Gelen matematik , sürekli fraksiyon bir bölgesinin mantıksız x bir sağlar Diofant yaklaşım bir x . Daha kesin olarak, indeks n'nin indirgenmesi , yani n adımla sınırlı kesir , x'e yaklaşan bir rasyoneldir (varsayılan olarak n çift ise ve n tek ise fazlalıktır ). Aksine, bir sonsuz sürekli fraksiyonu, yani sonsuz bir dizi (düşünün bir N , ilk dönem) bir 0 a, görece tam sayı ve daha sonraki tüm Tümüyle pozitif tamsayı, akıl için azaltılmış yakınsak dizisi olan x devam fraksiyonudur oluşan bir n .
Düşük fraksiyonlar h n / k , n , bir akıl en akılcı yaklaşımlar temin x aşağıdaki anlamda,: indeksi düşük n bir mesafede yer alan bir yaklaşımdır x en az 1 / den k , n , 2 ve bir fraksiyon halinde s / q , 1 / (2 q 2 ) ' den daha küçük bir x mesafesinde bulunan bir yaklaşımdır, o zaman p / q , x'in indirgenmiş halidir . Bu sonuca en iyi yaklaşım teoremi denir .
Devam eden kesirler, karekökler veya π sayısı gibi irrasyonelleri yaklaşık olarak belirlemek için kullanılır . Bu özellik , Pell-Fermat'ınki gibi belirli Diophantine denklemlerinin çözülmesini mümkün kılar . Ayrıca, e sayısının mantıksızlığının ilk gösteriminin kökeninde, bir sayının rasyonel olması için gerekli ve yeterli bir koşul sunar . Daha ileri gitmeyi mümkün kılar ve sürekli fraksiyonlar kullanılarak elde edilen Diophantine yaklaşımlarının özellikleri, aşkın olduğu gösterilen ilk sayıları oluşturmayı ve ardından e ve π'nin aşkın olduğunu göstermeyi mümkün kılar .
En basit örnekler Sürekli Kesir makalesinin başında bulunabilir ve gerekçelerle ilgilidir. Rasyonel bir x sayısı aşağıdaki gibi temsil edilir:
Kesir çubuklu veya köşeli parantezli her iki gösterim de aynı anlama gelir. Eğer p , n'den küçük bir tamsayı ise , katsayı veya indeks p'nin eksik bölümü olarak adlandırılan a p terimi , herhangi bir tamsayı olan bir 0 dışında kesinlikle pozitif bir tamsayı belirtir. Terimi durur fraksiyon bir p olan indisi düşük p 1 / eğer x p + 1 için ifade eklemek için tamamlayıcı olan bir p tam değerini elde etmek için x , o zaman X s + 1 olarak adlandırılır p + 1 endeksinin tam bölümü , bu da eşitlikle sonuçlanır:
Bu kavram rasyonellerle sınırlı değildir. Eğer X bir bir akıl sayısı , katsayılar sırası, sonsuz ve redüktörlerin edilene sırayla değiştirilen ve yakınsak olan x . Herhangi bir tamsayı sonsuz dizisi için bir N olası istisna ile pozitif, bir 0 negatif veya sıfır olabilir, düşüşlerin dizisi katsayıları kullanılarak inşa bir n katsayılarının oluşur mantıksız olan devam eden fraksiyon yakınlaşıyor bir n . Bu doğanın basit bir örneği, ikinci dereceden bir irrasyonelin Sürekli kesri makalesinde verilmiştir . Bir kuadratik irrasyonel rasyonel katsayılı bir kuadratik denklemin irrasyonel bir çözümdür. Bir irrasyonel olanın devam eden fraksiyonu, belirli bir dereceden periyodiktir, ancak ve ancak bu sayı ikinci dereceden ise.
Ayrıntılı makalede bazı yararlı sonuçlar gösterilmektedir. Eğer h n / k n düzenin azalmayı belirtmek n , aşağıdaki nüks ilişkileri var:
bu, indirgemelerin paylarının ve paydalarının sonsuzluğa doğru eğilimli iki dizi oluşturduğunu gösterir. Hala aşağıdaki sonuçlara sahibiz:
Özellikle (bu eşitlik birinci formuna göre) h , n ve k , n göreceli asal olan ve (ikinci olarak) azalmalar yakınsak sekansı .
1737'de Leonhard Euler , doğal logaritmanın tabanı olan e sayısının devam eden fraksiyon gelişimini hesapladı :
(burada kullanılan çubuk, kapsadığı tamsayılar dizisinin sonsuz bir tekrarı anlamına gelir).
