=0{\ displaystyle \ sum _ {i \ in P} \ sol ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} \ sağ) \ cdot \ delta { \ vec {r}} _ {i} = 0}
Lagrange denklemlerini kanıtlayın
Gelen Kartezyen koordinatlar ve bir in referans atalet çerçevesi , DAlembert denklemi ve dinamikleri temel ilkesi vermek ; ile N genelleştirilmiş koordinatları elde ettiğimiz , burada ve , sırasıyla, genel kuvvetleri ve hızlanma .
∑ben∈P(F→ben-mben-de→ben)⋅δr→ben=0{\ displaystyle \ sum _ {i \ in P} \ sol ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} \ sağ) \ cdot \ delta { \ vec {r}} _ {i} = 0} ∑j=1değil(Qj-ATj)⋅δqj=0{\ displaystyle \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} \ sol (Q_ {j} -A_ {j} \ sağ) \ cdot \ delta q_ {j} = 0} (Qj)j=1,..,değil{\ displaystyle \ \ sol (Q_ {j} \ sağ) _ {j = 1, .., n}} (ATj)j=1,..,değil{\ displaystyle \ \ sol (A_ {j} \ sağ) _ {j = 1, .., n}}
Genelleştirilmiş koordinatlar bağımsızsa, her şey için onlardan çıkarım yapabiliriz .
ATj=Qj{\ displaystyle \ A_ {j} = Q_ {j}} j=1,...,değil{\ displaystyle \ j = 1, ..., n}
Sistemin toplam
kinetik enerjisi yazılır .
T=12∑ben∈Pmben(r→˙ben)2{\ displaystyle \ T = {1 \ bölü 2} \ toplamı _ {i \ P} m_ {i} \ solda ({\ nokta {\ vec {r}}} _ {i} \ sağ) ^ {2} }Bazı hesaplamalar bunu gösteriyor . Sonra eşitliğe ulaşırız .
ATj=ddt∂T∂q˙j-∂T∂qj{\ displaystyle \ A_ {j} = {d \ over dt} {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi q_ {j}}}} ddt∂T∂q˙j-∂T∂qj=Qj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi q_ {j} }} = Q_ {j}}Nereden,
kuvvet muhafazakârsa (yani ve ) veya eğer (
elektromanyetik kuvvet durumunda olduğu gibi ) ise, kişi şu sonuca varır:
Qj=-∂U∂qj{\ displaystyle \ Q_ {j} = - {\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi q_ {j}}}} ∂U∂q˙j=0{\ displaystyle \ {\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} = 0} Qj=ddt∂U∂q˙j-∂U∂qj{\ displaystyle \ Q_ {j} = {d \ over dt} {\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi q_ {j}}}} L=T-U{\ displaystyle \ L = TU}
ddt∂L∂q˙j-∂L∂qj=0{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi q_ {j} }} = 0}, Hangi
Lagrange denklemleri .
Genelleştirilmiş koordinatlar bağımsız değilse ve yalnızca bir kısıt varsa, o zaman bunu herkes için ve kısıtın genelleştirilmiş kuvvetinin vektörüyle orantılı bir vektörün nerede olduğunu (ve bir için oldukça kolay hesaplanabilir olan) çıkarabiliriz. holonomik kısıt ), ilişkili orantılılık katsayısı ( Lagrange çarpanı ) ile. Her kısıtlama, ek bir benzer terim ekler. Sonra elde ederiz:
ATj-Qj=λ.Zj{\ displaystyle \ A_ {j} -Q_ {j} = \ lambda .Z_ {j}} j=1,...,değil{\ displaystyle \ j = 1, ..., n} (Zj)j=1,...,değil{\ displaystyle \ (Z_ {j}) _ {j = 1, ..., n}} λ=λ(q,q˙,t){\ displaystyle \ \ lambda = \ lambda (q, {\ nokta {q}}, t)}
ddt∂L∂q˙j-∂L∂qj=λ.Zj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi q_ {j} }} = \ lambda .Z_ {j}}, Hangi
Lagrange denklemleri ile,
Lagrange çarpanı .
Notlar ve referanslar
-
Bu hesaplamalar Eşitlikler kullanmak ve nerede ∂r→˙ben∂q˙j=∂r→ben∂qj{\ displaystyle \ {\ frac {\ kısmi {\ nokta {\ vec {r}}} _ {i}} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {j}}} = {\ frac {\ kısmi { \ vec {r}} _ {i}} {\ kısmi q_ {j}}}} ddt∂r→ben∂qj=∂r→˙ben∂qj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ kısmi {\ vec {r}} _ {i}} {\ kısmi q_ {j}}} = {\ frac {\ kısmi {\ nokta {\ vec {r}}} _ {i}} {\ kısmi q_ {j}}}} r→ben=r→ben(q1,q2,...,qdeğil,t){\ displaystyle \ {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}, t)}
-
n- boyutlu uzayda sistemin serbestlik dereceleri üzerine mantık yürüterek : bkz. Bölüm I, Tamamlayıcı 1.2 , p34-35 Mekanik: Lagrangian formülasyonundan Hamilton kaosuna , Claude Gignoux ve Bernard Silvestre-Brac tarafından; EDP-Sciences editörü, 2002, 467 sayfa ( ISBN 2868835848 ) .
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
- Claude Gignoux ve Bernard Silvestre-Brac; Mekanik: Lagrangian formülasyonundan Hamilton kaosuna , EDP-Sciences editörü, 2002, ( ISBN 2-86883-584-8 ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">