Genelleştirilmiş Fourier serileri

Gelen analiz , birkaç uzantıları Fourier serileri arasında kavramına yararlı kanıtlamıştır. Böylelikle, belirli bir skaler çarpıma bağlı Hilbert esasına göre fonksiyonların ayrıştırmalarını yazmayı mümkün kılarlar . Ele alınan durum , örneğin enterpolasyon teorisinde uygulamaları olan, gerçek doğrunun bir aralığı üzerindeki integrallenebilir kare fonksiyonlarındandır .

Tanım

Izin vermek , içinde değerleri olan bir dizi integral alabilir kare fonksiyonlar , ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C} {\ mbox {veya}} \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ Phi = \ {\ varphi _ {n}: [a, b] \ - \ mathbb {F} \ orta n \ içinde \ mathbb {N} \}}

skaler çarpım için ikiye ikiye ortogonal olan :

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ overline {g}} (x) \, w (x) \, \ mathrm {d} x}

burada W bir ağırlık fonksiyonudur ve belirtmektedir kompleks konjügatı , yani evet . ${\ displaystyle {\ overline {\ cdot}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {g}} (x) = g (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$

Ve genelleştirilmiş bir Fourier serisi bir integrali kare fonksiyonu f : [ a , b ] → , ilgili cp kadar verilir ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$

{\ displaystyle f (x) \ sim \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} \ varphi _ {n} (x)}

serinin katsayılarının verildiği yer

{\ displaystyle c_ {n} = {\ langle f, \ varphi _ {n} \ rangle _ {w} \ over \ | \ varphi _ {n} \ | _ {w} ^ {2}}}

Eğer Φ tam bir küme ise , dolayısıyla Hilbert uzayı L 2 ([ a , b ]) 'nin bir Hilbert temelini tanımlıyorsa , ilişki L 2 anlamında bir eşitlik haline gelir , daha kesin olarak modülo | · | w ( hemen hemen her yerde veya her noktada olması gerekmez ). $\ sim$

Misal

Fourier serisi

Periyodik bir fonksiyonun Fourier serisi , klasik nokta çarpımı için bir Hilbert temeli oluşturan fonksiyonlar için genelleştirilmiş bir Fourier serisidir : ${\ displaystyle \ {\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} nx} \ orta n \ in \ mathbb {Z} \}}$

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x) \, {\ overline {g }} (x) \, \ mathrm {d} x}

Fourier-Legendre serisi

Legendre polinomları çözeltileridir Sturm-Liouville sorun

{\ displaystyle \ sol ((1-x ^ {2}) P_ {n} '(x) \ sağ)' + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0}

Bu polinomların problemin özvektörleri olduğunu ve birim aralık üzerinden klasik skaler çarpım için ortogonal bir aile oluşturduğunu biliyoruz . İlişkili genelleştirilmiş Fourier serisi (Fourier-Legendre serisi olarak da adlandırılır) bu nedenle verir

{\ displaystyle f (x) \ sim \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} P_ {n} (x)}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ langle f, P_ {n} \ rangle _ {w} \ over \ | P_ {n} \ | _ {w} ^ {2}}}

Örneğin, [−1, 1] üzerindeki ƒ ( x ) = cos x fonksiyonu için Fourier-Legendre serisini hesaplayalım . Şimdi,

{\ displaystyle {\ begin {align {align}} c_ {0} & = {\ int _ {- 1} ^ {1} \ cos x \, \ mathrm {d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1 } (1) ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = \ sin 1 \\ c_ {1} & = {\ int _ {- 1} ^ {1} x \ cos x \, \ mathrm { d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1} x ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = {0 \ 2/3 üzerinden} = 0 \\ c_ {2} & = { \ int _ {- 1} ^ {1} {3x ^ {2} -1 \ over 2} \ cos x \, \ mathrm {d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1} {9x ^ {4} -6x ^ {2} +1 \ over 4} \, \ mathrm {d} x} = {6 \ cos 1-4 \ sin 1 \ over 2/5} = {5 \ over 2} (6 \ cos 1-4 \ sin 1) \ end {hizalı}}}

ve bu seri genişletmeyi kullanan bir toplam:

{\ displaystyle c_ {2} P_ {2} (x) + c_ {1} P_ {1} (x) + c_ {0} P_ {0} (x) = {5 \ 2'den fazla} (6 \ cos 1 -4 \ sin 1) \ left ({3x ^ {2} -1 \ over 2} \ right) + \ sin 1}

{\ displaystyle = \ sol ({45 \ 2'den fazla} \ cos {1} -15 \ sin {1} \ sağ) x ^ {2} +6 \ sin 1- {15 \ 2'den fazla} \ cos 1}

x = 0 için cos ( x ) 'den yaklaşık 0.003 farklıdır. Bu nedenle Fourier-Legendre serisinin kullanılması avantajlı olabilir, çünkü özvektörler polinomlardır ve integral hesaplamalar için kullanımı daha kolaydır.

Yakınsama sonuçları

Katsayılar c n , Fourier serisine benzer özelliklere sahiptir:

Bessel eşitsizliği

{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} \ leq \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w ( x) \, \ mathrm {d} x}

. Parseval eşitliği Φ tam bir set ise

{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w (x ) \, \ mathrm {d} x}

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Genelleştirilmiş Fourier serileri " ( yazarların listesini görmek ) .
Alfio Maria Quarteroni, Riccardo Sacco ve Fausto Saleri, Sayısal Yöntemler , Springer Science & Business Media,2008