Böylece şunu kanıtlar e olan mantık dışı bir devamı fraksiyona genişlemesi (aynı zamanda Şekil bu sonsuz olduğundan, E 2 mantıksız).
Euler'in yaklaşımıGelişimini haklı çıkarmak isteyen Euler, Riccati denklemini ( aq ' ( p ) + q 2 ( p ) = 1) inceler . Bir çözüm q ( p ) = coth ( p / a ) ' dır , bu da şunu belirtmesine izin verir: yeniden yazmaktan çekinmeyecek (bu, Lambert tarafından titizlikle kurulacak olan hiperbolik tanjant fonksiyonunun gelişimine dönüşümle eşdeğerdir :
Bu, ona yalnızca genelleştirilmiş bir sürekli kesirde bir e 1 / s genişlemesi verir : ancak ilk paydaki 2'den kurtulmak ve onu basit bir sürekli kesir haline getirmek için burada iki 1'i eklemekten oluşan dönüştürme teknikleri geliştirdi : için hangi s = 1, ilan edilen sonucu ortaya koymaktadır.
Orada bulabileceğimiz başka bir uygulama, yaklaşık bir e değeri elde etmektir . 2. derecenin azaltılması 2.75'e eşittir ve 10. sıranın indirimi 7 anlamlı basamak önermektedir. Bununla birlikte, bütün seri yaklaşımı, daha basit bir şekilde irrasyonalite ve tahminlerin bir kanıtını verir ( bkz. Makale e (sayı) ). Devam eden kesir genişlemesi, biraz daha ileri gitmemize izin verir, çünkü e'nin rasyonel katsayıları olan herhangi bir ikinci dereceden denklem için bir çözüm olmadığını kanıtlar , çünkü sürekli kesir genişlemesi periyodik değildir. Bu tür bir yaklaşım, daha ileri gitmemize izin vermez. Örneğin, e'nin aşkınlığını göstermek için yeni fikirlere ihtiyaç vardır .
Bu sınırlamalara rağmen, e'ye yakınsayan rasyonel diziler sunan sürekli kesirler , sınırın aritmetik doğası hakkında bilgi açısından zengindir. Makalenin geri kalanı, örneğin, eğer t rasyonel ise, o zaman e t'nin olmadığını göstermektedir. İspatın kökenindeki yaklaşım, π'nin mantıksızlığını tespit etmeyi mümkün kılan yaklaşımdır .
Hindistan'da kavramının kökeni sürekli kesir sırtını kullanarak bir numara yaklaşan fikri V inci yüzyıl . Bézout'un kimliğinin çözülmesiyle , böyle bir kavramın kullanılmasını zorlayan ilk motivasyondur. Âryabhata ( 476 - 550 ) bunu her iki amaç için ve özellikle karekök çıkarmak için kullanır .
Devam eden kesirlerin yaklaştırma özelliği yanlışlıkla 13'ün kökünde Rafael Bombelli ( 1526 - 1572 ) tarafından bulunur ve ardından Pietro Antonio Cataldi ( 1548 - 1626 ) tarafından tüm kareköklere genelleştirilir . Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) yöntemin teorik yönünü geliştirir. Herhangi bir gerçek sayının basit bir sürekli kesire benzersiz bir genişlemeyi kabul ettiğini ve bunun, ancak ve ancak bu devam eden kesrin sonsuz uzunlukta olması durumunda irrasyonel olduğunu gösterir. İrrasyonalitesinin ilk kanıtı olan e'nin yöntemini belirlemek için şimdi Padé yaklaşımı olarak bilinen bir yöntem icat eder . Jean-Henri Lambert ( 1728 - 1777 ) araştırmayı daha ileri götürür ve π'nin de rasyonel olmadığını gösterir .
Bir sayının aritmetik doğasını incelemek için bir Diophantine yaklaşımı olarak sürekli bir kesrin kullanımı oluşturulmuştur. XIX inci yüzyıl daha iyi bir transandantal sayılar anlayış olmasıdır. Joseph Liouville aşkın olarak gösterilen ilk sayıyı göstermek için birini kullanır. Bu makalede anlatılan bilgi burada biterse, hikaye devam eder. Birçok gelişmeler arasında, biz verebiliriz Charles Hermite aşkınlığını kurulan e de 1873 . Daha sonra, benzer bir yöntem kullanılarak, Ferdinand von Lindemann bu 1882 gösterdi tt .
