Blichfeldt teoremi

Gelen matematik , Blichfeldt teoremi olan aşağıdaki teoremi tarafından 1914 yılında gösterdi Hans Blichfeldt (de) :

Izin vermek bir tamsayı $k> 0$ . Herhangi birinde bölge arasında ℝ n ve hacim katı daha büyüktür , ve herhangi bir kompakt hacmi , var biri ayrı noktaları olan farklar altındadır tamsayıdır koordinatları . $k$ $k$ $k + 1$

Veya eşdeğer olan:

Izin bir ağ ℝ ait n ait covolume . ℝ herhangi bölgesinde N kesinlikle daha büyük hacim ve hacim herhangi bir kompakt , orada mevcut olan farklılıklar ait ayrı puan . $\ Lambda$ $V$ ${\ displaystyle kV}$ ${\ displaystyle kV}$ $k + 1$ $\ Lambda$

Minkowski teoreminden başlayarak , sayıların geometrisinin çoğu bundan kaynaklanır ve bu durum çok hızlı bir şekilde kanıtlamak için yeterlidir. $k = 1$

Gösteriler

Öncelikle bir “bölge” düşünelim ℝ ait n : (anlamda burada alınacak Lebesgue bölüm - ölçülebilir , “hacim” nin (anlamında) Lebesgue ölçümü ) . $M$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} (M)> k}$

Aşağıdaki üç delilden ilk ikisi, şu lemmaya dayanmaktadır (çünkü bu, acildir ): $k = 1$

Ölçümler için çekmece prensibi . - Hadi olmak bir ölçülen alan ve bir çoğu sayılabilir aile ölçülebilir parçaların . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (N _ {\ alpha})}$ $X$

Eğer daha sonra bir nokta vardır , en az ait bu parçaların. ${\ displaystyle \ toplamı _ {\ alfa} \ mu (N _ {\ alfa})> k \, \ mu (\ fincan _ {\ alfa} N _ {\ alfa})}$ $X$ $k + 1$

Kanıtı basit: işaret ederek indikatriks herhangi bir parçasının arasında biz bu nedenle fonksiyon var daha sıkı büyüktür en az bir noktada. ${\ displaystyle \ mathbb {1} _ {N}}$ $DEĞİL$ $X$ ${\ displaystyle \ int _ {\ cup _ {\ beta} N _ {\ beta}} \ sum _ {\ alpha} \ mathbb {1} _ {N _ {\ alpha}} \ \ mathrm {d} \ mu > \ int _ {\ cup _ {\ beta} N _ {\ beta}} k \ \ mathrm {d} \ mu}$ ${\ displaystyle \ toplamı _ {\ alpha} \ mathbb {1} _ {N _ {\ alpha}}}$ $k$

Çeviriler bir temel alan tam sayı koordinatları ile vektörler ile meydana bölümü ℝ arasında N , dolayısı ile de bunların kesişme arasında bir bölme şeklinde . Bununla birlikte, Lebesgue ölçümü, çeviri ile değişmez . Bu nedenle: ${\ displaystyle D: = \ sol [0,1 \ sağ [^ {n}}$ $M$ $M$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} \ lambda _ {n} (D \ cap (M- \ alpha)) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb { Z} ^ {n}} \ lambda _ {n} ((D + \ alpha) \ cap M) = \ lambda _ {n} (M)> k = k \, \ lambda _ {n} (D) \ geq k \, \ lambda _ {n} (\ cup _ {\ alpha \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} (D \ cap (M- \ alpha))}$ .Çekmece prensibine göre, bu nedenle en az bir nokta ve gibi farklı vektörler vardır . Noktaları daha sonra farklı olan, ve bunların farkları ilk gösterilişini sona bütün koordinatlar, gerçekten de vardır. $D’de {\ displaystyle z \}$ $k + 1$ ${\ displaystyle \ alpha _ {0}, \ dots, \ alpha _ {k} \ in \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \, M- \ alpha _ {i}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle m_ {i}: = z + \ alpha _ {i} \ M olarak}$ ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {j} = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}}$

