Constable teoremi
Olarak analiz , sıkma teoremi (aynı zamanda bilinen mengene gelen teoremi , çerçeveleme teoremi veya teoremi sandviç ) a, teoremi için bir fonksiyonu limiti . Bu teoreme göre, eğer iki fonksiyon ( f ve h ) bir ( a ) noktasında aynı limiti kabul ederse ve üçüncü bir fonksiyon ( g ) f ve h arasında "kenetlenmiş" (veya " çerçevelenmiş " veya "sandviçlenmiş") ise civarı arasında bir , daha sonra gr kabul ediyor sahip bir sınır ortak sınırına eşit f ve h .
Sabit Teoremi, genellikle bir işlevin sınırını, sınırı bilinen veya kolayca hesaplanan diğer iki işlevle karşılaştırarak belirlemek için kullanılır.
Eyaletler
Şunlardır:
-
E bir topolojik uzay ;
-
Has bir kısmını bir E ;
-
-de{\ displaystyle a}bir nokta e yapışan için A ;
-
f{\ displaystyle f}, Ve üç fonksiyon A içinde ℝ = ℝ ∪ {-∞ + ∞} ;g{\ displaystyle g}h{\ displaystyle h}
-
L{\ displaystyle L}ℝ öğesi .
Eğer ve eğer , o zaman yakınlaşıyor ve .f≤g≤h{\ displaystyle f \ leq g \ leq h}lim-def=lim-deh=L{\ displaystyle \ lim _ {a} f = \ lim _ {a} h = L}g{\ displaystyle g}-de{\ displaystyle a}lim-deg=L{\ displaystyle \ lim _ {a} g = L}
İsmin kökeni
Teoremin tanıdık isim anlamak için, işlevlerini eşit olmalıdır f ve h için jandarma ve g şüpheli için. İki jandarma tarafından denetlenen ikincisi, onları L jandarmasına kadar takip etmekle yükümlüdür . İtalya'da buna " tüfek teoremi ", "yüzleşme teoremi" veya hatta "sandviç teoremi" denir .
Özel durumlar
- Eğer ve ise, teoremin hipotezleri ayarlanarak karşılanır .f≤g{\ displaystyle f \ leq g}lim-def=+∞{\ displaystyle \ lim _ {a} f = + \ infty}L=+∞{\ displaystyle L = + \ infty}h:x↦+∞{\ displaystyle h: x \ mapsto + \ infty}
- Eğer ve ise, teoremin hipotezleri ayarlanarak karşılanır .g≤h{\ displaystyle g \ leq h}lim-deh=-∞{\ displaystyle \ lim _ {a} h = - \ infty}L=-∞{\ displaystyle L = - \ infty}f:x↦-∞{\ displaystyle f: x \ mapsto - \ infty}
- Grubu A bir olabilir , gerçek aralığı ve nokta vardır , bu aralığın bir eleman, ya da iki limit (sonlu veya değil) bir.
- Teoremi veya ve ile de uygulayabiliriz : u , v ve w üç gerçek dizi ise, öyle ki tüm n > NAT=DEĞİL{\ displaystyle A = \ mathbb {N}}{değil∈DEĞİL∣değil>DEĞİL}{\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ orta n> N \}}-de=+∞{\ displaystyle a = + \ infty}sendeğil≤vdeğil≤wdeğil ve limdeğil→+∞sendeğil=limdeğil→+∞wdeğil=L, yani limdeğil→+∞vdeğil=L,{\ displaystyle u_ {n} \ leq v_ {n} \ leq w_ {n} {\ text {et}} \ lim _ {n \ ila + \ infty} u_ {n} = \ lim _ {n \ ile + \ infty} w_ {n} = L, {\ text {sonra}} \ lim _ {n \ ila + \ infty} v_ {n} = L,}ile gerçek veya sonsuzun .L{\ displaystyle L}
Örnekler
İlk örnek
Jandarma teoreminin uygulanmasının klasik bir örneği:
limx→+∞günahxx=0{\ displaystyle \ lim _ {x \ ila + \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} = 0}veya eşdeğer olan:
limy→0ygünah(1y)=0{\ displaystyle \ lim _ {y \ ila 0} y \ sin ({\ tfrac {1} {y}}) = 0}.