Bir ilköğretim neticesi Dirichlet yakınlaştırılması teoreminin ile "iyi" rasyonel yaklaşım yöntemi, herhangi bir irrasyonel için, varlığıdır keyfi büyük paydalar k ve bir hassasiyetle 1 / k 2 (karşılaştırma, bir ondalık yaklaşımı bir hassasiyetle ki, genel olarak yok 1 / k mertebesinde ):
Herhangi bir irrasyonel x için , h / k ile k ≠ 0 ve h tamsayılarıyla yazılabilen sonsuz sayıda rasyonel vardır, öyle ki | x - h / k | <1 / k 2 .
Rasyonel bir x için , açıkça bu tür h / k kesirlerinin yalnızca sınırlı sayıda vardır . Dolayısıyla, bir irrasyonel, bir Diophantine yaklaşımı ile rasyonelden "daha iyi" yaklaşması ile karakterize edilir. İrrasyonel bir x'in indirgemelerini kullanarak, bu kadar sonsuz sayıda "iyi" x yaklaşımı açıklayabilir ve üst sınırı 1 / k 2'yi 2'ye ve hatta √ 5'e bölerek azaltabiliriz . Bir Hurwitz teoremi , herhangi bir irrasyonel x için , 1 / ( √ 5 k 2 ) ile sınırlandırılmış bir hata ile sonsuz h / k yaklaşımı olduğunu bile ortaya koyar :
Bir irrasyonel x'in herhangi bir h / k indirgemesi üst sınırı (1) karşılar. Art arda iki azaltmada, artışı doğrulayan bir tane vardır (2). Art arda üç azaltmada, artışı doğrulayan bir tane vardır (3).
Öte yandan, Thue-Siegel-Roth teoremi (rafinaj o Liouville irrasyonel zaman o gösterileri) x olan cebirsel onun derecesi ve bununla birlikte büyük, biz üs 2 iyileştirmez: tüm £ değerinin> 0 için, bir sabiti vardır A > 0 öyle ki herhangi bir rasyonel h / k için | x - h / k | ≥ A / k 2 + ε .
Ayrıca , kx - h küçük olduğunda h / k'nin x'e iyi yaklaştığını düşünürsek, farklı bir anlamda "en iyi" yaklaşımdan da bahsediyoruz . İçin sabit k , minimum değeri | ║ kx ║ ile gösterilen kx - h |, irrasyonel kx'e en yakın tam sayıya eşit olan h için ulaşılır . For n ≥ 1, ║ k n x ║ = | k n x - h n | ve indirgeme dizisi x'e "daha iyi ve daha iyi" yaklaşır , yani | k n x - h n | kesinlikle azalıyor . Dahası, k , n 1 en küçük payda k > k n “daha iyi” olduğu k , n , yani öyle ki ║ kx ║ <║ k n x ║. Aşağıdaki tanım ve teoremin ifade ettiği şey budur ve ayrıca x'in sürekli fraksiyon genişlemesi için alternatif bir tanım ve algoritma sağlar .
Tanım - bir en iyi yaklaşım bir x bir kısmını h / k ( k > 0), bu şekilde ║ kx ║ = | kx - h | ve 1 ≤ k '<k gibi herhangi bir k' tamsayısı için ║ k'x that > ║ kx ║ .
Bu nedenle böyle bir kesir, x'e daha küçük bir paydaya sahip herhangi bir kesirden daha iyi yaklaşır , yukarıda belirtilen özel anlamda ve olağan anlamda a fortiori : eğer 1 ≤ k '<k ise o zaman | k'x - h ' | > | kx - h | çok | x - h '/ k' | > | x - h / k |.
Teorem - Bir irrasyonelliğin en iyi yaklaşımları, indirgeyicileridir.
Delillerinden kalan kısmında, X O anlamına gelir, bir akıl, n, doğal tam sayı, bir n indeksi katsayısı , n ve x ve h n / k , n indeksinin düşük n .
Bu teoremin kanıtı, periyodik devam eden kesirlerin incelenmesi için kullanılan aşağıdaki özelliğin kanıtlanmasına da izin verir .
Herhangi bir irrasyonel x için , yukarıdaki üst sınırı (2) karşılayan herhangi bir h / k kesri , x ile indirgenmiştir .
Bu ifadeler ve ispatları x'in rasyonel olduğu duruma uyarlanır ve x'in yarım tamsayı olduğu durumda bazı önlemler alınır .