, Varsayalım genelliği kaybetmeden bu, bir sınırlı . M > 0 tamsayısını göz önünde bulundururuz ve 0 ile m arasında tamsayı koordinatlarına sahip her α vektörüyle , çevrilen M + α'yı ilişkilendiririz . Bu δ bu için M dahildir [-δ, δ] n , tüm bu çevirir bloğa dahil edilmiştir [-δ, m + δ] n , şekilde gösterildiği gibi. For m yeterince büyük, elimizdeki ( m + 1) n λ n ( M )> k ( m + 2δ) n , demek olduğunu: $M$ ${\ displaystyle \ toplamı _ {\ alpha \ in \ {0, \ noktalar, m \} ^ {n}} \ lambda _ {n} (M + \ alpha)> k \, \ lambda _ {n} (\ sol [- \ delta, m + \ delta \ sağ] ^ {n}) \ geq k \, \ lambda _ {n} \ left (\ cup _ {\ alpha \ in \ {0, \ dots, m \} ^ {n}} (M + \ alpha) \ sağ)}$ .İlk gösterimde olduğu gibi, çekmece prensibi sayesinde sonuçlandırıyoruz.
Bu üçüncü gösteri zaman geçerlidir olduğunu cubable . Herhangi bir tam sayı için , ait olan noktaların sayısını belirtin . Bu sayı olduğu eşdeğer için zaman , bu nedenle daha kesin olarak büyüktür için yeterince büyük. Ancak modulo , sadece form sınıflarının elemanları . Bunlardan biri bu nedenle en azından içerdiği düşünülen noktalar, işte bu var yani o kadar içerdiği ayrı puan arasında . Farklılıklar aslında tüm koordinatlarda ve bu üçüncü gösteriyi sona erdiriyor. $M$ $r> 0$ ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $M$ ${\ displaystyle r ^ {n} \ lambda _ {n} (M)}$ $infty$ ${\ displaystyle r ^ {n} k}$ $r$ $\ mathbb {Z} ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle r ^ {n}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}} içinde {\ displaystyle z \$ ${\ displaystyle z + \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle m_ {0} = z + \ alpha _ {0}, \ dots, m_ {k} = z + \ alpha _ {k}}$ $M$ ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {j} = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}}$

Şimdi bir hacim kompakt düşünün . Yukarıda anlatılanlara göre, tam sayılar için bir orada demet gibi , . Dizisi (değerlerle ürün kompakt ) bir yapışma değerine sahip aynı zamanda daha sonra, bir yapışkanlık değeri arasında . İçin , bu nedenle aittir kapalı . $M$ $k$ $t> 0$ $(k + 1)$ ${\ displaystyle m_ {t} = \ sol (1 + {\ frac {1} {t}} \ sağ) p_ {t} \ in \ sol (1 + {\ frac {1} {t}} \ sağ) M ^ {k + 1}}$ $i \ ne j$ ${\ displaystyle m_ {t, i} -m_ {t, j} \ in \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle (p_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ ${\ displaystyle M ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle p \ içinde M ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle (m_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $i \ ne j$ ${\ displaystyle p_ {i} -p_ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$

Notlar ve referanslar

(inç) HF Blichfeldt, " Sayıların geometrisinde yeni bir ilke, Bazı uygulamalarla " , Trans. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 15,1914, s. 227-235 ( çevrimiçi okuyun ).
(inç) John WS Cassels , Sayıların Geometrisine Giriş , Springer ,1971( 1 st ed. 1959) ( okuma çizgi ) , s. 69.
(en) Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke ve Matthias Köppe, Kesikli Optimizasyon Teorisinde Cebirsel ve Geometrik Fikirler , SIAM ,2013( çevrimiçi okuyun ) , s. 41-42.
(inç) Carl Douglas Olds , Anneli Lax ve Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers , MAA ,2000, 174 p. ( çevrimiçi okuyun ) , böl. 9 ("Sayıların geometrisinde yeni bir ilke") , s. 119 : " Bu atılımın kredisi, 1914'te sayıların geometrisinin büyük bir kısmının takip ettiği bir teorem yayınlayan Hans Frederik Blichfeldt'e gidiyor " .
(inç) Pascale Gruber ve Cornelis Gerrit Lekkerkerker , Sayıların Geometrisi , Wolters-Noordhoff ve Kuzey-Hollanda,1987, 2 nci baskı. ( 1 st ed. , 1969, 510, s.), 731 , s. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 42-43.
(içinde) Pete L. Clark, " Sayı teorisine uygulamalarla sayıların geometrisi " , 2011'den 2012'ye , Önerme 5.9, s. 30 .
dava Blichfeldt teoreminin böylece gösterilmiştir (tr) Carl Douglas Olds, Anneli Lax ve Giuliana Davidoff, Sayıların Geometri , MAA , ${\ displaystyle k = 1, n = 2}$ 2000, 174 p. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 69-73.
Gruber ve Lekkerkerker 1987 , s. 48.
Cassels 1971 , s. 70.