Çevreleyen trapez

Gelen Öklid geometrisi , bir sancı yamuk olarak da adlandırılan, teğet yamuk , a, yamuk Dört kenarı hepsi teğet a daire : trapezoid içinde bulunan çizilebilen . Bu, en az bir çift karşıt tarafın paralel olduğu, sınırlı dörtgenin  (inç) özel bir durumudur . 

Özel durumlar

Elmas ve kareler yamuk circonscriptibles örnekleridir.

Karakterizasyon

Dışbükey bir dörtgen, ancak ve ancak zıt taraflar Pitot teoremini karşılarsa sınırlandırılır :

ATB+VSD=BVS+DAT.{\ displaystyle AB + CD = BC + DA.}

Bu nedenle, yalnızca ve ancak aşağıdaki iki özellikten birine saygı duyulursa (bu durumda her ikisi de geçerlidir), sınırlayıcı bir dörtgen bir yamuktur:

• Ek olan iki bitişik açıya sahiptir (yani diğer iki açı da). Spesifik olarak, çevreleyen bir dörtgen ABCD, ancak ve ancak 

AT+D=B+VS=π.{\ displaystyle A + D = B + C = \ pi.}

• Birbirini izleyen iki kenarın uzunluklarının çarpımı, diğer iki kenarın uzunluklarının çarpımına eşittir. Spesifik olarak, e, f, g, h , sınırlayıcı dörtgen ABCD'nin sırasıyla A, B, C, D köşelerinden kaynaklanan kenarların uzunlukları ise , o zaman AB ve CD bir yamuğun tabanlarıdır ancak ve ancak

eh=fg.{\ displaystyle eh = fg.}

Alan

Formülü bir yamuk alanı kullanılarak basitleştirilebilir Pitot teoremini bir sancı yamuk alanı için bir formül elde edildi. Bazların uzunlukları a ve b ise ve diğer iki taraftan herhangi birinin uzunluğu c ise , o zaman K alanı formülle verilir.

K=-de+b|b--de|-deb(-de-vs)(vs-b).{\ displaystyle K = {\ frac {a + b} {| ba |}} {\ sqrt {ab (ac) (cb)}}.}

Alan, e , f , g , h taraflarının uzunluklarının bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir .

K=efgh4(e+f+g+h).{\ displaystyle K = {\ sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}

Yazılı dairenin yarıçapı

Alanla aynı gösterimlerle, yazılı dairenin yarıçapı

r=K-de+b=-deb(-de-vs)(vs-b)|b--de|.{\ displaystyle r = {\ frac {K} {a + b}} = {\ frac {\ sqrt {ab (ac) (cb)}} {| ba |}}.}

Çapı çemberin sınırlı yamuk yüksekliğine eşittir.

Bu yarıçap, uzunlukların bir fonksiyonu olarak da ifade edilebilir.

r=efgh4.{\ displaystyle r = {\ sqrt [{4}] {efgh}}.}

Ayrıca, e, f, g, h uzunlukları sırasıyla A, B, C, D köşelerinden geliyorsa ve [AB] [DC] 'ye paralelse, o zaman

r=eh=fg.{\ displaystyle r = {\ sqrt {eh}} = {\ sqrt {fg}}.}

Merkez özellikleri

Yazılı daire, P ve Q iki noktasında tabanlara teğet ise , o zaman P , I ve Q noktaları hizalanır , burada I , işaretli dairenin merkezidir.

Açıları YARDIM ve BIC bir sınırlı trapez ABCD , [AB] bazların ve [DC] olan dik açılar .

Yazılı dairenin merkezi medyana aittir ( paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren segment ).

Diğer özellikler

Sınırlı bir yamuğun medyanı, yamuğun çevresinin dörtte biri kadardır . Ayrıca herhangi bir yamukta olduğu gibi bazların toplamının yarısına eşittir.

Her biri, sınırları çizilmiş yamuğun kenarlarından birinin (taban hariç) çapına sahip iki daire çizilirse, bu iki daire birbirine teğettir .

Çevreleyen dikdörtgen yamuk

Bir sancı dikdörtgen, yamuk , iki ardışık açılar sancı yamuk olan doğru . Bazlar a ve b uzunluklarına sahipse, yazılı dairenin yarıçapı şu şekildedir:

r=-deb-de+b.{\ displaystyle r = {\ frac {ab} {a + b}}.}

Dolayısıyla, yazılı dairenin çapı , bazların harmonik ortalamasıdır .

Sancı dikdörtgen, yamuk için olan alanda

K=-deb{\ displaystyle \ displaystyle K = ab}

ve çevre P için

P=2(-de+b).{\ displaystyle \ displaystyle P = 2 (a + b).}

Çevresi çizilebilir ikizkenar yamuk

Bir sancı ikizkenar yamuk  isimli bir sancı yamuk olan (bazlar hariç) iki kenarı eşittir. Yana ikizkenar yamuk isimli bir yazılabilir dört kenarlı , ikizkenar yamuk sancı isimli bir bicentric dörtgen  (in) , olduğu, bir dış teğet çember ve hem de sahiptir çevrel çembere .

Bazlar a ve b ise , o zaman yazıtlı dairenin yarıçapı şu şekilde verilir:

r=12-deb.{\ displaystyle r = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {ab}}.}

Bu formül basit bir sorun oldu Sangaku dan Japonya . Sayesinde Pitot teoreminin o tarafın uzunluğu üsleri yarısı toplamı olduğunu izler. Yazılı dairenin çapı , tabanların çarpımının karekökü olduğundan, yamuk çevreleyen ikizkenar, aritmetik ortalamanın ve tabanların geometrik ortalamasının bir kenarın uzunluğu ve çapı olarak güzel bir geometrik yorumunu verir . yazıtlı daire, sırasıyla.

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı "  Teğet yamuk  " ( yazarların listesini görmek ) .

1. Martin Josefsson , Köşegen nokta üçgeni yeniden ziyaret edildi , cilt.  14,2014, 381–385  s. ( çevrimiçi okuyun ).
2. Martin Josefsson , Bir teğet dörtgenin teğet uzunlukları ve teğet akorları ile ilgili hesaplamalar , cilt.  10,2010, 119–130  s. ( çevrimiçi okuyun ).
3. J. Wilson, Problem Set 2.2 , The University of Georgia, 2010, [1] .
4. Chernomorsky Lyceum, Yazılı ve sınırlı dörtgenler , 2010, [2] .
5. Çemberi yamukta yazılı, Art of Problem Soving , 2011, [3]
6. MathDL, Inscribed circle and trapezoid , The Mathematical Association of America, 2012, [4] .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">