Sıra (doğrusal cebir)

bir ailenin rütbe vektörlerin olan boyut ve vektör altuzaydan bu aile tarafından oluşturulan. Örneğin, doğrusal olarak bağımsız vektörlerden oluşan bir aile için , sıralaması vektörlerin sayısıdır;
Bir rütbesiyle doğrusal haritası ait in onun boyutudur görüntünün bir vektör alt uzay olduğunu . Teoremi seviye boyutunu ile ilgilidir , ve bir boyut çekirdek arasında ve en yüksek derecedeki ; ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$
a seviye matrisi sıralamasıdır temsil ettiği doğrusal bir harita , ya da sütun vektörlerinin ailesinin rank;
a sıralaması lineer denklem sisteminin herhangi bir denklem sayısıdır eşdeğer çaplı bir sistem . Sistemin katsayılarının matrisinin sırasına eşittir.

Bir matrisin sıralaması

Bir matrisin sıralaması (katsayıları ait değişmeli alan bir skaler , ), belirtilen şekildedir: $AT$ $\ mathbb {K}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A)}$

maksimum doğrusal bağımsız satır (veya sütun) vektör sayısı;
satır (veya sütun) vektörleri tarafından oluşturulan vektör alt uzayının boyutu ; $AT$
çıkarılan tersinir kare matrislerin en büyük mertebesi ; $AT$
sıfır olmayan küçüklerin en büyüğü ; $AT$
matrislerin boyutları küçük ve kimin ürün eşittir , tüm bu sayılar eşittir. $B$ $VS$ $AT$

Derece , Gauss-Jordan yöntemi ile bir eleme yapılarak ve bu şekilde elde edilen adım şekli incelenerek belirlenebilir .

Misal

Aşağıdaki matrisi düşünün:

AT=(1023204602201243){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

Dört satırın oluşturduğu vektörlere diyoruz . $l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}, l_ {4}$ $AT$

Biz görüyoruz 2 nd sıralaması böylece satır, çift ilk satır olan olan ailenin buna eşit . $AT$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$

Bu da Not 4 inci hattı (demek ki hatları 1 ve 3 toplanmasıyla oluşturulabilir ). Yani sıralaması , değerine eşittir . $l_ {4} = l_ {1} + l_ {3}$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$ $(l_ {1}, l_ {3})$

1. ve 3. satırlar doğrusal olarak bağımsızdır (yani orantısızdır). 2. sıra da öyle . $(l_ {1}, l_ {3})$

Son olarak, sıralaması 2'dir. $AT$

Başka bir yol da bu matrisin ölçekli bir şeklini hesaplamaktır . Bu yeni matris, orijinal matrisle aynı sıraya sahiptir ve sıra, sıfır olmayan satırlarının sayısına karşılık gelir. Bu durumda, bu kritere uyan iki satırımız var.

AT′=(1023011000000000){\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Belirli bir matrisin rankının, transpoze derecesine eşit olduğuna dikkat edin . Örnek için, yukarıdaki A matrisinin devrikini alalım:

tAT=(1201002224243603){\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 ve 3 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 ve 3 \\\ end {pmatrix}}}

O görülmektedir 4 th hat ilk üç katıdır ve üçüncü satır ikinci az iki katı birinci olduğunu.

Ölçeklendirmeden sonra, bu nedenle şunu elde ederiz:

(1201001100000000){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

ve bu matrisin sıralaması aslında 2'dir.

Bir Sırası kuadratik formu

İkinci dereceden bir formun sıralaması, ilişkili matrisin derecesidir.

Doğrusal bir haritanın sıralaması

İki Verilen -vector boşluk , nerede değişmeli gövde ve doğrusal bir haritalama olduğu bir yer bir sıra boyutudur resmin içinde . $K$ $E$ $F$ $K$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$

Eğer ve sonlu boyutlara sahip, aynı zamanda ilişkili matrisin sıralaması olan iki bazlar arasında ve . Özellikle, ilişkili matrisin sıralaması, temsil etmek için seçilen bazlara bağlı değildir . Aslında, bir ters çevrilebilir matrisi ile sağa sola çarpma veya sıra, potansiyel değişmez , matris temsil eden bazlar bir birinci çiftinde, ve , bir baz değişikliği matrisi . $E$ $F$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} \ sol (P ^ {- 1} AQ \ sağ) = {\ text {rg}} (A)}$ $AT$ $f$ $P$ $Q$