Doğrudan jandarma teoremi ile de gösterilebilen bir fortiori .
limy→0y2günah(1y)=0{\ displaystyle \ lim _ {y \ - 0} y ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {y}}) = 0}
İkinci örnek
Muhtemelen en iyi bilinen örnek sabit teoremi kullanarak limit belirleme, aşağıdaki eşitliğin kanıtıdır:
limx→0günahxx=1{\ displaystyle \ lim _ {x \ ile 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}.
Klasik çerçeve ile jandarma teoremini takip eder.
çünküx≤günahxx≤1{\ displaystyle \ çünkü x \ leq {\ frac {\ sin x} {x}} \ leq 1}için x yeterince yakın 0 (sıfır).
Bu limit, sinüs fonksiyonunun türevinin kosinüs fonksiyonu olduğunu göstermek için kullanılır .
Notlar ve referanslar
-
Milli Eğitim Bakanlığı (Fransa) , " Bilimsel serinin son sınıfında matematik öğretim programı ", BO , n o 4,Ağustos 2001, s. 65 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Abdou Kouider Ben-Naoum , Analiz: İlk temel kavramlar: Teori, örnekler, sorular, alıştırmalar , Louvain Üniversitesi Yayınları ,2007, 414 s. ( ISBN 9782874630811 , çevrimiçi okuyun ) , s. 66.
-
Stéphane Balac ve Frédéric Sturm, Cebir ve analiz: düzeltilmiş alıştırmalarla ilk yıl matematik kursu , PPUR ,2003( çevrimiçi okuyun ) , s. 577.
-
James Stewart (in) ( tercüme Micheline Citta-Vanthemsche tarafından İngilizceden), Analiz kavramlar ve bağlamlar: Bir değişkenin fonksiyonu [ “ : Kavramlar ve Bağlamları Matematik ”], vol. 1, De Boeck ,2011, 631 s. ( ISBN 9782804163068 ) , s. 110.
-
ℝ değerlerle fonksiyonları için - ama dayanıklı değerlerle fonksiyonlar için aynıdır ℝ - teoremi bu genel formunda belirtilen ve ile gösterilir , E. Ramis'in, C Deschamps ve J. Odoux, cours de matematik özel ürünler , uçuş. 3, Masson ,1976, s. 40ve ayrıca - E = ℝ ve A ⊂ ℝ özel durumu için , ancak ispat sorunsuz bir şekilde herhangi bir topolojik uzaya uyarlanır - Frédéric Denizet, Analyze - MPSI , Nathan , coll. "Hazırlık sınıfı",2008( çevrimiçi okuyun ) , s. 201ve Wikiversity'deki "Sınırlar ve düzen ilişkisi" bölümünde .
-
Bu örnek, gerçek değişken İşlevleri / Limitler # Sınırlar ve Vikiversite'deki sipariş ilişkisi bölümünde ayrıntılı olarak açıklanmıştır .
-
Bu örnek detaylı olarak sınırlar jandarmalarm # teoremi bir fonksiyon / Teoremlerinin Sınırları Vikiversite ile .
-
Örneğin bkz. (De) Selim G. Kerin ve VN Uschakowa, Vorstufe zur höheren Mathematik , Vieweg,1968( ISBN 978-3-322-98628-3 , çevrimiçi okuyun ) , s. 80-81, veya sadece Trigonometrik fonksiyonların 1. özelliği / Ön özellikler # Vikiversite sınırları üzerindeki özellikler .
Ayrıca görün
İlgili makale
Sandviç teoremi (varyant)
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">