Tüp (matematik)

İn geometrisi , bir tüp , bir olduğunu yönlendirilmiş ve parametreli yüzeyi arasında yaygınlaştırılması, silindirler ve tori . C uzayda bir eğri olsun ve . Boru yarıçapı r çevresinde c yarıçaplı bir daire ile süpürüldü yüzey r çizilmiş normal bir düzlemde için c . Açıkça söylemek gerekirse, bir tüp daldırılmış bir yüzey değildir. Aşağıda tanımlanan parametreleme, yalnızca küçük r değerleri için bir yerleştirmedir . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ $r> 0$

Ayar

Yay bu varsayalım C bir sahiptir bükülme noktası ve parametreli ile eğri absis . Normal düzlem , hız vektörüne ortogonal olan vektör düzlemidir , yani: $c (s)$ ${\ displaystyle \ tau = c '}$

normal birim , benzersiz bir birim vektör pozitif kolineer , ${\ displaystyle \ nu (s)}$ ${\ displaystyle \ tau '(lar)}$
ve binormal . ${\ Displaystyle b (k) = \ tau (k) \ kama \ nu (k)}$

Merkezi normal düzlemde çizilmiş olan r yarıçaplı Öklid çemberi basitçe şu şekilde parametrelendirilir : $c (s)$

{\ displaystyle u \ mapsto c (s) + r \ çünkü u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Değiştirilerek s , biz yarıçapı borunun bir parametrelendirmesini elde r çevresinde c :

{\ Displaystyle X (u, s) = u \ mapsto c (s) + r \ çünkü u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Eğrisi ise C daha sürekli olarak daha küçük bir eğrilik yarıçapına sahip r , elde edilen parametreleştirme düzenlidir. Hatta bir katıştırmadır .

Örnekler

Yardımcı olamayız, ancak aşağıdaki iki temel örneği alıntılayacağız:

Eğer c bir parametrizasyonu olan afin hattı , kimlik, bir ile V arasında bir birim vektör , daha sonra çapı boru r çevresinde c olan silindir yarıçapı r ve hat simetri eksenine . Ne yazık ki, bu örnekte hızlanma sıfırdır ve yukarıdaki ayar geçersizdir. ${\ displaystyle c (s) = sV + c (0)}$ $R ^ {3}$ ${\ displaystyle c (\ mathbb {R})}$
Eğer c yarıçaplı bir daire parametrizasyonu olup , id burada V ve W, ortogonal birim vektörlerdir, yarıçapı silindir r çevresinde c a, torus döner simetri ekseninin, . Ayarlar aşağıdaki gibidir: ${\ displaystyle R> r}$ ${\ Displaystyle c (s) = P + R \ çünkü sV + R \ sin sW}$ ${\ displaystyle P + R \ cdot V \ kama W}$

{\ Displaystyle X (s, v) = P + (R \ cos sr \ cos v \ sin s) V + (R \ sin s + r \ cos v \ cos s) W + r \ sin vV \ kama W}

Başka bir örnek de daire içine alınmış helikoiddir .

Tüp kavramı soyut bir matematiksel figür olarak düşünülmemelidir. Floresan tüpler, lastikler veya yılan gibi birçok gerçek nesnenin yalnızca idealleştirilmiş parametreleştirilmiş temsilidir. Bir yüzeyden geçen akış oranını hesaplarken, hidrolikte bir " akım borusu " ndan söz ederiz . "

Metrik özellikler

Tüplerin metrik özellikleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Metrik özellik	Sonuç
İlk temel form	${\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = \ sol [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ sağ] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Alan formu	${\ displaystyle \ omega = rC \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v}$
İkinci temel form	${\ displaystyle \ sol [- \ kappa \ cos vC + r \ theta ^ {2} \ sağ] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Ana eğriler	${\ displaystyle - {\ frac {\ kappa} {C}} \ cos (v)}$ ve $\ frac {1} {r}$