Bir vektör ailesinin sıralaması

Bir aile için, sıralaması, bu ailenin serbest bir alt ailesinin içerebileceği maksimum vektör sayısına karşılık gelir.
Sıra da bir aile tanımlayabilirsiniz olarak: . $sen$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (u) = \ dim ({\ text {Vect}} (u))}$

Not: eğer 1'den için tamsayılar tarafından dizine vektörlerin bir ailedir , daha sonra rütbe doğrusal haritanın rütbe mi $(u_ {1}, \ noktalar, u_ {n})$ $değil$ $sen$

Kdeğil→E:(r1,...,rdeğil)↦∑rbensenben{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ noktalar, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ noktalar, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

skalerlerin alanı nerede . Nedeni şudur: bu doğrusal uygulamanın görüntüsü.

\ mathbb {K}

{\ displaystyle {\ text {Vect}} (u)}

Özellikleri

A, B ve C matrisler olsun.

Frobenius eşitsizliği : ${\ displaystyle {\ text {rg}} (AB) + {\ text {rg}} (BC) \ leq {\ text {rg}} (ABC) + {\ text {rg}} (B)}$

Gösteri

Daha genel olarak, üç lineer (boyutlar ille sonlu vektör boşluklar arasında) haritaları için , ve , biz , çünkü standart morfizmanın içinde de neden olduğu bir örten . ${\ displaystyle c: E \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle b: F \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle a: G \ rightarrow H}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (a \ circ b) + {\ text {rg}} (b \ circ c) \ leq {\ text {rg}} (a \ circ b \ circ c) + { \ text {rg}} (b)}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (b)} {{\ text {im}} (b \ circ c)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (a \ circ b)} {{\ text {im}} (a \ circ b \ circ c)}}}$ $-de$

(Özel durum) Sylvester eşitsizliği : eğer sahiptir sütunlar ve sahip ardından satırları $AT$ $değil$ $B$ $değil$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B) -n \ leq {\ text {rg}} (AB)}$

Sıra teoremi : doğrusal haritası içinde , $f$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E) = {\ metni {rg}} (f) + \ dim ({\ metni {Ker}} (f))}$
Transpoze matris ve transpoze harita : ve ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} A) = {\ text {rg}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} f) = {\ text {rg}} (f)}$
Matrislerin çarpımı ve doğrusal uygulamaların bileşimi : ve ; özellikle - ile bileşim sola veya sağa ilgili kimlik - arasında bir lineer sıralaması içinde olan daha az veya eşit ve ${\ displaystyle {\ text {rg}} (BA) \ leq \ min ({\ text {rg}} (B), {\ text {rg}} (A))}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (g \ circ f) \ leq \ min ({\ text {rg}} (g), {\ text {rg}} (f))}$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E)}$ ${\ displaystyle \ dim (F)}$
Ekleme : , eşitlikle, ancak ve ancak, görüntüleri ve yalnızca sıfırda kesişir ve yeri değiştirilmiş ve yalnızca sıfırda kesişirse. ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A + B) \ leq {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B)}$ $AT$ $B$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} A}$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} B}$
Bir vektör ailesinin sıralaması, temel işlemle değişmez .
İki matris, ancak ve ancak aynı sıraya sahiplerse eşdeğerdir .
Seviye uygulaması ile ilgili in , olduğu , aşağıdaki yarı-sürekli . ${\ displaystyle M_ {m, n} (\ mathbb {R})}$ $\ mathbb {R}$
Büyük kapalı dışbükey fonksiyon topa rütbe baltalıyor , (Belirttiğimiz vektörü tekil değerlerin arasında ) bu topu sınırlamadır nükleer norm . Biz tanımlarsanız Daha doğrusu, tarafından , nerede olduğunu indikatriks ait daha sonra, biconjugate edilir yazılı . Rütbeyi bir setle sınırlamadan, çok az kullanımlık bir kimlik elde ederiz . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n} \ orta \ sol \ | A \ sağ \ | \ leq 1 \}}$ ${\ displaystyle \ sol \ | A \ sağ \ |: = \ max \ {\ sol \ | Ax \ sağ \ | _ {2} \ orta \ sol \ | x \ sağ \ | _ {2} \ leq 1 \ } = \ | \ sigma (A) \ | _ {\ infty}}$ $\ sigma (A)$ $AT$ $\ | \ cdot \ | _ {*}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m \ times n} \ - {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle f = {\ operatöradı {rg}} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ${\ displaystyle f ^ {**} = \ sol \ | \ cdot \ sağ \ | _ {*} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ $\ operatöradı {rg} ^ {{**}} = 0$