İki gerçek sayılar x ve y orada tam sayı ise, eşdeğer olduğu söylenen bir , b , c , d bu şekilde reklam - bc = ± 1 ve y = ( ax + b ) / ( Cx + d , diğer bir deyişle içinde ise), bir Full Möbius'un dönüşümü birinden diğerine geçişe izin verir. Denklik sınıfları bu nedenle etki yörüngeleri arasında grup PGL (2, ℤ) gerekçeler grubu ve 0 yörüngesi edilir.
Serret , karşılık gelen devam eden kesirlerin [ a 0 , a 1 ,…] ve [ b 0 , b 1 ,…] iki irrasyonel x ve y'nin , ancak ve ancak h ve k için iki doğal sayı varsa eşdeğer olduğunu gösterdi. hepsi ben ≥ 0, bir h + i = b k + i .
Altın orana eşdeğer sayıların “asil” olduğu söyleniyor. Bu sabit olan olanlardır √ 5 içinde, Hurwitz teoremi ( bakınız yukarıdaki ), iyileştirilemez. Soylu olmayan irrasyonel bir x için , √ 5 , √ 8 ile değiştirilebilir ; bu, ancak ve ancak x , 2'nin kareköküne eşitse en iyi sabittir .
Lambert, sürekli kesirler kullanılarak inşa edilen Diophantine yaklaşımlarının kullanımında bir öncüdür, bu da ona π'nin mantıksızlığını göstermesine izin verir . Doğrudan bu sayının devam eden kesirini kullanmaz, bu nedenle Euler'in e için olduğu gibi bir ifadeye sahip değiliz . Teori, π'ye eşit devam eden bir kesrin varlığını garanti ederse , zorluk, bu genişlemenin sonsuz olduğunu gösterecek bilinen bir yöntemin olmaması gerçeğinde yatmaktadır.
Lambert ilk önce sürekli bir kesir formunda teğet fonksiyonunun bir ifadesini kurar . Bunun için Euclid'in algoritmasını uygular ( bkz . Padé'nin Yaklaşımı makalesi ). Sorun, bu tür bir yaklaşımın genelleştirilmiş sürekli kesir adı verilen bir ifade üretmesidir : bunlar , aşağıdaki formdaki x gerçek sayısının genişlemeleridir :
Sağ tarafta kullanılan notasyon Pringsheim'ınkidir ( genelleştirilmiş devam eden kesirlerin artık olağan gösterimi ile karşılaştırıldığında a ve b harflerinin yanında ters çevirme ile ). Bu makalenin ilk bölümünde açıklanan sonuçlar artık geçerli değildir. Ve şimdiye kadar incelenen devam kesirler denir aksine basit muhalefet tarafından, için keyfi değerleri izin verme aslında bir n ve b n pozlar yakınlaşma sorunu açıklayarak teğet fonksiyonunun özel durumda olan, Lambert fırsatlar, indirgenmiş olanlar. Ardından, sonsuz basit bir sürekli kesirin asla rasyonel olmadığını gösteren önermeyi genelleştiren bir sonuç belirler:
Sıfır olmayan tam sayıların sonsuz serisi ( a n ) n > 0 ve ( b n ) n > 0 , belirli bir dereceden | bir n | > | b n | + 1 ve tanımladıkları genelleştirilmiş kesir ile "çıkarılan kesirler" yakınsarsa , limit irrasyoneldir.
GösteriVarsayalım genelliği kaybetmeden tam sayıdır , bir 0 , sıfır ve adım adım ilerleyen ilk varsayarak bu eşitsizlik | bir n | > | b n | +1 , tüm n > 0 için geçerlidir .
Π sayısına yaklaşan genelleştirilmiş kesirler Lambert'ten çok önce biliniyordu . William Brouncker örneğin şunu göstermiştir:
Ancak bu fraksiyon, mantıksızlık lemmasının hipotezlerini doğrulamaktan uzaktır . Lambert daha sonra problemi tam tersi şekilde ele alır ve sürekli fraksiyonda teğet fonksiyonunu geliştirir :
veya ( dönüştürme yoluyla ):
Bu kesir, m ve n sıfır olmayan tamsayılarsa, önermesinin hipotezlerini karşılar , bu da aşağıdaki sonucu ifade etmesine izin verir:
Sıfır olmayan herhangi bir rasyonel olanın tanjantı bir irrasyoneldir.
By contraposed tanjant rasyoneldir irrasyonel olan tüm sıfırdan farklı reals. Tanjantı sıfır olduğu için π sayısı onun bir parçasıdır.
