Mantık , Yunan λογική / logiké , türetilmiş bir terimdir λόγος / logolar hem "anlamına gelen - sebep ", " dil " ve " akıl " - bir ilk yaklaşımda, formel kuralların çalışma buluştu herhangi edilmelidir ki doğru argüman . Terim ilk kez Xenocrates tarafından kullanılmış olacaktı .
Antik mantık önce diyalektik ve retorik olarak ikiye ayrılır .
Yana Antikite'nin zaman oldu harika biri disiplinler arasında felsefesi ile birlikte etik ( ahlak felsefesi ) ve fiziği ( doğa bilimi ).
In Ortaçağ'dan , açıkça yedi listesine dahil edilmemiştir liberal sanatlar :
George Boole'un çalışması , Jevons XIX E yüzyıldan beri matematiksel bir mantık yaklaşımının göz kamaştırıcı gelişimine izin verdi . Onun yakınsama ile çalıştırılan bilgisayarın sonu beri XX inci yüzyıl ona yenilenen canlılığı verdi.
Bu dan XX inci yüzyıl içinde birçok uygulama mühendisliği de, dilin içinde, bilişsel psikoloji içinde, analitik felsefe veya iletişim .
Mantık, çıkarsama çalışmasıdır .
Mantık, kökeninde , kesin olan bir akıl yürütmeyi olmayan bir akıl yürütmeyi ayırt etmeyi mümkün kılan genel ve biçimsel kuralların araştırılmasıdır . İlk el yordamını matematikte ve özellikle geometride bulur, ancak esas olarak Megariklerin ve ardından Aristoteles'in itici gücü altındadır .
Mantık çok erken bir tarihte kendisine karşı, yani söylemin koşullarına karşı kullanıldı: Sofist Gorgias , olası ontolojinin olmadığını kanıtlamak için onu varlık-olmama Üzerine İnceleme'sinde kullanır : "o varlık değildir. düşüncelerimizin nesnesidir" : mantığın maddi gerçeği böylece mahvolur. Dil böylece gerçeklikten bağımsız olarak kendi yasasını, mantığın yasasını edinir. Ama Sofistler dışında tutuldu felsefe tarihi ( Sophist biz örneğin bunun olduğunu anlamada bu mantık, bu yüzden, bir aşağılayıcı anlam aldı) Ortaçağ'da , hiç düşüncesi tabi kalmıştır olmak .
In XVII inci yüzyılın , filozof Gottfried Leibniz yürüten temel araştırmaları derinden Aristoteles mantığı devrim mantığında. Sürekli geleneği talepleri syllogisms arasında Aristo ve kendi sistemini entegre çalışır. Biçimsel bir mantık hayal eden ve geliştiren ilk kişidir .
Immanuel Kant , mantığı, "tüm düşüncenin biçimsel kurallarını ayrıntılı olarak ortaya koyan ve titizlikle ortaya koyan bir bilim" olarak tanımlar . Aristoteles'in Organon başlığı altında toplanan altı eseri , Kategoriler ve kıyas çalışması da dahil olmak üzere, bu konuda uzun zamandır referans olarak kabul edildi.
1847'de George Boole tarafından Mantığın Matematiksel Analizi , ardından Mantık ve Olasılıkların Matematiksel Teorilerinin Temellendirildiği Düşünce Yasalarına Bir Araştırma başlıklı kitabı yayınlandı . Boole burada hem sembolik hem de matematiksel yeni bir mantık biçimi geliştirir. Amacı, fikirleri ve kavramları ifadelere ve denklemlere dönüştürmek , bunlara belirli hesaplamalar uygulamak ve sonucu mantıksal terimlere dönüştürmek, böylece daha sonra Boolean cebiri olarak adlandırdığımız cebirsel ve anlamsal bir yaklaşıma dayanan modern mantığın başlangıcını işaretlemektir. onun onuruna.
Çok genel olarak, mantığa dört yaklaşım vardır:
Organon çalışmalarının ana mantığı Aristo , özellikle de dahil olmak üzere önceki analizi ; biçimsel mantığın ilk açık çalışmasını , özellikle de kıyasın getirilmesiyle oluşturur .