Hesaplama ayrıntıları

Eğri c'nin ark uzunluğu ile parametreleştirildiği varsayılır. Tüplerin metrik konularına yaklaşmak için Frenet çerçevelerindeki türetme yasalarını hatırlamak önemlidir :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ tau '\\\ nu' \\ b '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & - \ theta \\ 0 & \ theta & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ tau \\\ nu \\ b \ end {pmatrix}}}

nerede olduğunu eğrilik ve bir büküm . Bu türev yasaları , birinci temel biçimi ifade etmek için gerekli olan s ve v parametrelerine kıyasla ilk türevlerinin hesaplanmasına doğrudan müdahale eder : $\kappa$ $\ theta$ ${\ displaystyle X (s, v)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi s}} = (1-r \ kappa \ cos v) \ tau (s) -r \ theta \ sin v \ nu (s) + r \ theta \ cos vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi v}} = - r \ sin v \ nu (s) + r \ cos vb (s)}

Sonra soruyoruz:

{\ displaystyle C (s, v) = 1-r \ kappa (s) \ çünkü v}

Bu miktarın kesinlikle pozitif olduğunu varsayıyoruz ( X'in bir yerleştirme olması şartıdır ). İlk temel form yazılmıştır:

{\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = {\ sol \ | {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi s}} \ sağ \ |} ^ {2} \ mathrm {d} s ^ { 2} +2 \ sol \ langle {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi s}} {\ Bigg |} {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi v}} \ sağ \ rangle \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + {\ left \ | {\ frac {\ parsiyel X} {\ kısmi v}} \ sağ \ |} ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2} = \ sol [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}

Birim formu bir yüzeye X olduğu zaman:

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ sol [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ sağ] \ cdot r ^ {2} - \ sol [r ^ {2} \ theta \ right] ^ {2}}} \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v = rC \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v}

Sonuç olarak, yüzeyin A alanı entegrasyonla çıkarılır : ${\ displaystyle \ {X (s, v) \} _ {v \ in S ^ {1}, s \ in [0, L]}}$

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r (1-r \ kappa (s) \ cos v) \ mathrm {d} v \ mathrm { d} s = 2 \ pi rL}

İkinci temel formun hesaplanması , normal birim vektörü ve X ( s , v ) ' nin s ve v'ye göre ikinci kısmi türevleri hakkında bilgi gerektirir :

{\ displaystyle \ Gama (s, v) = - \ çünkü v \ nu (s) - \ sin vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} X} {\ kısmi v ^ {2}}} = - r \ cos v \ nu (s) -r \ sin vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} X} {\ kısmi s \ kısmi v}} = r \ kappa (s) \ sin v \ tau (s) -r \ theta (s) \ cos v \ nu (s) -r \ theta (s) \ sin (v) b (s)}

;

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} {\ frac {\ kısmi ^ {2} X} {\ kısmi u ^ {2}}} & = r \ sol [\ kappa (s) \ theta (s) \ sin v - \ kappa '(s) \ cos v \ right] \ tau (s) \\ & + \ left [\ kappa (s) C (s, v) -r \ theta' (s) \ sin vr \ theta ( s) ^ {2} \ cos (v) \ right] \ nu (s) + r \ left [\ theta '(s) \ cos v- \ theta (s) ^ {2} \ sin v \ right] b (s) \ end {hizalı}}}

X'in ikinci temel biçimi bu nedenle yazılmıştır:

{\ displaystyle \ sol [- \ kappa (s) \ cos vC (s, v) + r \ theta (s) ^ {2} \ sağ] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta (s ) \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}

Ana kavisler ve özdeğerler simetrik Endomorfizma :

{\ displaystyle S (s, v) = {\ başlar {pmatrix} C (s, v) ^ {2} + r ^ {2} \ theta (s, v) ^ {2} & r ^ {2} \ theta (s, v) \\ r ^ {2} \ theta (s, v) & r ^ {2} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} - \ kappa (s) C (s, v) \ cos v + r \ theta ^ {2} & r \ theta (s) \\ r \ theta (s) & r \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac { - \ kappa (s) \ cos v} {C (s, v)}} & 0 \\ {\ frac {\ theta (s) \ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos vr & 1 / r \ end {pmatrix}}}

Bu nedenle bunlar:

{\ displaystyle - {\ frac {\ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos v}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}

Notlar

Bkz. Ör. François Rothen, Genel fizik: doğa ve yaşam bilimleri fiziği , Lozan / Paris, Pr. Polytechniques ve Romandies'deki üniversiteler,1999, 862 s. ( ISBN 2-88074-396-6 , çevrimiçi okuyun ) , “14. Akışkanlar mekaniği hakkında genel bilgiler”, s. 312