Skaler alanının değişmeli olmadığı durum

Yukarıda, skalerlerin alanının değişmeli olduğunu varsaydık. Bir matrisin rankı kavramını, skaler alanının mutlaka değişmeli olmadığı, ancak tanımın biraz daha hassas olduğu duruma genişletebiliriz.

Izin vermek zorunlu olmayan değişmeli bir alan ve katsayıları ile m satır ve n sütunlu bir matris olsun . Biz diyoruz rütbe ait (bakımından sütunları tarafından üretilen alt uzay boyutunda) içinde onun yapısı ile sağlanan -vector alanı sağda . Soldaki K-vektör uzayının yapısı ile sağlanan in çizgilerinin ürettiği alt uzayın boyutuna da rankının eşit olduğunu kanıtlıyoruz . $K$ $M$ $\ mathbb {K}$ $M$ $K$ $M$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ $K$ $M$ $M$ ${\ mathbb {K}} ^ {n}$

Örneğin bir nonkomutatif alanı göz önünde K ve matris , ve iki unsurlarıdır gidip etmeyen, (bu elemanı da bu nedenle değildir). $A: = {\ begin {pmatrix} a & 1 \\ ca & c \\\ end {pmatrix}}$ $-de$ $vs$ $K$

Bu matrisin iki çizgisi , soldaki vektör uzayında doğrusal olarak ilişkilidir , çünkü . Aynı şekilde, iki sütun da sağdaki vektör uzayında ilişkilidir , çünkü . Matrisin sıralaması bu nedenle 1'e eşittir. $K ^ {2}$ ${\ displaystyle c (a, 1) - (ca, c) = (0,0)}$ $K ^ {2}$ ${\ displaystyle (a, ca) - (1, c) a = (0,0)}$

Öte yandan, soldaki vektör uzayında iki sütun bağlantılı değildir . Gerçekten de, izin ve olmak skalerler öyle ki . Sonra (birinci bileşenler) , dolayısıyla (ikinci bileşenler) . Yana ve geçiş yapmak için değil varsayılır, bu sonuçlar (çarpma ile bir çelişki almak için) ve sonuç olduğunu . Böylece, matrisin iki sütununun soldaki vektör uzayında doğrusal olarak bağımsız olduğunu kanıtladık . $K ^ {2}$ $d$ $e$ ${\ displaystyle d (a, ca) + e (1, c) = (0,0)}$ ${\ displaystyle e = -da}$ ${\ displaystyle dca-dac = 0}$ $-de$ $vs$ ${\ displaystyle d = 0}$ ${\ displaystyle d ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle e = -da}$ $e = 0$ $K ^ {2}$

Notlar ve referanslar

(inç) G. Marsaglia ve GPH Styan, " Rank ( A + B ) = rank ( A ) + rank ( B ) ne zaman olur? " , Canadian Mathematical Bulletin , cilt. 15,1972, s. 451-452 ( çevrimiçi okuyun ).
(in) Sayın Fazel, Matris sıra minimizasyonu uygulamaları ile Doktora Tezi. Elektrik Mühendisliği Bölümü , Stanford Üniversitesi ,2002.
Bu özellik, rütbeyi en aza indirerek (örneğin görüntülerin sıkıştırılmasında) cimri nesneler elde etmeye çalıştığı sorunlara müdahale eder. Sıra, tamsayı değerlerine sahip bir fonksiyon olduğundan, en aza indirilmesi zordur, bazen nükleer normu en aza indirmeyi içeren sorunun dışbükey yaklaşımını dikkate almayı tercih eder.
Tanım, N. Bourbaki'ye uygundur, Cebir , bölüm I, Paris, Hermann, 1970, s. II.59, tanım 7.
Bkz. N. Bourbaki, Algebra , bölüm I, Paris, Hermann, 1970, s. II.59, destek. Bu önermenin gösterilmesini takip eden 10 ve paragraf.