Aristoteles'in eserleri , klasik, ortaçağda Avrupa ve Orta Doğu'da tam gelişmiş bir sistemin görüntüsü olarak kabul edilir . Bununla birlikte, Aristoteles ne tek ne de ilk değildi: Stoacılar , ortaçağ mantıkçıları tarafından incelenen bir önerme mantığı sistemi önerdiler . Buna ek olarak, orta çağda çoklu genellik sorunu kabul edildi .
Önermeler hesabı a, resmi bir sistem formülleri birleştirilmesi ile oluşturulabilir önermeleri temsil ettiği atom önermeleri kullanılarak mantıksal bağlayıcıları , ve burada bir sistem resmi geçirmez kuralları bazı "kurar teoremi ".
Bir yüklem hesabı, birinci dereceden mantık veya ikinci dereceden veya daha yüksek dereceden mantık olabilen resmi bir sistemdir ve sonsuz mantıktır . Doğal dil önermelerinin büyük bir örneğini nicelleştirme yoluyla ifade eder . Örneğin, berber paradoksu arasında Bertrand Russell tarafından şekilsel olarak "tıraş etmeyen tüm erkekler Tıraş olan bir adam var" formülü : yüklemi kullanarak belirtmek için bir adam olduğunu ikili ilişki olduğunu göstermek için traş edilir ve niceleme , bağlaç , ima , olumsuzlama ve eşdeğerliği ifade eden diğer simgeler .
Olarak doğal dil , bir yöntem , bir bir bükülme ya da değiştirmek için bir ekleme semantik a önerme .
Örneğin, "Oyunlara gidiyoruz" ifadesi, "Oyunlara gitmeliyiz" veya "Oyunlara gidebiliriz" veya "Oyunlara gideceğiz" veya "Gitmeliyiz" şeklinde değiştirilebilir. oyunlara”.
Daha soyut olarak, kiplik, bir iddianın karşılandığı çerçeveyi etkiler.
Olarak formel mantık , bir lojik uzatılmıştır bir mantık operatörler anlamlarını değiştirmek için önermeler uygulanır.
Felsefi mantık biçimsel açıklamaları ile ilgilenen doğal dil . Bu filozoflar , eğer bir veya daha fazla yöntem(ler) sıradan dili bu mantığa çevirmeyi başarırsa (başarırsa) günlük akıl yürütmenin özünün mantığa dönüştürülebileceğini düşünürler . Felsefi mantık, esasen, matematiksel mantıktan önce gelen ve doğal dil ile mantık arasındaki bağlantıyla ilgilenen geleneksel mantığın bir uzantısıdır .
Bu nedenle, felsefi mantıkçılar, standart olmayan gelişim mantığına (örneğin, serbest mantık , zamansal mantık ) ve bu mantığın çeşitli mantıksal uzantılarına (örneğin, modal mantıklar ) ve anlambilimine (örneğin, süpervaluationisme (en) of of mantığın semantiğinde Kripke ).
Bir mantıksal dil bir tarafından tanımlanır sözdizimi sistemi demek ki, semboller ve şeklinde bunları birleştirmek kuralları formüller . Ek olarak, dil ile bir semantik ilişkilidir. Onu yorumlamayı, yani sembollere olduğu kadar bu formüllere de anlam yüklemeyi mümkün kılar. Bir tümdengelim sistemi, gösteriler oluşturarak akıl yürütmeyi mümkün kılar.
Mantık geleneksel olarak şunları içerir:
Hangisine eklenir:
Sözdizimi önermeler mantığı olarak da adlandırılır teklif değişkenlere dayalı olduğunu atomuna biz küçük harfler (p, q, r, s, vs.) Bu semboller Vis hüküm vermek alınmayan önermeler temsil ile gösterdiğini - ile ilgili olarak kendi doğru: doğru ya da yanlış olabilirler, ancak durumları hakkında da bir şey söylemek isteyemeyiz. Bu değişkenler, örneğin aşağıdaki gibi mantıksal bağlayıcılar aracılığıyla birleştirilir :
Bu değişkenler daha sonra karmaşık formüller oluşturur.