GösteriDaha doğrusu - kosinüsün kaybolduğu gerçek sayıların rasyonel olduğu a priori hariç tutulmadığından - Lambert , tanjantın tanımlandığı sıfır olmayan herhangi bir rasyonelde irrasyonel olduğunu gösterir. Gerçekten de böyle bir noktada m / n , devam eden fraksiyonunun yakınsamasını gösterdi:
Açıktır ki, tüm j ≥ i için (2 j - 1) n > m 2 + 1 olacak şekilde bir i indeksi vardır . Lambert'in sonucuna göre, tan ( m / n ) bu nedenle irrasyoneldir.
Euler, e ve e 2'nin irrasyonelliğini basit sürekli kesirlerdeki açılımlarından çıkarsamıştı. Lambert, genelleştirilmiş sürekli kesirler sayesinde çok daha ileri gider: hiperbolik tanjant fonksiyonunu tanımlar ve önceki hesaplamaları değiştirerek, aynı şekilde elde eder:
Teğet fonksiyonuyla aynı mantık geçerlidir ve sıfır olmayan herhangi bir rasyonelinin hiperbolik tanjantı irrasyoneldir veya eşdeğerdir:
Üstel sıfır olmayan herhangi bir rasyonel bir akıl dışıdır.
Karman Fermat denklem, bir d doymuş, tam olmayan kare pozitif tamsayıyı .
Bu denklemin herhangi bir çözüm çiftine ( a , b ) , d' nin kökünün bir yaklaşımı olan a / b kesirine karşılık gelir . Bu yaklaşım kökten 1 / ( 2b 2 ) 'den daha az bir uzaklıktadır ; bu nedenle devam eden fraksiyondaki bir azalmadır. Bu özellik, çözüm kümesinin yapısını aydınlatmak için kullanılabilir. Ayrıca, her adımda tam ondalık basamak sayısı iki katına çıkan bir karekök çıkarma algoritması sunar.
Saatçilikten ilginç bir uygulama geliyor. Christian Huygens ( 1629 - 1695 ) bir gezegensel otomat, yani güneş sisteminin farklı gezegenlerinin hareketini temsil eden bir krank sistemi yaratmak istedi. Bir Dünya yılı ile Satürn'ünki arasındaki oranın yaklaşık olarak 2.640.858 / 77.708.431'e eşit olduğunu bilerek, makineyi oluşturan farklı dişliler için diş sayısı nasıl seçilir? Devamlı kesirle temsil edilen Diophantine yaklaşımı ona bir çözüm sunar: "Şimdi, herhangi bir kesirden serinin son terimlerini ve onu izleyenleri ihmal ettiğimizde ve diğerlerini artı sayı tamsayısını ortak bir paydaya indirgediğimizde, ikincisinin paya oranı, en büyüğe verilen en küçük sayıya yakın olacaktır; ve fark o kadar küçük olacak ki, daha küçük rakamlarla daha iyi bir anlaşma elde etmek imkansız olacaktır. "
Rasyonelden 1 / (2 q 2 ) 'den daha az bir mesafede yalnızca sınırlı sayıda p / q kesirinin bulunması gerçeği, bir rasyonel sayının kesirlerle "kötü" yaklaştığı anlamına gelir. Bu fikir, bir polinom denkleminin çözümlerine genelleştirir. Α, f (x) = 0 denkleminin gerçek sayı çözümü olsun , burada f rasyonel katsayılarla d dereceli bir polinomu gösterir . Liouville teoremi bir rasyonel sayı ile α yaklaşım kalitesi için bir sınır verir p / q ; tam olarak, herhangi bir rasyonel p / q için gerçek bir A sabitinin var olduğunu gösterir :
bu, rasyonel katsayılara sahip herhangi bir polinom denkleminin, yani bir aşkın sayının çözümü olmayan sürekli bir x sınırı kesri oluşturmayı mümkün kılar . Daha doğrusu, Liouville , devam eden bir kesir ( a n ) cebirsel bir d ≥ 2 derece sayısına yakınsa, o zaman bir C sabitinin var olduğunu gösterir.
burada ( k n ) aynı zamanda bu sürekli fraksiyonun indirgemelerinin paydalarının dizisini de belirtir. Liouville, aşkın sayılar oluşturma yöntemini bundan çıkarır: "Eksik bölümlere, değeri herhangi bir cebirsel denklemi karşılayamayan sürekli bir kesir elde etmek için, belirtilen terimin ötesinde büyümelerini sağlayan bir oluşum modu vermek yeterli olacaktır" ve örneğin önerir. belirli bir dereceden tekrarlayarak empoze etmek için:
Onun sonucuna göre, bu şekilde inşa edilen herhangi bir sürekli kesirdeki indirgeme sınırı, aşkın bir sayıdır.