Zsigmondy teoremi

Sayı olarak teori , Zsigmondy teoremi adını, Karl Zsigmondy (de) , devletler eğer bir > b > 0 olan tam sayılar kendi aralarında asal sonra herhangi bir tamsayı için, n ≥ 1, bir vardır asal sayı p (denilen ilkel asal böleni ) hangi a n - b n'yi böler ve a k - b k'yi k < n için bölemez , aşağıdaki istisnalar hariç:

n = 1 , a - b = 1 ; o zaman, asal bölenleri olmayan bir n - b n = 1;
n = 2 , a + b ikinin kuvveti ; o zaman, a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a 1 - b 1 ) 'nin herhangi bir tek asal çarpanı , aynı zamanda çift olan bir 1 - b 1 içinde yer almalıdır ;
n = 6 , a = 2 , b = 1 ; o zaman, a 6 - b 6 = 63 = 3 2 × 7 = ( a 2 - b 2 ) 2 ( a 3 - b 3 ).

Bu, n > 1 ve n'nin 6'dan farklı olması durumunda 2 n - 1'in herhangi bir k < n için 2 k - 1'i bölmeyen bir asal bölen olduğunu belirten bir Bang Teoremini genelleştirir .

Benzer şekilde, a n + b n'nin 2 3 + 1 3 = 9 dışında en az bir ilkel bölen vardır .

Zsigmondy teoremi özellikle grup içinde, çoğu zaman yararlıdır teorinin farklı olduğunu göstermek için kullanılır, gruplar var ayrı siparişleri onlar eşit olduğunda hariç.

Tarih

Teorem, 1894'ten 1925'e kadar Viyana'da çalışan Zsigmondy tarafından keşfedildi .

Genellemeler

Izin vermek bir dizi sıfır olmayan tamsayılar. Zsigmondy kümesi paketi ile ilişkili kümesidir ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1 \ mid a_ {n} {\ text {ilkel asal bölen içermez}} \}}

yani, bölen herhangi bir asal sayının da belirli bir sayı için bölünmesini sağlayan indeksler kümesidir . Bu nedenle, teoremi bu Zsigmondy eder ve teoremi Carmichael (in) her Zsigmondy olduğu durumları Fibonacci'yi olduğunu ve bu Pell sonucu Var . 2001 yılında, Bilu ve HANROT Voutier genel olarak eğer göstermiştir bir olan Lucas sonucu veya LEHMER sonucu (in) , sonra . $değil$ $yıl$ $a_ {m}$ $m <n$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ altküme \ {1,2,6 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2,6,12 \}}$ $\ {1 \}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ alt küme \ sol [1,30 \ sağ]}$

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Zsigmondy teoremi " ( yazarların listesini görmek ) .

(in) Y. Bilu, G. Hanrot ve PM Voutier, " Lucas ve Lehmer sayılarının ilkel bölenlerinin varlığı " , J. Queen angew. Matematik. , cilt. 539,2001, s. 75-122.

Ayrıca görün

Kaynakça

(en) Graham Everest , Alf van der Poorten (en) , Igor Shparlinski ve Thomas Ward , Tekrarlama dizileri , Providence (RI) , AMS , cilt. "Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar" ( n o 104)2003( ISBN 0-8218-3387-1 , zbMATH 1033.11006 ) , s. 103-104
(tr) Walter Feit , " Büyük Zsigmondy Asalları Üzerine " , Proc. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 102, n o 1,1988, s. 29-36 ( DOI 10.2307 / 2046025 , JSTOR 2046025 )
(tr) Moshe Roitman, " On Zsigmondy Primes " , Proc. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 125, n o 7,1997, s. 1913-1919 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-97-03981-6 , JSTOR 2162291 )
(de) Th Schmid, " Karl Zsigmondy " , Jahresber. DMV , cilt. 36,1927, s. 167-168 ( çevrimiçi okuyun )
(de) K. Zsigmondy, " Zur Theorie der Potenzreste " , Mathematik için Monatshefte , cilt. 3, n o 1,1892, s. 265-284 ( DOI 10.1007 / BF01692444 )

Dış bağlantı

(tr) Eric W. Weisstein , " Zsigmondy Teoremi " , MathWorld üzerine