Sözdizimi ikinci dereceden mantık , aksine birinci dereceden mantık , dikkate alır:
Aşağıda, değişkenler kümesini (x, y, z ...), F ile işlev sembolleri kümesini (f, g ...) ve P yüklem sembolleri kümesini (P, Q ..) V ile göstereceğiz. .). Biz de, sözde var m Arity harita . Formüllerin anlamı anlambilimin konusudur ve ele alınan dile göre farklılık gösterir.
Geleneksel mantıkta ( klasik mantık veya "dışlanan üçüncü şahıs" mantığı da denir ), bir formül ya doğrudur ya da yanlıştır. Daha resmi olarak, doğruluk değerleri kümesi, iki Boole'den oluşan bir B kümesidir : doğru ve yanlış. Bağlayıcıların anlamı, Booleanlardan Booleanlara kadar olan işlevler kullanılarak tanımlanır. Bu fonksiyonlar bir doğruluk tablosu şeklinde gösterilebilir .
Bu nedenle bir formülün anlamı, değişkenlerinin doğruluk değerine bağlıdır. Biz yorumlama veya atama hakkında konuşuyoruz. Bununla birlikte, algoritmik karmaşıklık anlamında, bir formülün tatmin edici (ya da değil) veya hatta geçerli (ya da değil) olup olmadığına karar vermek için semantiği kullanmak zordur . Bunun için sayıca üstel olan tüm yorumları sıralayabilmek gerekir .
Anlambilime bir alternatif, iyi biçimlendirilmiş kanıtları incelemek ve bunların sonuçlarını değerlendirmektir. Bu bir kesinti sisteminde yapılır . Bir kesinti sistemi bir çifttir (A, R), burada A, aksiyomlar olarak adlandırılan bir formüller kümesidir ve R bir dizi çıkarım kuralıdır , yani formül kümeleri (öncüller) ve formüller (sonuç) arasındaki ilişkiler.
Diyoruz türev belirli bir dizi hipotez : ya olan formüllerin bir boş olmayan sekansı aksiyonları ya da sırayla önceki formüllerde çıkarsanan formülleri. Bir formül Γ kümesinden bir ϕ formülünün ispatı, son formülü ϕ olan Γ'den bir türetmedir.
Modern mantığa esasen iki niceleyici getiriyoruz:
Olumsuzlama sayesinde varoluşsal ve evrensel niceleyiciler ikili rol oynamaktadır ve bu nedenle, içinde klasik mantık , biz dayandırabilirsiniz Yüklem hesaplama tek nicelik üzerinde.
Eşitlik adı verilen ikili bir yüklem, aynı nesneyi temsil ettiklerinde iki terimin eşit olduğunu belirtir. Belirli aksiyomların aksiyomları veya şemaları tarafından yönetilir. Bununla birlikte, ikili yüklemler arasında çok özel bir yüklemdir, bunun olağan yorumu yalnızca aksiyomlar tarafından belirtilen özellikleriyle sınırlandırılmaz: özellikle genellikle model başına beklenene karşılık gelen yalnızca bir olası eşitlik yüklemi vardır. yorumlama (kimlik). Teoriye eklenmesi, klasik yüklem hesabı tamlık teoremi gibi bazı iyi özellikleri korur . Bu nedenle sıklıkla eşitliğin temel mantığın bir parçası olduğunu düşünüyoruz ve ardından eşitlikçi yüklemlerin hesaplanmasını inceliyoruz .
Eşitliği içeren bir teoride, genellikle önceki niceleyicilerden ve eşitlikten tanımlanabilen bir niceleyici tanıtılır:
Eşitlikçi yüklemlerin hesabında başka niceleyiciler kullanılabilir (böyle bir özelliği doğrulayan en fazla bir nesne vardır, iki nesne vardır ...), ancak matematikte "sonsuz var ..." gibi yararlı niceleyiciler veya "Sonlu bir sayı vardır..." orada temsil edilemez ve başka aksiyomlar gerektirir ( küme teorisindekiler gibi ).
Bu başlangıcına kadar değildi XX inci yüzyıl için iki değerliliğine ilkesine açıkça çok farklı şekillerde meydan okunur:
Felsefe üzerine:
Matematiksel mantıkta:
Ayrıca bakınız: