İrrasyonel sayı

Bir mantık dışı numarası bir olan gerçek sayı değil rasyonel , yani bir şekilde yazılabilir edilemez, fraksiyon $de / b$ , burada $a$ ve $b$ iki göreli tam sayıdır ( $b$ sıfır değil). İrrasyonel sayılar , ondalık açılımı periyodik olmayan veya sürekli kesirli açılımı sonsuz olan gerçek sayılar olarak eşdeğer şekilde karakterize edilebilir .

İrrasyonel sayılar arasında iki tamamlayıcı alt küme ayırt ederiz : rasyonel olmayan cebirsel sayılar ve aşkın sayılar . Cebirsel sayılar, rasyonel katsayılı polinomların kökleri olarak tanımlanır ; Bu sayılabilir küme , tüm rasyonel sayıları ve bazı irrasyonelleri de içerir . $π$ ve $e$ gibi cebirsel olmayan sayıların aşkın olduğu söylenir; hepsi mantıksız. Bununla birlikte, klasik olarak incelenen bazı irrasyonel sayı kümeleri, hem cebirsel sayıları hem de aşkın sayıları içerebilir; bu, örneğin hesaplanabilir sayılar için geçerlidir . Biz de varsayım olduğunu cebirsel Normal sayılar ve biz aşkın olduğuna dair bazı biliyoruz.

Keşfedilen ilk irrasyonel sayılar karekök olmayan tamsayılar mükemmel kareler diğerleri arasında, √ 2 , kimin mantıksızlık kuruldu yılında Antik ; daha genel , irrasyonel constructible sayılar , başka şeylerin yanı sıra, içinde bulduğumuz cebirsel sayıların bir alt kümesi, altın oran , büyük olması tarihsel öneme onlar problemlerine bağlı olduğu için cetvel ve pusula ile inşaat için gerekli geometri arasında Öklid dönemi .

Mantıksızlığıyla $tt$ ve $e$ de, çok sonraları kurulan XVIII inci yüzyılın; bunlar mantıksızlığı kanıtlanmış ilk aşkın sayılardır. O ayrıca gösterilmiştir XIX inci olduğunu yüzyılda neredeyse tüm gerçek sayılar irrasyonel ve hatta transandantal vardır. 2018'de Euler-Mascheroni sabiti gibi birkaç önemli sabitin durumu bilinmiyor .

Tarih

İrrasyonellerle ilgili en iyi bilinen antik eserler Yunan dünyasında üretildi .

Yunan antik

Tarihçiliği uzun üç aşamaya irrasyonelliğin çalışma kırdı: keşif, muhtemelen tarafından Pisagor olmayan commensurable büyüklüklerinin özel bir durum, nihayet sonra birkaç benzer örneklerin irrasyonellik kurulması ve bunun sistematik çalışmada, içinde özellikle Öklid tarafından . Bununla birlikte, farklı aşamaların kesin sırasını yeniden oluşturmak kolay değildir, çünkü zamanın tüm metinleri bilinmemektedir ve özellikle yorumlarıyla ilgili olarak tartışma konusu olmuştur.

kullanılan kelime

İrrasyonellikle ilgili eski metinleri incelemenin zorluklarından biri, kullanılan terimlerin ve anlamlarının zaman zaman değişmesi ve bazılarının aynı metinde bir arada bulunabilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Gelen antik Yunan , irrasyonellik kavramı böylece şu sözlerle ile temsil edilebilir:

ἂρρητος / tutuklamalar : ifade edilemez ;
ἀσύμμετρος / asymmetros : kıyaslanamaz , bu terim belirtilebilir:
- μήκει ἀσύμμετρος / mkei asymmetros : ölçülemez uzunluk;
- σύμμετρος δυνάμει / symmetros dynamei : kare ile ölçülebilir;
ἄλογος / alogos : kelimenin tam anlamıyla bir ilişki kuramayan ; modern irrasyonel terimine en yakın olanıdır .

Tüm bu terimlerin, sadece ἂρρητος görünmüyor Kitap X ve Öklid ' Elements . Diğer yandan, bilgi ῥητος (katı bir mesafede sözcük açıdan kelimesinin tersidir ἂρρητος ) kelimenin ters olarak kullanılır ἄλογος anlamına akıl ; bununla birlikte tanımı σύμμετρος δυνάμει ( kare ile ölçülebilir ) kavramını içerir : bu nedenle √ 2 sayısı bu tanıma göre "rasyonel" olacaktır; bu, Platon'unkiler gibi eski metinlerde durum böyle değildir . Bu nedenle, iki yazarın dönemleri arasında bir anlam kayması olmuştur ve modern mantıksızlık kavramı Öklid'inkiyle tam olarak örtüşmemektedir. Ek olarak, Yunanlılar için irrasyonel bir sayı yoktur, ancak birincinin ikincinin rasyonel katı olmayacak şekilde büyüklük çiftleri vardır.

Metinleri anlamak, mevcut dillerde karşılığı olmayan kavramları çeviren teknik terimlerin kullanılmasıyla da zorlaşmaktadır. Örneğin, δύναμις / dynamis adı günlük dilde "güç" anlamına gelir, ancak bu anlamın eski matematik metinlerinde hiçbir anlamı yoktur. Kullanıldığı bağlamdan dolayı genellikle "kare kök" olarak çevrilmiştir. Bununla birlikte, muhtemelen bir para biriminin değerini ifade ettiği yerde finanstan ödünç alınan gerçek anlamı, daha çok alanı önceden belirlenmiş bir yüzeyin alanına eşit olan bir karenin belirtilmesidir ; bu nedenle, uzunluğu $2$ ve genişliği $1$ olan bir dikdörtgenin δύναμις alanı $2$ olan bir karedir . Sakızlı Hipokrat zamanından beri onaylanan bu terim, Platon'un Theetetus'u da dahil olmak üzere birçok metnin yorumlanmasında birçok yanlış yorumlamaya neden oldu .

İrrasyonellerin keşfi

İrrasyonelliğin kavramı Yunanlılar tarafından keşfedilmiş yapıldığı tarihtir kesin olarak bilinmemektedir: Bu başlangıcı arasındaki genellikle V inci yüzyıl M.Ö.. MÖ ve ilk çeyrek IV inci yüzyıl M.Ö.. AD . Her halükarda, Demokritos'un bu döneme ait İrrasyonel Sayılar ve Katılar kitabından önce gelir .

Popüler inanışın aksine, hiçbir şey ölçülemezliğin keşfinin bir karenin köşegeninin ve kenarlarından birinin incelenmesinden geldiğini kesin olarak göstermez; bu, √ 2 irrasyonelliğine eşdeğer bir özelliktir . Keşif bazen matematikçi atfedilen Metapontus ait Hippasius uç ve orta aklın bölümündeki yaptığı çalışmalarla, şimdi denilen altın da diyagonal uzunluğu oranıdır oranı, düzenli beşgen birinin' dekine onun yanları. Hem tam kare hem de başka bir tam karenin iki katı olan bir tamsayı bulma aritmetik probleminin incelenmesiyle irrasyonellik kavramının güncellenmiş olması da mümkündür ; bu sorunun çözümsüzlüğü gerçekten de √ 2'nin mantıksızlığına eşdeğerdir . Keşif kendi içinde gizemini koruyorsa, Platon'un zamanının entelektüelleri arasında en iyi bilinen örnek, köşegenin ve bir karenin kenarının ölçülemezliğidir.

Keşfedilen ilk ölçülemeyen niceliklerin kesin doğası bilinmemektedir ve bu ölçülemezliğin nasıl kurulduğu bilinmemektedir ve çeşitli kanıtlama fikirleri geliştirilmiştir. Bunlardan biri çift ve tek ilkesine dayanmaktadır , özellikle Aristoteles tarafından alıntılanmıştır . Eski kanıtların başka yeniden yapılandırmaları öngörülmüştür: bazıları sonsuz bir inişe başvurur , diğerleri modern terimlerle sürekli kesirlerle ilişkilendireceğimiz bir algoritmaya başvurur . Bu son teknik Mezopotamya kültürlerinden miras kalacaktı .

İrrasyonellerin daha fazla incelenmesi

İrrasyonelliğin belirli bir durumda bulunması üzerine, uzun ölçülemez büyüklüklerin çalışma ile devam ettiği bir konsensüs olmuştur Cyrene kurulduğu Theodore numaralarına kaynayan aşağı başka örnekler. $\sqrt n$ için ( $n$ kare olmayan tam sayı arasında $3$ ve $17$ ). Bu varsayım, bunu yapmak için kullanılan yöntem ve Cyrene'li Theodore'un √ 17'nin ötesine geçmesini engelleyen nedenlerle ilgili araştırmaları gündeme getirdi ; ancak, yanlış olması muhtemeldir. Aslında, Theetetus'tan bir pasajdan kaynaklanmaktadır , ancak Platon'un metni bir kanıttan bahsetmez ve bu nedenle Theodore'un bir kanıt üreteceğini göstermez. Diğer bir hipotez irrasyonelliğin ilk deliller esasen mantıksızlığını göstermesine izin vermez parite kavramına dayalı olmasıdır √ 17 .

Mevcut bilgi durumunda, Yunanistan'ın ölçülemezlik çalışmasının başlangıcının kesin bir kronolojisini önermek zordur. Onuncu kitabı Elements etrafında yazılı, -300 , hediyeler irrasyonel büyüklüklerinin bir sınıflandırma; ancak orada gösterilen önermelerin ne zaman tarihlendirildiğini bilmiyoruz, önceki matematiksel metinler kayboluyor.

Daha sonra, Yunan matematikçiler ölçülemeyen miktarları değerlendirmek için yöntemler geliştirdiler. Arşimed özellikle kullanılan tükenme yöntemi için tahmini bir değer vermek üzere $tt$ ve Alexandria Heron bir ortaya çıkarır kare kök değerlendirmek için bir yöntem .

Bir "temel krizi"nin kadim varlığı üzerine tartışma

Tekrar tekrar bildirilen bir efsane, bazen Hippasus olarak adlandırılan bir Pisagorlunun, sıradan insanlara ölçülemezliği ifşa ettiği için boğulduğunu gösterir. Bu efsane, keşfin gerçekten de Pisagor'a ait olduğunu ve bir tabu konusu olacağını gösteriyordu; irrasyonelliğin antik matematikçiler için temel bir sorun oluşturduğu tezini desteklemek için sıklıkla alıntılanır.

Nedeniyle irrasyonelliğin keşfine matematikçiler ve Yunan filozofları arasında derin bir krizin varlığı uzun tarihçiler tarafından kabul ve olmuştur bu işten Paul Tabakhane 1887 yılında, ve hatta daha ilk yıllarda XX inci yüzyılın . Diğer tarihçiler beri irrasyonel kaynaklanan kriz rekonstrüksiyon ziyade olduğu yönünde spekülasyon yapıyorlar sonrası matematikçileri hangi XX inci yüzyılda onların modellenmiş olan vakıfların krizi Yunan matematiksel eserlerini yargılamak, antik zamanların ışığında çağdaş matematiksel kavramlar. Araştırma ikinci yarısında yapılan XX inci yüzyıl dolayısıyla zarar gördüğünü kavramını "vakıfların antik krizi" .

Ortaçağ Ortadoğu

Ortaçağda gelişmesini gördüğümüz cebir içinde Arapça matematik irrasyonel sayılar tamsayılar ve rasyonel sayılar aynı cebirsel nitelikteki nesneler haline gelmesine izin. Arap-Müslüman dünyasının matematikçileri, kendilerinden önceki Yunan dünyasının aksine, aslında geometrik nicelikleri yalnızca oranlarına göre manipüle etmekten vazgeçerler . İranlı matematikçi Al-Mahani , Elementlerin X. Kitabı hakkındaki yorumunda, ikinci dereceden ve kübik irrasyonelleri inceler ve sınıflandırır , onları kendi başına sayılar olarak kabul eder, ancak onları belirtmek için geometrik bir bakış açısı da kullanır. Ayrıca irrasyonellere cebirsel bir yaklaşım getirerek, rasyonel ve irrasyonelleri toplar veya çarparsak, sonucun irrasyonel olduğunu açıklar.

Matematikçi Mısırlı Ebu Kamil Shuja ibn Aslam bir karekök, küp veya temsil irrasyonel sayı kabul etmek ilk Racine n inci bir çözüm olabilir kuadratik denklemi veya bir katsayı bir bir denklemi .

Arap matematikçiler de sayısal yaklaşım yöntemlerini benimsemiş ve mükemmelleştirmiştir ; ilk 16 arasında ondalık basamak $tt$ tarafından bulunan örnek içindir Al-Kashi geometrik yöntemlere sayesinde.

Modern çağ

İrrasyonel sayıların doğası üzerine tartışmalar

At XVI inci yüzyıla, matematiksel topluluk ağırlıyor kesirler . In XVII inci yüzyılın matematikçiler giderek istihdam ondalık kesirler , modern gösterimi ile bu sayıların hesaba zaten ve. Ondalık gösterim, irrasyonel sayılar üzerinde sayısal hesaplamalara izin verir. Ancak bunlar yaygın olarak kullanılsa da, doğasına ilişkin tartışmalar henüz sonuçlanmamıştır. Simon Stevin ve Isaac Newton , o zamanlar “sağır sayılar” olarak adlandırılan irrasyonellerin, tamsayılar ve rasyoneller gibi sayılar olduğunu düşünürken, Blaise Pascal gibi diğerleri , irrasyonellerin sayı olmadığı Öklid'in Elementleri tarafından sağlanan çerçeveyi koruyor. In Ansiklopedisi , DAlembert alır iki pozisyon hesabı ve irrasyonel sayılar değildir Buna göre fikriyle tarafını alır, ancak onlar bir istek olarak ince bir hassasiyetle onlar tarafından yaklaşılabilir.. Abraham Kästner daha sonra irrasyonel sayıların cebirsel özelliklerini rasyonel sayıların cebirsel özelliklerini açıklamayı önerir ve bu özellikleri irrasyonellerdeki rasyonellerin yoğunluğu sayesinde genişletebilir .

Sayısal yaklaşım yöntemleri

Isaac Newton geç gelişen XVII inci yüzyılın polinom, köklerinin sayısal hesaplanması için bir algoritma önsel akıl. O zamandan beri Newton yöntemi olarak bilinen bu algoritma, polinom olmayan fonksiyonların sıfırlarını hesaplamak için uyarlandı .

$π$ sayısının özel durumunda , John Machin 1706'da ark tanjant fonksiyonunu kullanarak $π$ veren bir formül yayınladı :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

Bu formülün Jurij Vega tarafından geliştirilmesi, onun 1789'da 126 ondalık basamaklı bir hassasiyetle $π$ hesaplamasını sağlar . İfade etmek için diğer formüller de sergilendi XVIII inci Euler kararı da dahil olmak üzere, yüzyıl Basel soruna bir kimlik, pratik hesaplama pek ihtiyacım bağlantı veren $tt$ ve tamsayılar ters kareler serisi: $\ pi$

{\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

Dijital bilgi işlem sağlayan kimliğin bir başka örneği, pratik hesaplama çok az kullanımı $tt$ tarafından sağlanır Leibniz formülü Avrupa'da keşfedilen XVII inci yüzyılın ama zaten iki yüzyıllardır Hindistan'da bağımsız biliniyordu hangi Kerala okul :

{\ displaystyle \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi } {4}}}

Diğer matematiksel sabitlerin yaklaşıklıkları, özellikle Euler sabiti $γ$ için yayınlanmıştır : bu , Euler-Maclaurin formülünü kullanarak 1781'den 16 ondalık sayı hesaplar .

Yeni irrasyonel sayıların keşfi

Sürekli fraksiyonlar (nedeniyle Cataldi yakın mantıksız numaralara ilişkin 1613 yılında) tarafından dikkate alınır Euler , 1737 yılında, özellikle de bu şekilde gösterir akıldışılığını $e$ ve $e 2$ .

Lambert 1761'de $π'nin$ rasyonel olmadığını gösterir. Bunun için, sıfır olmayan herhangi bir rasyonelin tanjantının ve hiperbolik tanjantının irrasyonel olduğunu, onlara belirli genelleştirilmiş sürekli kesirlerden kaynaklanan mantık dizileriyle yaklaşarak gösterir . Daha sonra $π$ ve $e'nin$ aşkınlığını tahmin eder , ancak yönteminin $π$ $2'nin$ de irrasyonel olduğuna dair bir kanıt sağladığını fark etmez . Bu gözlem daha sonra Legendre tarafından yapılmıştır . Lambert ayrıca, sıfır olmayan herhangi bir rasyonelin (ve logaritma durumunda 1'den farklı olan) üstel ve logaritmasının irrasyonel olduğunu da gösterir.

çağdaş dönem

Gerçek sayıların titiz tanımı

Kadar XIX inci yüzyılda varlığı ve irrasyonel sayıların özellikleri sıkı bir tanımı önerdi olursa olsun olmadan kabul edilmektedir. Nitekim - aksine akılcı, cebirsel inşa etmek kolaydır bütünden - reel sayı kavramı erken ikinci yarısında henüz belli değil XIX inci yüzyıl. Bu yönde tarihleri ilk girişimlerden biri çalışmalarına geri Bernard Bolzano ilk yarısında XIX inci yüzyıl, ancak bu eserler nadiren gösterilir ve pek sonraki yapılar etkiler. Karl Weierstrass ayrıca reel sayıların rasyonel limitler olarak formelleştirilmesi üzerinde de çalışmaktadır, ancak bu konuda hiçbir şey yayınlamamaktadır ve çalışmasının bu kısmı sadece öğrencisi Adolf Hurwitz'in derslerini almış olduğu notlardan bilinmektedir ; ancak 1880'lere kadar yayınlanmayan notlar.

1870'lerde gerçek sayıların iki tür titiz yapısı sunuldu:

Méray , ondan sonra Cantor ve Heine , yapılarını gerekçe dizilerinin analitik özelliklerine dayandırırlar ; reel sayılardır denklik sınıfları Cauchy dizilerinin rasyonel sayı ile denklik ilişki bunların farkı, ancak ve ancak, eğer, iki sekans ilişki içinde olacak şekilde doğru gitmektedir $0$ . Bu yaklaşım, sezgisel olarak, gerçekleri rasyonel Cauchy dizilerinin sınırları olarak tanımlamak anlamına gelir . Böylece tam bir alan olarak inşa ediyoruz ; $\ matematik bb {R}$
Tannery ve Kronecker tarafından takip edilen Dedekind'in yaklaşımı da küme teorisine dayanmaktadır . Bir gerçek orada Dedekind'in bir kesimi olarak tanımlanır , sezgisel olarak onu kesinlikle hafife alan mantıklar kümesine karşılık gelir : bu nedenle, √ 2 negatif rasyoneller kümesine veya 2'den küçük kareler kümesine karşılık gelir.

Bu iki yaklaşım eşdeğerdir.

İrrasyonellerin belirli alt kümelerinin incelenmesi

Bireyler irrasyonel sayıların Çeşitli alt kümeleri sırasında incelenir XIX inci ve XX inci yüzyıllarda. O gibi bazı irrasyonel sayılar o antik çağlardan beri biliniyordu √ 2 olan buildable ama kadar değildi XIX inci yüzyıl Wantzel küçüğüdür tüm constructible numaraları, karakterize eden vücut karekök konteyner ile kararlı . Bu göstermek mümkün kılar antik sorunlar arasında açının üçe bölünmesi ve küp çoğaltarak imkansız cetvel yardımıyla tek başına pusula . $\ matematik bb {S}$

Aynı dönemde ilk örnekleri Liouville tarafından 1844'te sergilenen aşkın sayılar da incelenmiştir. Hermite 1873'te $e'nin$ aşkınlığını, 1882'de Lindemann $π'nin$ aşkınlığını gösterir . Bu son sonuç, Yunan Antik Çağından beri açık olan dairenin karesi sorununa olumsuz yanıt vermeyi mümkün kılmaktadır . Transcendent sayıları da konu olan Hilbert'in yedinci sorun sayısı sorar, $bir$ $B$ en kısa sürede üstündür $bir$ cebirsel farklıdır ve $0$ ya da $1$ ve $B$ cebirsel ve mantıksız. Cevap, evet, 1934'te Gelfond-Schneider teoremi tarafından verildi .

XX inci yüzyılda, aynı zamanda, çalışma gören evrenin numaraları onların sayısal genişleme basamak tüm olası dizileri ihtiva ve aynı zamanda doğal sayılar , belirli bir uzunlukta olan ve sayılardan her sekansları ondalık genişleme, özellikle evrenin sayılardır eşit muhtemel . Borel 1909'da hemen hemen tüm irrasyonel sayıların herhangi bir tabanda normal olduğunu kanıtlamasına rağmen , birkaç normal sayı bilinmektedir. Normalliği en azından taban 10 için belirlenmiş olanlar arasında , Champernowne (hatta aşkın olan) sabitini veya Copeland-Erdős sabitini gösterebiliriz . Ayrıca √ 2 (ve hatta tüm irrasyonel cebirsel sayılar), $π$ ve $e$ sayılarının normal olduğu tahmin edilmektedir, ancak bu deneysel olarak doğru gibi görünse de, bu örneklerin hiçbiri için kanıtlanamamıştır.

1930'larda teorik bilgisayar biliminin gelişimi , aynı zamanda, hesaplanabilir sayıların , yani ondalık sayıları saymanın yanı sıra yaklaşıklık hatasını nicelleştirebilen bir Turing makinesinin bulunduğu çalışılmasına da yol açtı . Hesaplanabilir reals grubu içeren sürelerinin cebir , bu nedenle bütün cebir numaraları ve $TT$ ve bunun üstel stabil . Özellikle, hesaplanamayan tüm sayılar aşkındır ve a fortiori irrasyoneldir. Hesaplanamayan gerçekler kümesi kodlanabilir olmasına rağmen, bunun parçası olan birkaç sayı biliyoruz. Bunların arasında, örneğin tanımı durma problemiyle bağlantılı olan bir Specker dizisinin herhangi bir limitini buluyoruz .

Bilgisayar bilimi ve sayısal hesaplama

1940'ların sonundaki bilgisayar patlamasından önce, belirli bir irrasyonel sayının birkaç yüz ondalık basamağından fazlasını hesaplamak son derece zahmetliydi. Örneğin 1940'ta William Shanks'ın 1873'te yayınlanan çalışması sayesinde $π'nin$ yalnızca 527 tam ondalık basamağı $biliniyordu$ . Gelen 1949 , ENIAC bilgisayar 70 2.037 verdi saat Machin formülü kullanılarak,.

Çarpmaların hesaplanmasını hızlandıran hızlı Fourier dönüşümü gibi genel algoritmalar geliştirilmiştir . Aynı zamanda bilgisayarların bilgi işlem gücü de katlanarak artıyor . Böylece 1978 yılında, içinde 116.000 ondalık $e zaten biliniyordu$ ve 2000 yılında 10'dan fazla 12 arasında ondalık basamak $tt$ ve bir milyondan fazla ondalık basamağa Euler'in sabit $y$ hesaplandı.

Özellikle belirli sayıların hesaplanması için özel algoritmalar da tasarlanmıştır. $π$ durumunda, $Machin'in$ formülüne yakın formüller kullanan ilk algoritmalar, böylece , 1914'te Ramanujan tarafından elde edilene benzer daha verimli formüller lehine terk edilir :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ toplam _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}

İrrasyonel sayıların yaklaşıklıklarının ilk hesaplamaları, daha yüksek veya daha düşük bir sınıra kadar birincinin tüm ondalık basamaklarını verdi, ancak ondan öncekileri bilmeden belirli bir ondalık sayı hesaplanamaz. Gelen 1995 , matematikçiler Simon Plouffe , David H. Bailey ve Peter Borwein keşfettik BBP formül mümkün genleşme herhangi bir sayısını hesaplamak mümkün kılar, $tt$ olarak taban 16 , önceki olanları belirlemek için gerek kalmadan. Bu formülü keşfetme önce, onlar zaten ayrı herhangi rakamı hesaplamak mümkün olduğunu tespit etmişti ikili gelişme ait logaritmanın ait $2$ eşitlik sayesinde:

{\ displaystyle \ ln 2 = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n2 ^ {n}}}}

İrrasyonel sayıların özellikleri

ondalık genişleme

İrrasyonellerin karakterizasyonu, ayrıntılı makalede gösterilen aşağıdaki teorem sayesinde ondalık açılımlarıyla yapılabilir:

Teorem - Gerçek sayı akıldışıdır ve ancak eğer onun doğru ondalık açılımı periyodik değildir.

Benzer karakterizasyon ayrıca herhangi bir tabandaki (tamsayı ve 2'den büyük veya 2'ye eşit) genişleme yoluyla da gösterilir .

Bu nedenle, rasyonel bir sayının açılımının hesaplanması kolaydır, çünkü onu tam olarak karakterize etmek için hesaplanacak sadece sınırlı sayıda basamak vardır, oysa irrasyonel sayıların açılımının hesaplanması genellikle matematik tekniklerinin uygulanmasını gerektirir. istenen, hassasiyet yüksektir ( bakınız yukarıda ).

Sürekli kesir genişlemesi

Sürekli kesirler, diğer şeylerin yanı sıra, irrasyonelliği karakterize etmeye, belirli irrasyonel türlerini tanımlamaya ve rasyonalitelerle irrasyonellere iyi yaklaşımlar sağlamaya izin verir.

Sürekli kesir genişlemesi kullanarak irrasyonelliğin karakterizasyonu

Herhangi bir gerçek sayı için , sürekli bir kesirdeki gelişiminin sonlu veya sonsuz karakteri, rasyonel veya irrasyonel karakterine bağlanabilir. Daha kesin : $x$

teorem -

Herhangi bir rasyonel sayı, sonlu basit sürekli bir kesir ile temsil edilebilir .
Herhangi bir sonsuz basit sürekli kesir , bir irrasyonel sayıya yakınsar ve herhangi bir irrasyonel sayı, sonsuz bir basit sürekli kesir ile benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

İkinci dereceden irrasyonel durumlar

Tamsayı katsayıları olan ikinci dereceden bir denklemin çözümü ise, bir irrasyonel, ikinci derecedendir .

Lagrange teoremi - Bir irrasyonel, ancak ve ancak devam eden kesir genişlemesi periyodik ise ikinci derecedendir.

İrrasyonellerin yaklaştırılmasına uygulama

Sekansı bir azalma , bir mantık dışı arasında sürekli bir fraksiyona genişleme yakınsak doğru "hızlı": herhangi bir azalma genişletme doğrular arasında . $x$ $x$ $p / q$ ${\ displaystyle \ sol | xp / q \ sağ | <1 / q ^ {2}}$

Örneğin, $π'nin$ sürekli kesir açılımının başlangıcı [3, 7, 15, 1, 292,…]'dir. Gelişimin bu başlangıcından itibaren, $π'nin$ yaklaşıklığını buluyoruz : ' den küçük bir hatayla , yani en az 9 tam ondalık basamağımız var. ${\ displaystyle \ pi \ yaklaşık {\ frac {103 \; 993} {33 \; 102}} \ yaklaşık 3 {,} 14159265301}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {33 \; 102 ^ {2}}} <10 ^ {- 9}}$

Sürekli kesirdeki açılımının ilk terimleriyle veya ondalık açılımının ilk haneleriyle bir irrasyonele yaklaşarak elde edilen kesinliği karşılaştırmak mümkündür. Aslında irrasyonel hemen hemen her şey için , Lochs teoremi , sürekli kesir genişlemesinin ilk tamsayılarının asimptotik olarak tam ondalık sayılar verdiğini iddia eder . $x$ $m$ $x$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6 \ ln 2 \ ln 10}} m \ yaklaşık 1 {,} 03064083m}$

mantıksızlık ölçüsü

İrrasyonellerin karakterizasyonu

Rasyonel sayılar kümesi, gerçek sayılar kümesinde yoğundur . Bu nedenle, herhangi bir gerçek için , rasyonel veya irrasyonel sayı, o rasyonel bir sayı dizisi vardır yakınsak için . Ancak, tüm gerçekler birbirleri kadar kolay erişilebilir değildir. Böylece herhangi bir gerçekliğin mantıksızlığının ölçüsünü tanımlayabiliriz . Bu üst sınırı gerçek sayılar kümesinin $μ$ çiftlerinin bir sonsuzluk vardır olduğu gibi tamsayılar ve . Kabaca bunun anlamı, eğer bir gerçek , bir gerçeğinkinden daha büyük bir irrasyonellik ölçüsüne sahipse , o zaman eşit payda ile, rasyonel bir sayıya göre daha hassas bir şekilde yaklaşmanın mümkün olduğu anlamına gelir . $x$ $x$ $x$ $(p, q)$ ${\ görüntü stili q> 0}$ ${\ displaystyle 0 <\ sol | xp / q \ sağ | <1 / q ^ {\ mu}}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$

Aşağıdaki teorem, irrasyonellik ölçülerine göre bir rasyoneli irrasyonelden ayırt etmeyi mümkün kılar:

teorem -

Herhangi bir rasyonel sayının irrasyonelliğinin ölçüsü 1'e eşittir.
Herhangi bir irrasyonel sayının irrasyonellik ölçüsü 2'den büyük veya 2'ye eşittir.

Biz teoremin ikinci noktayı takviye edebilir: Gerçek bir eğer , çiftleri bir sonsuzluk varlığı akıldışıdır gibi tamsayılar ve her şey için sadece garanti edilir , ama daha için . Bu, örneğin, bir irrasyonalin, sürekli kesirinin sonsuz dizilimi ile ( yukarıya bakınız ) veya Dirichlet'in yaklaşım teoreminden yaklaşık olarak çıkarılmasından çıkarılabilir . $x$ $(p, q)$ $q> 0$ ${\ displaystyle \ sol | xp / q \ sağ | <1 / q ^ {\ mu}}$ ${\ görüntü stili \ mu <2}$ ${\ görüntü stili \ mu = 2}$

Bu teoremler, belirli varsayımlar altında , genel terimi rasyonel olan ve yeterince hızlı yakınsayan bir serinin toplamının irrasyonelliğini göstermeye izin veren çeşitli sonuçlar için bir temel olarak kullanılır .

Mantıksızlık ölçümünün özel değerleri

Herhangi bir irrasyonel , 2'ye eşit veya daha büyük bir ölçüye sahiptir ; hatta neredeyse her şey için tam olarak 2'dir . Ancak, kesin olarak hesaplamak her zaman kolay değildir. Hala bazen bilinir veya en azından tahmin edilir: $x$ $\ mu (x)$

herhangi bir irrasyonel cebirsel sayı için , Liouville teoremine göre sonludur ve hatta Roth'un teoremine göre eşittir ; $\alfa$ ${\ görüntü stili \ mu (\ alfa)}$ $2$
Liouville sayıları tanımı gereği, sonsuz, ölçme vardır sergilendi aşkın sayılar ilk ;
${\ displaystyle \ mu (\ matematik {e}) = 2}$ ;
${\ displaystyle 2 \ leq \ mu (\ pi) <7 {,} 61}$ ;
${\ displaystyle 2 \ leq \ mu \ sol (\ zeta (3) \ sağ) <5 {,} 52}$ , burada Apéry sabitini belirtir ( aşağıya bakın ). $\ zeta (3)$
${\ displaystyle \ mu \ sol (C_ {10} \ sağ) = 10}$ nerede Champernowne sabitini belirtir ( aşağıya bakınız ). $C _ {{10}}$

Uygulama örnekleri

İrrasyonelliğin ölçüsü, örneğin belirli sayılar mantıksızlığını için kullanılabilir apéry sabiti ( bakınız aşağıda ) ya da bir miktar içinde seri terslerinin Fibonacci sayıları ( bakınız aşağıda );
Bunun irrasyonel olduğu ( aşağıya bakınız ) ve dolayısıyla 2'den büyük bir irrasyonellik ölçüsüne sahip olduğu gerçeğinden yararlanarak, serinin genel teriminin 0'a yönelmediğini ve dolayısıyla ıraksadığını gösterebiliriz . ${\ görüntü stili \ metin stili {\ pi}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N ^ {*}}} {\ frac {1} {n ^ {2} \ günah ^ {2} n}}}$

eşzamanlı yaklaşımlar

Herhangi bir rasyonel olmayan Sapın ölçüsüdür (2 eşit ya da bundan daha büyük olan bakınız yukarıdaki ). Bu nedenle, kendimize bir sayı ve bir irrasyonel sayı verirsek , çarpımı bir tam sayıdan daha küçük bir mesafede olacak şekilde bir tamsayı bulmak mümkündür . $\ varepsilon> 0$ $\ xi$ $q$ ${\ görüntü stili q \ xi}$ $\ varepsilon$

Bir tamsayıya keyfi olarak küçük bir hatayla yaklaşmak için kendimize keyfi sayıda keyfi irrasyonel versek bile böyle bir tamsayı bulabiliriz : $q$ $değil$ ${\ görüntü stili \ xi _ {1}, \ nokta, \ xi _ {n}}$

Dirichlet'in yaklaşım teoremi - Yairrasyonel sayılar ve ya. Öyle bir tamsayı vardırki, tüm ürünlerbir tamsayıdan en fazla farklıdır. ${\ görüntü stili \ xi _ {1}, \ nokta, \ xi _ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $q$ ${\ displaystyle q \ xi _ {1}, \ noktalar, q \ xi _ {n}}$ $\ varepsilon$

Bazı kısıtlamalarla, bu sonucu herhangi bir sayının yaklaşıklığına genişletmek mümkündür:

Kronecker teoremi - Letherhangi bir sayı olsun ve letve. Let- lineer bağımsız irrasyonel sayılar. O zaman, herkes için,en fazla tamsayısından farklı olacak şekilde bir tamsayı vardır. ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ noktalar, \ alpha _ {k}}$ $\ varepsilon> 0$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ teta _ {1}, \ noktalar, \ teta _ {k}}$ ${\ görüntü stili n> N}$ ${\ displaystyle m \ in \ {1 \ nokta, k \}}$ ${\ görüntü stili | n \ teta _ {m} - \ alfa _ {m} |}$ $\ varepsilon$

İrrasyonel kümenin özellikleri

Çit özellikleri

ℚ bütün bir sahip yapıyı ait değişmeli , bu hem rasyonel ve irrasyonel içeren toplamları ve ürünlerin irrasyonellik üzerine genel sonuçlar anlamak için izin verir. İrrasyonellerin kümesi, örneğin, aşağıdaki kapatma özelliğini karşılar : eğer bir gerçeğin karesi (veya daha genel olarak, bir tamsayı kuvveti ) bir irrasyonel ise, o zaman bu gerçeğin kendisi irrasyoneldir ( herhangi bir rasyonellerin ürünü rasyoneldir). Bu, irrasyonel bir sayıyı bilerek, diğerlerinin sonsuzluğunu oluşturmaya izin verir.

Ayrıca, herhangi bir irrasyonel ve herhangi bir rasyonel sayı için sayıların ve irrasyonel olduklarını bilerek , doğrusal projektif grubu hareket (veya ) yapabiliriz: $\alfa$ ${\ displaystyle r \ neq 0}$ ${\ görüntü stili \ alfa + r}$ ${\ görüntü stili {\ frac {r} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatör adı {PGL} (2, \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ operatör adı {PGL} (2, \ mathbb {Z})}$

Teorem - Izin irrasyonel sayı. Yani, gibi tüm rasyonel insanlar için gerçek irrasyoneldir. $\alfa$ ${\ görüntü stili a, b, c, d}$ $ad-bc \ ne0$ ${\ görüntü stili {\ frac {a \ alpha + b} {c \ alpha + d}}}$

Örneğin :

çünkü irrasyoneldir ( aşağıya bakınız ) ve altın oran da öyledir ; ${\ kare 5}$ ${\ görüntü stili - {\ sqrt {5}}}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$
herhangi bir açı için bu şekilde , mantıksız numaraları , ve uygun mantıksız trigonometrik kimlikleri . $\ teta$ ${\ displaystyle \ çünkü (2 \ teta)}$ ${\ displaystyle \ cos \ teta}$ $\ günah \ teta$ ${\ displaystyle \ tan \ teta}$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ teta) = 2 \ cos ^ {2} \ teta -1 = 1-2 \ günah ^ {2} \ teta = {\ frac {1- \ tan ^ {2} \ teta} {1+ \ tan ^ {2} \ teta}}}$

Öte yandan, iki irrasyonelin toplamı ve çarpımı rasyonel olabilir: örneğin, ve . ${\ görüntü stili - {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5}} = 0}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {5}} \ kere {\ sqrt {5}} = - 5}$

İrrasyonel bir güce yükseltilen irrasyonel (kesinlikle pozitif) , rasyonel veya irrasyonel, hatta aşkın olabilir. Aşağıdaki alt bölüme göre, elimizde: $1$ dışında herhangi bir gerçek $x > 0 için$ , $x$ $y$ , "hemen hemen tüm" $y gerçekleri$ (sayılabilir bir küme hariç tümü), özellikle "neredeyse tümü" irrasyonel $y için aşkındır$ .

kardinalite

Grubu ℝ \ ℚ irrasyonellerde ait olan süreklilik gücünü , yani içinde bulunduğu bir eşleşme arzu edildiği gibi aşağıdaki üç bağımsız değişkeni bir, bunu kanıtladığı gibi, ℝ ile:

ℝ olan sayılamaz (ve hatta eş değerde için parça grubu ise ℕ arasında) ℚ sayılabilir olduğu ;
Cebirsel gerçekler kümesi hala sayılabilir olduğundan , aşkın gerçeklerden oluşan ℝ \ ℚ alt kümesi zaten sürekliliğin gücüne sahiptir ;
sürekli bir fraksiyon mantıksız genleşme verimi arasında bir bijection ℝ \ ℚ ve set ℕ ℕ tüm pozitif tamsayılar dizileri .

Parçalar ℚ ve ℝ \ ℚ olan sipariş için hem yoğun ℝ ve daha ziyade Yoğun için ℝ olağan topoloji . Tüm gerçekler için , ℚ ve ℚ arasında bir eşbiçimlilik vardır (bu, bir Cantor teoreminin özel bir durumudur, eğer ve rasyoneldir). By kanonik uzantısı ait irrasyonellerde kümesi bu gösterileri o olduğunu - sipariş anlamında ve fortioridir topolojik anlamda - yoğun ℝ \ ℚ ve izomorf. $bir <b$ ${\ displaystyle ~ \ cap ~] a, b [}$ $de$ $b$ ${\ görüntü stili] a, b [}$ ${\ görüntü stili] a, b [}$

ℝ bağlı iken , irrasyonel alt uzay tamamen süreksizdir (çünkü önemsiz olmayan herhangi bir aralık içermez ).

ℝ olarak, irrasyonel G formu Í (yani sayılabilir kesişme açıklıkları ) ancak bir F σ (yani sayılabilir bir birlik kapalı ). Başka bir deyişle: gerçek değerlere sahip bir fonksiyonun süreksizlik noktaları kümesi ℚ'ye eşit olabilir, ancak ℝ \ ℚ'ye eşit olmayabilir.

Metrik uzay ℝ tam iken, irrasyonel alt uzay değildir ( çünkü ℝ'de kapalı değildir ). Bununla birlikte, yukarıda bahsedilen benzetme ile , bu topolojik uzay , Baire uzayı olarak adlandırılan tam metrik uzaya homeomorfiktir . Bu, Baire teoreminin irrasyonel sayıların uzayı için de geçerli olduğunu gösterir . ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$

İrrasyonel sayı örnekleri ve irrasyonellik kanıtı

Bir gerçeğin irrasyonel olduğunu kanıtlamak, öyle bir tam sayı çifti olmadığını kanıtlamaktır , ancak belirli bir durumda var olmamanın sonucunun saptanması genellikle varlığın bir sonucundan çok daha zordur. Dolayısıyla bir gerçeğin belirli bir sabitten daha küçük olduğu ve nerede olduğu biçiminde yazılamayacağını göstermek mümkün olsa bile , bu onun mantıksızlığını kanıtlamak için yeterli değildir. Örneğin, Euler-Mascheroni sabiti rasyonel ise, o zaman sadece paydası en az 242.080 basamaklı bir kesir olabileceğini biliyoruz, ancak bu onun irrasyonelliğini varsaymaya yol açsa bile, bu hiçbir şekilde onu oluşturmaz. Bununla birlikte, belirli özel durumların mantıksızlığına karar vermeyi mümkün kılan birkaç kanıtlama tekniği vardır. $x$ ${\ görüntü stili (p, q)}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {p} {q}}}$ $x$ ${\ displaystyle x = {\ frac {p} {q}}}$ $p$ $q$ $VS$

Açıkça cebirsel sayıların mantıksızlığı

ön örnek

√ 2 sayısı , irrasyonel olduğu kanıtlanmış ilk sayılardan biridir. Bu aslında temel parite değerlendirmeleri sayesinde elde edilebilir :

√ 2 irrasyonelliğinin temel kanıtı

Biz saçma yoluyla ikna . Bunun bir rasyonel sayı olduğunu varsayalım , o zaman iki tamsayı vardır ve aralarında asal vardır, öyle ki , şunu söylemeye eşdeğerdir . Bu nedenle tamsayı çifttir ve sonuç olarak çifttir; bu, tamsayı olduğu yerde yazılır . Ama sonra like , bunu takip eder ve bu nedenle ve çifttir. $\ kare2$ $de$ $b$ ${\ görüntü stili {\ sqrt {2}} = {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle 2b ^ {2} = bir ^ {2}}$ $bir ^ 2$ $de$ $bir = 2k$ $k$ ${\ displaystyle 2b ^ {2} = bir ^ {2}}$ ${\ displaystyle b ^ {2} = 2k ^ {2}}$ $b^2$ $b$

$de$ ve bu nedenle ikisi de eşittir ve bu nedenle birbirlerine asal değildir. Bu nedenle, rasyonel olduğunu varsayarak bir çelişkiyle sonuçlandık . Bu nedenle irrasyonel bir sayıdır. $b$ $\ kare2$

Tamsayı katsayılı polinomların özelliği

Bir cebirsel sayı irrasyonel olduğunda, aşağıdaki teorem genellikle onu doğrulamaya yardımcı olur:

Teorem - Eğer bir rasyonel ( indirgenemez biçimde koymak ) tamsayı katsayılı bir polinom denkleminin çözümü ise

{\ displaystyle x = {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle c_ {n} x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ nokta + c_ {1} x + c_ {0} = 0}

,sonra böl ve böl .

de

c_ {0}

b

c_ {n}

Bu nedenle , elle deneyebileceğimiz yalnızca sınırlı sayıda olası değer vardır . Bu gerekçelerden hiçbiri bir çözüm değilse, herhangi bir çözüm irrasyoneldir. Örnekler

Ekstrem katsayıları polinomun olan,

altın oran köküdür vardır ve sadece bölünebilir olan, . Yana ve polinomun kökleri değiliz, biz böylece (bulmak bkz yukarıdaki bile çözmeden,) kuadratik denklemi , yani akıl dışıdır.

{\ görüntü stili X ^ {2} -X-1}

\ değişken

1

-1

\ pm 1

1

-1

\ değişken

Polinomun gerçek kökü kesinlikle pozitiftir ve kümenin bir parçasını oluşturmaz (

çünkü P (3/4) <0 < P (1) ); bu nedenle mantıksızdır.

{\ displaystyle P (X) = 4X ^ {5} + X-3}

{\ displaystyle \ sol \ {{\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}, 1, {\ frac {3} {2 }}, 3 \ sağ \}}

Sayı , kökü rasyonel olmayan polinomun köküdür. Bu nedenle cebirsel derece 3'tür, bu nedenle irrasyoneldir ve hatta yapı değildir (böylece herhangi bir göreli tamsayı için , , ve bina değildir).

{\ displaystyle \ cos \ sol (\ pi / 9 \ sağ)}

{\ displaystyle 8X ^ {3} -6X-1}

değil

{\ displaystyle \ cos \ sol (2 ^ {n} \ pi / 9 \ sağ)}

{\ displaystyle \ sin \ sol (2 ^ {n} \ pi / 9 \ sağ)}

{\ displaystyle \ tan \ sol (2 ^ {n} \ pi / 9 \ sağ)}

Yukarıdaki teoremde, eğer daha fazla ise , bu nedenle (tamsayı). Başka bir deyişle: tamsayı olmayan herhangi bir cebirsel tamsayı irrasyoneldir. Özellikle, böylece bir genelleme elde mantıksızlığına kanıtı √ 2 tarafından Gauss lemmasının : $c_n = 1$ $b = 1$ $x = bir$

Sonuç - n- inci kökü bir tamsayı K > 0 sürece, mantıksız , N olan n- inci güç bir tam sayı.

Altın oran: ikinci bir kanıt

Herhangi bir sonsuz basit sürekli fraksiyonunun bir akıl temsil eder ve bu sürekli fraksiyon daha sonra periyodik ise mantıksız (kuadratiktir bakınız yukarıdaki ).

En basit sürekli kesir, doğrudan denklemden elde edilebilen altın oranınkidir : ${\ displaystyle \ varphi = 1 + {\ frac {1} {\ varphi}}}$

{\ displaystyle \ varphi = 1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ \ cdots}}}}}

Böylece cebirsel sayının irrasyonel olduğunu tekrar buluruz . $\ değişken$

Trigonometrik fonksiyonlar

Teorem - Derece cinsinden bir açı rasyonel ise ve 30 ° veya 45 ° 'nin katı değilse, kosinüs , sinüs ve tanjantı irrasyoneldir.

Rasyonel $r$ için $cos ($ $r$ $π)$ , $sin ($ $r$ $π)$ ve $tan ($ $r$ $π)$ cebirsel sayıların derecesinin hesaplanmasının bir sonucudur , ancak aynı zamanda sonsuz iniş yöntemini kullanarak sözsüz bir ispatla da gösterilebilir . bir , iki boyutlu bir ağ .

Ondalık açılımlarıyla tanımlanan sayıların mantıksızlığı

Bir veritabanında geliştirmenin periyodik olmaması

Herhangi bir temelde periyodik bir gelişmeye sahip olan herhangi bir rasyonel, bir gerçeğin irrasyonel olduğunu kanıtlamak, belirli bir temelde gelişiminin periyodik olmadığını göstermek için yeterlidir . Bu bazen aşağıdaki teoremde olduğu gibi doğrudan yapılabilir: $x$

Teorem - asal sayıların sabit ait ikili genişleme , mantıksızdır. ${\ displaystyle 0 {,} 0110101000 \ nokta}$

Bu teorem, ardışık asal sayılar arasındaki farkların sırasını periyodik olarak kabul ederek ve ardından bir çelişki elde ederek saçma ile gösterilebilir .

Başka bir örnek aşağıdaki teorem ile verilmiştir:

Teoremi - Prouhet-Thue-Morse sabiti , ikili genişleme, Prouhet-Thue-Morse sekansı , mantıksız. ${\ displaystyle \ tau = 0.412 ~ 454 ~ 033 ~ 640 \ ldots}$ ${\ displaystyle t = 0 ~ 1 ~ 10 ~ 1001 ~ 10010110 ~ 1001011001101001 ...}$

Prouhet-Thue-Morse dizisinin küpsüz olduğunu, yani hiçbir bloğun art arda üç kez tekrarlanmadığını gerçekten gösterebiliriz: bir fortiori onun ikili açılımı periyodik değildir ve bu nedenle irrasyoneldir. $\ tau$

Genişlemede rastgele uzunluktaki sıfırların dizilerini bulma

Pratikte, rastgele uzunluktaki sonlu dizilerin varlığı belirlenerek periyodik olmama elde edilebilir . Aslında, sayı periyodik ise, sonlu bir ondalık açılımı olmadığı sürece, periyodunun uzunluğundan daha uzun sıfır dizileri içeremez. ${\ görüntü stili 0}$

Aşağıdaki sonuç temel bir uygulama sağlar:

Teoremi - sabiti Champernowne mantıksız. ${\ displaystyle 0 {,} 1234567891011 \ nokta}$

Gerçekten de, taban genişletme formun tam sayıları içerdiği için periyodik değildir için sekansları bu nedenden ötürü, geniş, ve isteğe bağlı olarak uzun sonlu. Bu sayı aslında normal ve hatta aşkındır. $10$ ${\ displaystyle 10 ^ {k} +1}$ $k$ ${\ görüntü stili 0}$

Daha az önemsiz bir örnek şudur:

Teoremi - Copeland-erdos sabit mantıksız. ${\ displaystyle 0 {,} 2357111317 \ nokta}$

Copeland-erdos sabiti ile tanımlanır nerede olduğunu k -inci asal sayı ve nerede olduğunu tam sayı kısmı onun içinde ondalık logaritması . Yani, Copeland-Erdő sabitinin ondalık açılımı , asal sayılar dizisinin elemanlarının sıralanmasıdır. ${\ displaystyle C = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n} 10 ^ {- \ sol (n + \ toplam _ {k = 1} ^ {n} E (\ log _ {10) } {p_ {k}}) \ sağ)}}$ $p_ {k}$ ${\ displaystyle E (\ log _ {10} {p_ {k}})}$

Rastgele uzun sıfır dizileri sergileyerek irrasyonelliğini gösteriyoruz . $VS$

gösteri

Herhangi bir doğal sayı için , aritmetik ilerleme teoremine göre , aritmetik dizi sonsuz sayıda, dolayısıyla en az bir asal sayı içerir. Bu nedenle, (ikincisi ) dışında iki basamakla çerçevelenmiş, on tabanındaki yazısı en az sıfırdan oluşan en az bir asal sayı vardır . Dolayısıyla ondalık açılımı , sonlu fakat keyfi olarak uzun sıfır dizileri içerir, bu da periyodik olmadığını ve dolayısıyla bunun rasyonel olmadığını kanıtlar . $s$ ${\ displaystyle \ sol (k.10 ^ {s + 1} +1 \ sağ) _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $s$ ${\ görüntü stili 0}$ $1$ $VS$ $VS$

'nin irrasyonelliği , daha genel sonuçtan da çıkarılabilir, ancak kanıtlanması daha zordur, buna göre Copeland-Erdős sabiti 10 tabanında normal bir sayıdır ve aşağıdaki temel özellikle birleştirilir: $VS$

Özellik - En az bir tabandaki herhangi bir normal sayı irrasyoneldir.

Seri tutarları

e'nin

mantıksızlığı

Teoremi - sayı $e$ mantıksız.

Fourier redémontre Euler bu sonucu kullanarak üstel seri açılımını ait üstel fonksiyonu olarak değerlendirilir : . $1$ ${\ displaystyle \ matematik {e} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n!}}}$

Bu onu herhangi bir tamsayı için olduğunu göstermek için izin verir $b > 0$ , sayı $b ! e$ sıfır olmayan bir kesirli kısma sahiptir, bu nedenle tamsayı değildir ve bu nedenle $e$ rasyonel değildir.

Daha genel olarak :

aynı yöntem herhangi bir $x > 0$ tamsayı için (ve dolayısıyla herhangi bir rasyonel $x \neq 0$ ) için $e x'in$ irrasyonel olduğunu kanıtlamayı mümkün kılar ;
herhangi bir sınırlı tamsayı dizisi için , gerçek sayılar ve yalnızca dizi 0'da durağan ise rasyoneldir . $(b_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {n \ geq 0} {\ frac {b_ {n}} {n!}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {n \ geq 0} {\ frac {b_ {n} 2 ^ {n}} {n!}}}$ $(b_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

Apéry sabitinin mantıksızlığı

Bu (mümkündür bakınız yukarıda ) gerçek akıldışılığını kanıtlamak için $x$ gerekçeler bir dizi sergileyen parçalar tarafından doğru yakınsak $x$ belirli için bu tür, yani "yeterince hızlı bir şekilde", $u$ $> 1$ , elimizdeki tüm $n$ . Böyle bir teknik sayesinde Roger Apéry 1978'de Riemann fonksiyonu $ζ$ tarafından 3'ün görüntüsü üzerinde aşağıdaki sonucu gösterdi : ${\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}} \ neq x}$ ${\ displaystyle \ sol | x - {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}} \ sağ | <{\ frac {1} {q_ {n} ^ {\ mu}}}}$

Teoremi - Sabit apery mantıksız. ${\ displaystyle \ zeta (3) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {3}}} \ yaklaşık 1.202}$

Çift üstel büyüme serisi

Durumunda çifte üstel büyüme ile dizilerin , biz teoremini şu var:

Teorem - Belirli bir sıranın ötesinde herkes için eşitsizliğe sahip olacağımız şekilde iki pozitif tamsayı dizisi olsun ve olsun . Eğer seri rasyonel bir sayıya yakınsarsa, o zaman belirli bir sıranın ötesindeki her şey için elimizdedir : geniş eşitsizlik aslında bir eşitliktir. ${\ displaystyle (a_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (b_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ $değil$ ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}} a_ {n} ^ {2} - {\ frac {b_ {n + 1}} { b_ {n}}} a_ {n} +1}$ ${\ displaystyle \ toplam _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}}}$ $değil$ ${\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}} a_ {n} ^ {2} - {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}} a_ {n} +1}$

1'e eşit sabit dizi göz önüne alındığında , bu teoremin zıttı , Mersenne'in çift sayılarının terslerinin toplamının irrasyonelliğini kanıtlamayı mümkün kılar , ancak Fermat sayılarının terslerinin dizisinin irrasyonelliğini bulmayı mümkün kılmaz . , ve genel teriminin çift üslü olarak artması bu iyi; bu sayı, ancak oldukça mantıksız (olduğunu görmek için aşağıda ) ve hatta aşkın 1967 gösterilmiştir. ${\ displaystyle (b_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$

Diğer seriler

Erdos-Borwein sabit tersleri dizisinin toplamı olarak elde edilen Mersenne numaralarının ve tersleri dizisinin toplamı Fermat numaralarının mantıksız. Aslında, keyfi olarak uzun sıfır dizileri, taban 2'deki genişlemelerinde gösterilmiştir . Ancak bunu yapmak için kullanılan mantık, önceki örneklere göre çok daha tekniktir. ${\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} -1}} \ yaklaşık 1,606695}$ ${\ displaystyle \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {n}} + 1}} \ yaklaşık 0 {,} 596}$
Apery yöntemi esinlenerek ( bakınız yukarıdaki ), Andre Jeannin'in 1989 yılında ortaya Fibonacci sayıları tersleri toplamı (in) mantıksız.

Diğer örnekler

π

irrasyonelliği

Teorem - sayı $π$ mantıksız.

Ivan Niven , ile ve tamsayılar olduğunu varsayarak ve bu hipotezden, bir tamsayıya eşit olan ve kesinlikle 0 ile 1 arasında olabilen, saçma olan bir ifade oluşturarak Lambert'in sonucunu saçma bir şekilde kanıtlar . Bunun rasyonel olduğunu varsaymak bu nedenle bir çelişkiye yol açar ve bu nedenle irrasyoneldir. ${\ displaystyle \ pi = {\ frac {a} {b}}}$ $de$ $b$ $\ pi$ $\ pi$

π

2

irrasyonelliğinin benzer kanıtı

Niven yöntemi kullanılarak, Hardy ve Wright, akıldışılığını göstermektedir $π aşağıdaki gibi 2$ arasında olduğu sonucunu getirir, $tt$ ( bakınız yukarıda ).

Herhangi bir doğal tamsayı için , tarafından tanımlanan polinom fonksiyonunu düşünün . Sıraya kadar türevleri bir tamsayı değeri alır (dolayısıyla simetriye göre de) ve aşağıdaki türev sıfırdır. $değil$ $f_n$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {x ^ {n} (1-x) ^ {n}} {n!}}}$ $2n$ ${\ görüntü stili 0}$ $1$

Varsayalım ki ile ve kesinlikle pozitif tam ve seti . Yukarıdan ve tam sayılardır. ${\ displaystyle \ pi ^ {2} = {\ frac {a} {b}}}$ $de$ $b$ ${\ displaystyle G_ {n} (x) = \ toplam _ {k \ in \ mathbb {N}} (- b) ^ {k} a ^ {nk} f_ {n} ^ {(2k)} (x) }$ ${\ görüntü stili G_ {n} (0)}$ ${\ displaystyle G_ {n} (1)}$

Ayrıca ( teleskopla ) bu nedenle ${\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} x}} \ sol (G_ {n} '(x) \ günah (\ pi x) - \ pi G_ {n} (x)) \ cos (\ pi x) \ sağ) = \ sol (G_ {n} '' (x) + \ pi ^ {2} G_ {n} (x) \ sağ) \ günah (\ pi x) = \ pi ^ {2} a ^ {n} f_ {n} (x) \ günah (\ pi x)}$

{\ displaystyle \ pi \ int _ {0} ^ {1} a ^ {n} \ günah (\ pi x) f_ {n} (x) \ matematik {d} x = \ sol [{\ frac {G_ { n} '(x) \ günah (\ pi x)} {\ pi}} - G_ {n} (x) \ cos (\ pi x) \ sağ] _ {0} ^ {1} = G_ {n} (0) + G_ {n} (1) \ in \ mathbb {Z}}

Ancak, ilgili fonksiyon olduğunu sürekli ve sıkı arasında ve bu nedenle . $] 0.1 [$ ${\ displaystyle x \ mapto \ günah (\ pi x) f_ {n} (x)}$ ${\ görüntü stili 0}$ ${\ görüntü stili {\ frac {1} {n!}}}$ ${\ displaystyle 0 <\ pi \ int _ {0} ^ {1} a ^ {n} \ günah (\ pi x) f_ {n} (x) \, \ matematik {d} x <\ pi {\ frac {a ^ {n}} {n!}}}$

Ayrıca, yeterince büyük için, ( $exp ($ $a$ $)$ serisi bile yakınsaktır ). Tamsayı o zaman kesinlikle ve arasındadır , bu saçmadır. $değil$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {a ^ {n}} {n!}} <1}$ ${\ displaystyle G_ {n} (0) + G_ {n} (1)}$ ${\ görüntü stili 0}$ $1$

tamsayı logaritma

Yana (dışında $e 0 = 1$ ) her rasyonel güç $e$ (mantıksız bakınız yukarıdaki ) doğal logaritması $ln x$ pozitif bir rasyonel $X \neq 1$ mantıksız. Sayısı $günlük 10 2$ bir tamsayıdır olmadığı da mantıksız a, b ≠ 0 örneğin 2 olduğu bir = 10 b ; daha genel olarak, $log$ n m = $l m / ln n$ aynı asal çarpanlara (veya yine aynı köke ) sahip olmayan tüm m, n > 1 tam sayıları için irrasyoneldir . Örneğin: $log$ $10$ $15$ ve $log$ $2$ $6$ irrasyoneldir.

Açık sorunlar

$π + e$ ve $π - e$ sayılarının irrasyonel olup olmadığı bilinmemektedir . Bununla birlikte, $π$ , $e$ ve $1'in$ ℚ- lineer bağımsız olduğunu varsayıyoruz .

$2 e$ , $π e$ , $π \sqrt 2$ , Khintchine sabitinin veya Euler-Mascheroni sabitinin $γ$ irrasyonel olup olmadığını bilmiyoruz . Ayrıca herhangi bir $n > 3$ tek tamsayı için $ζ ( n )'$ nin irrasyonel olup olmadığını da yok $sayarız$ . Gerçekten de, tek pozitif tamsayılar için Apéry teoremi sayesinde yalnızca $ζ (3)$ durumu bilinir . Ancak, $ζ'nin$ $5$ , $7$ , $9$ veya $11$ olmak üzere dört sayıdan en az birini içeren sonsuz sayıda tek sayı için irrasyonel bir değer aldığı kanıtlanmıştır . Ek olarak, yüksek hassasiyetli hesaplamalar , tüm bu sayıların mantıksızlığını ve hatta aşkınlığını son derece olası kılar.

Matematiğin diğer alanlarından bazı açık problemler irrasyonellik problemleri olarak ifade edilebilir. Örneğin, Brun sabiti irrasyonel olsaydı, o yer alacağı ikiz asal sayıların varsayım .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Mantıksız numara " ( yazarların listesini görmek ) .

Notlar

Bu makale boyunca "periyodik", "belirli bir seviyeden periyodik" anlamına gelir.
Bu özellikler burada modern bir formülasyonla belirtilmiştir, ne $π$ ne de $karekökler$ , antik Yunan'da tam anlamıyla sayılar olarak kabul edilmemektedir.
Belirli bir polinomun potansiyel olarak kökü olan rasyonel sayılar sonludur ve tanımlanması için yaklaşık hesaplama gerektirmez ( aşağıya bakınız ).
Daha fazla ayrıntı için “ Machin'in Formülü ” makalesine bakın .
Daha fazla ayrıntı için “ Leibniz'in formülü ” makalesine bakın .
Aslında, Euler sabitinin γ irrasyonel olduğu kanıtlanmamıştır, ancak kapsamlı sayısal hesaplamalar, durumun gerçekten böyle olduğunu göstermektedir ( aşağıya bakınız ).
“Sürekli kesir ve Diophantine yaklaşımı” makalesinin “Örnek: e sayısı” bölümüne bakın .
Bkz makalesinde "Sürekli Kesir ve Diofant Yaklaşım" nin "mantıksızlık" bölümü .
Bu sonuç , Euler tarafından 30 yıl önce hesaplanan ve bugün not ettiğimiz toplamın irrasyonelliği ile sonuçlanır $ζ (2)$ . ${\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$
" Gerçek sayıların inşası " başlıklı ayrıntılı makaleye bakın .
“ Wantzel teoremi ” makalesine bakın .
Ancak aşkın sayıların varlığı, zamanın matematikçileri için kesin değildi.
" Liouville Sayısı " makalesine bakın .
" Hermite-Lindemann teoremi " makalesine bakın .
" Normal sayı " makalesine bakın .
Shanks aslında 707 ondalık basamağı verdi ama elle yapılması hesaplamalarını, ötesinde yanlış oldu 528 th .
2017'de onluk taban için benzer bir formül bilinmiyor.
Bkz makalenin “Bir Sürekli kesir ait“Dönem”bölümünü kuadratik irrasyonel ” .
teoremi Hurwitz her irrasyonel için diyerek Temizler bu $x$ , rasyonel bir sonsuzluk var $p / q$ öyle ki ve sabit √ 5 optimaldir: daha büyük herhangi bir sabitle, teorem bazı sayılar için, örneğin altın oran için yanlıştır . Daha fazla ayrıntı için, Lagrange spektrumu hakkındaki makaleye bakın . ${\ displaystyle \ textstyle {\ sol | x - {\ frac {p} {q}} \ sağ | <{\ frac {1} {q ^ {2} {\ sqrt {5}}}}}}$
Daha genel olarak, herhangi bir tabanda Champernowne sabitine benzer sayılar , irrasyonellik ölçüsüne eşittir . $b$ $b$
Örneğin , öyle bir tamsayı belirliyoruz ki , o zaman iki tamsayı var ve öyle ki ve dolayısıyla sonuç. ${\ displaystyle q_ {1} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {1}}} <\ varepsilon}$ ${\ görüntü stili q> q_ {1}}$ $p$ ${\ displaystyle \ sol | \ xi - {\ frac {p} {q}} \ sağ | <{\ frac {1} {q ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle | q \ xi -p | <{\ frac {1} {q}} <{\ frac {1} {q_ {1}}} <\ varepsilon}$
Eylemi ile sınırlayarak, verilen bir irrasyonel ile eşdeğer tüm irrasyonelleri buluruz . ${\ displaystyle \ operatöradı {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$
Örneğin $e ln 2 = 2$ iken $e$ ve $ln 2$ irrasyoneldir ( aşağıya bakınız ).
Gelfond-Schneider teoremi örnekler bütün aile sağlar.
See Georg Cantor üzerinde makalenin “Çalışmalar” bölümünde .
Aslında, rasyoneller bir F σ oluşturur, ancak bir G δ değil : “Borel Hiyerarşisi” makalesinin “Temel özellikler” bölümüne bakın .
Bu denklik için, "Süreksizliklerin sınıflandırılması" makalesinin "Bir fonksiyonun süreksizlikler kümesi" bölümüne bakınız .
Bu, örneğin Thomae fonksiyonunun durumudur .
“Euler-Mascheroni sabiti” makalesinin “Yaklaşık değer ve özellikler” bölümüne bakın .
Bu kanıt geleneksel olarak Pisagor'a atfedilir , ancak ondan mı yoksa ilk mi ileri sürüldüğü bilinmemekle birlikte ( yukarıya bakınız ).
Bkz "Apaçık Kök" makalenin "Örnek mantıksızlık ispatı" bölümü .
Bu, tüm gerçekler için geçerli olan trigonometrik kimlikler standardından çıkarılır : , ve , veya, açıortayların oluşturulabilirliği . $de$ ${\ displaystyle \ cos (2a) = 2 \ cos ^ {2} a-1}$ ${\ displaystyle \ cos ^ {2} bir + \ günah ^ {2} bir = 1}$ ${\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} a = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} a}}}$
Daha genel bir çerçevede doğrudan bir gösterim için, “Öklid'in Lemması” makalesinin “Tam kapanış ” bölümüne bakın .
Bu teorem birçok yazar, özellikle de Niven tarafından tekrar gösterilmiştir: bkz. Niven teoremi (tr) ve Niven 1956 , Sonuç 3.12 ve notlar, s. 41 .
Kanıtın ayrıntıları için ayrıntılı makaleye bakın .
Aslında Prouhet-Thue-Morse sabitinin aşkın bir sayı olduğunu gösterebiliriz; daha fazla ayrıntı için ayrıntılı makaleye bakın .
asal sayılar (P Sabit durumunda bakınız yukarıdaki ), biz de tam sayılar için gerçeğini kullanarak asal sayıların sabit mantıksızlığını göstermiştir olabilirdi , ardışık tamsayılar tüm bileşik bulunmaktadır. $n \ ge2$ $n-1$ ${\ görüntü stili n! +2, \ noktalar, n! + n}$
Periyodik olmayan belirli genişletmeler, rastgele uzun 0 dizileri içermeyebilir. Örneğin, Thue-Prouhet-Mors sabiti ikili genişleme ( bkz yukarıdaki üç ardışık 0s bulmak asla, bir küp olmadan olmak üzere).
Sylvester dizisinin terimlerinin tersi dizisi , 1'e yakınsadığı için böyle bir serinin rasyonele yakınsamasına bir örnektir.
Gerçekten de sahip olduğumuz her şey için ve dolayısıyla . $değil$ ${\ displaystyle M_ {M_ {n}} ^ {2} -M_ {M_ {n}} + 1 = \ sol (2 ^ {2 ^ {n} -1} -1 \ sağ) ^ {2} -2 ^ {2 ^ {n} -1} + 1 + 1 = 2 ^ {2 ^ {n + 1} -2} -2 ^ {2 ^ {n}} - 2 ^ {2 ^ {n} -1} +3}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {n}} ^ {2} -M_ {M_ {n}} + 1 <2 ^ {2 ^ {n + 1} -1} -1 = M_ {M_ {n + 1}} }$
Gerçekten de, hepimiz için var ve bu nedenle . Fermat'ın sayıları teoremin hipotezini karşılamaz ve bu nedenle sonuca varamayız. $değil$ ${\ displaystyle F_ {n} ^ {2} -F_ {n} + 1 = \ sol (2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ sağ) ^ {2} -2 ^ {2 ^ {n}} -1 + 1 = 2 ^ {2 ^ {n + 1}} + 2 ^ {2 ^ {n}} + 1}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} = 2 ^ {2 ^ {n + 1}} + 1 <F_ {n} ^ {2} -F_ {n} +1}$
Suite A051158 ait OEIS .
tarafından "Constante de Prévost" yanlışlıkla Named (tr) Gérard MICHON, " Sayısal Sabitler " üzerine Numericana ,2005, Marc Prévost'un bu konudaki makalesi "1977 civarında" değil, 1998'den.
Gelfond-Schneider teoremi daha sonra anlamak o bizi tanır $l m / ln n$ hatta aşkındır.
Ancak, bu iki sayıdan en az birinin irrasyonel ve hatta aşkın olduğunu biliyoruz, çünkü toplamları $2π$ ; $s = π + e$ ve $p = πe sayılarından$ birinin aşkın olduğunu da biliyoruz , çünkü $π$ ve $e$ , $X 2 - sX + p$ polinomunun kökleridir .
Ve hatta ( bkz. Schanuel'in Sanısı ) $π$ ve $e'nin$ ℚ- cebirsel olarak bağımsız olması .
Pozitif tamsayıların görüntüleri $ζ$ fonksiyonu tarafından bile $aşkındır$ .
Daha fazla ayrıntı için, “ Apéry teoremi ” makalesinin “Genellemeler” bölümüne bakın .
Gerçekten de rasyonel terimlerin sonlu toplamı rasyoneldir ( yukarıya bakınız ). Tarafından , tersine , bir akıl sayıda ikiz asal yakınsak tersleri dizi, o zaman sıfır olmayan terimlerin bir sonsuz içerir ve ikiz asal bir sonsuz nedenle varsa.

Referanslar

Bazı tarihçiler tahmin olduğunu Śulba-sutraları , 800 ve aralarında yazılmıştır zor güncel ilmi 200 MÖ. AD , o zamanlar Hindistan'daki mantıksızlığın bilgisine tanıklık edecekti ; onlar (iyiliği) V2 rasyonel yaklaşım olarak yorumlanabilir kare çapraz bir yapı dayanmaktadır ve bu yapı tam bkz olmadığını söz üzerine (in) Bibhutibhusan Datta , Sulba Of Science : Erken Hindu Geometrisinde Bir Çalışma ,1932( çevrimiçi okuyun ) , s. 195-202. Ancak diğerleri için bu, hem irrasyonelliğin gerçek anlamını hem de Śulba-Sūtras (tr) SG Dani, “Geometry in the Śulvasūtras” , CS Seshadri, Studies in the History of Indian Matematik , Hindustan Kitap Ajansı, col. "Matematik Kültürü ve Tarihi",2010( ISBN 978-93-86279-49-1 , çevrimiçi okuyun ) , s. 9-38.
Szabo 1978 , s. 25.
Szabó 2000 .
(içinde) Öklid ( Çev. Antik Yunancadan), Elementler ( çevrimiçi okuyun ) , Bölüm X, tanım 3.
Platon , Kanunlar [ baskıların ayrıntıları ] [ çevrimiçi okuyun ] , VII, 820 a - c.
Benoît Rittaud, " The Fabulous Destiny of √ 2 ", Gazette des mathématiciens , n o 107,ocak 2006, s. 28-37 ( çevrimiçi okuyun ).
(içinde) Kurt von Fritz , " Metapontumlu Hippasus tarafından ölçülemezliğin keşfi " , Ann. Matematik. , cilt. 46, n o 21945, s. 242-264 ( JSTOR 1969021 ).
(De) Oskar Becker , " Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente " , Quellen und Studien sur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik , b, cilt. 3,1936, s. 533-553.
(de) Árpád Szabó, “Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? » , J. Christianidis, Classics in the History of Greek Mathematics , Springer,2004, 461 s. ( ISBN 978-1-4020-2640-9 , çevrimiçi okuyun ) , s. 45-80.
(içinde) Thomas Heath , Aristoteles'te Matematik [ "Aristoteles'te Matematik"], Oxford,1949, 310 s. ( ISBN 978-1-317-38059-7 , çevrimiçi sunum ) , bölüm III, bölüm. 1 ("Köşegenin ölçülemezliği (kenarı olan bir karenin)").
Farklı olası yöntemlerin bir açıklaması için bakınız: Caveing 1998 .
" İrrasyonelliğin keşfiyle ilgili tek kesinlik, Cyrene'li Theodorus'un $\sqrt n'nin$ (n = 3, ..., 17 için ve tam bir kare değil) irrasyonel olduğunu kanıtlamış olmasıdır . » - (tr) Árpád Szabó (de) , Yunan Matematiğinin Başlangıcı , Springer ,1978, 358 s. ( ISBN 978-90-277-0819-9 , çevrimiçi okuyun ) , s. 35, alıntı (de) Walter Burkert , Weisheit und Wissenschaft ,1962, s. 439.
Hardy ve Wright 2007 , bölüm. 4.
(içinde) Victor Pambuccian, " Çift ve tekin aritmetiği " , Sembolik Mantığın Gözden Geçirilmesi , cilt. 9, n o 22016, s. 359-369 ( DOI 10.1017 / S1755020315000386 ).
J.-L. Périllié, Ölçülemez olanın keşfi ve sonsuzun vertigosu .16 Mayıs 2001Grenoble'da, s. 14 .
Burada gösterilen formda efsane eleştiriliyor. Ana anlatıcı Jamblique , tanıklığında hem geç hem de kesin değildir. Aşağıdaki referans şunu belirtir: “ Bu nedenle, Iamblichus gibi geç yazarlar Pisagor bilimi için iddialı iddialarda bulunduklarında […], şüphecilik için fırsatımız olur. » , bkz. (tr) Wilbur Richard Knorr , The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of the Theory of the Theory of the Theory of the Signance for the Önemi ve Önemi ve Erken Yunan Geometrisi için Öklid'in Evrimi , D. Reidel ,1975( çevrimiçi okuyun ) , s. 5.
J.-L. Perillié, op. cit. .
Paul Tannery, Yunan Geometrisi, tarihinin bize nasıl geldiği ve onun hakkında ne biliyoruz. , Paris, Gauthier-Villas ,1887( çevrimiçi okuyun ).
(in) Wilbur Knorr, " Modern matematiğin antik matematik üzerindeki etkisi " , matematik Tarihi İncelemesi , cilt. 7,2001, s. 121-135 ( çevrimiçi okuyun ).
Hans Freudenthal , “ Antik Çağda Matematiğin Temellerinde Bir Kriz Var mıydı? », Belçika Matematik Derneği Bülteni , cilt. 18,1966, s. 43-55 ( çevrimiçi okuyun ).
(içinde) John J. O'Connor ve Edmund F. Robertson , "Arap matematiği: unutulmuş parlaklık? " , MacTutor Matematik Tarihi arşivinde , University of St Andrews ,1999( çevrimiçi okuyun )..
(tr) Galina Matvievskaya , " Ortaçağ Doğu Matematiğinde Kuadratik İrrasyonellerin Teorisi " , Annals of the New York Bilimler Akademisi , cilt. 500 "Deferent'ten Equant'a: ES Kennedy Onuruna Yakın Doğu'nun Eski ve Ortaçağ Bilim Tarihi Üzerine Çalışmalar Bir Cilt " ,1987, s. 253-277 (254) ( DOI 10.1111 / j.1749-6632.1987.tb37206.x ).
(in) Jacques Sesiano, "İslami matematik" , Helaine Selin de, Matematik Kültürler karşısında: Sigara Batı Matematik Tarihçesi , Springer ,2000( ISBN 1-4020-0260-2 , çevrimiçi okuyun ) , s. 148.
(in) Mohammad K. Azarian , " al-al-Risāla muhītīyya: A Summary " , Missouri Journal of Mathematical Sciences , Cilt. 22, n o 22010, s. 64-85 ( çevrimiçi okuyun ).
Cousquer 1998 , s. 174.
D'Alembert, The Encyclopedia ( Wikisource'da okuyun ) , "Eşsiz".
D'Alembert, The Encyclopedia ( Wikisource'da okuyun ) , "Number".
" Euler nasıl hesaplandı ζ (2) ", Special Edition Tangente , n o 29,2007.
Jean-Pierre Demailly , “ Euler sabitinin sayısal hesaplaması üzerine ”, Gazette des matématiciens , cilt. 27,1985( çevrimiçi okuyun ).
(It) Pietro Cataldi , Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri ve regole da approssimarsi di sürekli al vero nelle radici de 'numeri non quadrati, con le neden ve icat edilen loro ,1613.
(tr) Eli Maor , E: Bir Sayının Öyküsü , Princeton University Press ,1994( ISBN 0-691-05854-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 192.
AM Legendre , Elements of geometri , Paris,1802( çevrimiçi okuyun ) , “Not IV. Çevrenin çapa ve karesine oranının irrasyonel sayılar olduğu gösterildiğinde ".
Ancak See, (in) Rolf Wallisser , "Biz irrasyonelliğin Lambert'in kanıtı $tt$ " Franz Halter-Koch ve Robert F. Tichy, içinde Cebirsel Sayılar Teorisi ve Diofant Analizi (Graz, 1998) , Berlin, Walter gruyer2000( çevrimiçi okuyun ) , s. 521-530.
Boniface 2002 .
(De) L. Kronecker, " Ueber den Zahlbegriff " , J. queen angew. Matematik. , cilt. 101,1887, s. 337-355 ( çevrimiçi okuyun ).
(içinde) David H. Bailey ve Richard Crandall, " On the Random Character of Fundamental Constant açılımları " , Experimental Mathematics , cilt. 10,2001, s. 175-190 ( çevrimiçi okuyun ).
.
(in) Steve Wozniak , " İmkansız Rüya: Bilgisayar e kişisel bilgisayarla 116000 Rehber " , Byte Dergisi ,Haziran 1981, s. 392 ( çevrimiçi okuyun , 12 Aralık 2017'de danışıldı ).
(in) , Xavier Gourdon ve Pascal Sébah " Euler sabiti: $y$ " üzerine Numaraları ve hesaplama sabiti (erişilen 2017 12 Aralık ) .
Hardy ve Wright 2007 , böl. 9.
Hardy ve Wright 2007 , böl. 10.
Hardy ve Wright 2007 , böl. 11.
(içinde) Yann Bugeaud Dağıtım modulo bir ve Diophantine yaklaşımı , Cambridge, Cambridge University Press , col. "Matematikte Cambridge Yolları" ( n o 193)2012( ISBN 978-0-521-11169-0 , DOI 10.1017 / CBO9781139017732 , zbMATH 1260.11001 ) , s. 246, teorem E.2.
(içinde) Daniel Duverney, " Hızlı Yakınsak Rasyonel Sayılar Dizisinin İrrasyonelliği " , J. Math. bilim Üniv. Tokyo , cilt. 8,2001, s. 275-316 ( çevrimiçi okuyun ).
(içinde) George Rhine ve Carlo Viola, " ζ (3) için grup yapısı " , Acta Arithmetica , cilt. 97, n o 3,2001, s. 269-293 ( çevrimiçi okuyun ).
(tr) Masaaki Amou, " Cebirsel sayılarla bazı aşkın ondalık kesirlere yaklaşım " , J. Theor Number , cilt. 37, n o 21991, s. 231-241 ( DOI 10.1016 / S0022-314X (05) 80039-3 ).
Xavier Gourdon, Matematik akılda: Analiz ,2008, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1994), 432 , s. ( ISBN 978-2-7298-3759-4 ) , böl. 4 (“Süitler ve seriler”), s. 275-276, Sayı n o 7.
Hardy ve Wright 2007 , böl. 23.
Niven 1961 , böl. 4, s. 52 .
Niven 1961 , böl. 5 (“ Trigonometrik ve Logaritmik Sayılar ”), s. 68 .
Xavier Gourdon, Matematik akılda , t. Analiz, Elips ,2008, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1994), 432 , s. ( ISBN 978-2-7298-3759-4 ) , “Baire teoremi ve uygulamaları”, s. 406.
Niven 1961 , böl. 4, § 3 (“Polinom denklemlerinin rasyonel kökleri”), s. 57-62 ; Eisenstein'ın kriterinin daha basit bir çeşididir .
(in) RS Underwood, " Bazı trigonometrik fonksiyonların mantıksızlığı üzerine " , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 28, n o 10,1921, s. 374-376 ( JSTOR 2972160 )ve (tr) RS Underwood, “ Belirli trigonometrik fonksiyonların mantıksızlığına ilişkin ek not ” , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 29, n o 9,1922, s. 346 ( JSTOR 2298729 ).
(in) [video] Mathologer , Bu Neyi Kanıtlıyor ? Şimdiye kadar icat en güzel görsel "küçültmek" delillerinden bazıları üzerinde YouTube , teoremi videosunun başında gösterilen yöntemleri 19'52 'dan kanıtlanmıştır.
(in) [video] Numberphile , e mantıksız olduğunun ispatını üzerinde YouTube .
Niven 1956 , böl. 2 (“ Basit mantıksızlıklar ”), s. 23-24 .
Pascal Boyer, Küçük sayılar ve uygulamaları , Calvage ve Mounet,2019, 648 s. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. ℤ'deki aritmetik, böl. 5 (“Gerçek sayılar”), s. 77.
(içinde) Catalin Badea , " Bir teorem, sonsuz serilerin ve uygulamaların irrasyonelliğidir " , Açta Arithmetica , cilt. 63,1993, s. 313-323
(içinde) Schwarz, W.: Bazı serilerin mantıksızlığı ve aşkınlığı üzerine açıklamalar. Matematik. Tarama. 20, 269-274 (1967)
(in) Solomon W. Golomb , " Fermat sayılarının karşılıklılarının toplamı ve ilgili irrasyonaliteler üzerine " , Canad. J. Matematik. , cilt. 15,1963, s. 475-478 ( çevrimiçi okuyun ).
Richard André-Jeannin, “ Belirli yinelenen dizilerin terslerinin toplamının mantıksızlığı ”, CR Acad. bilim Paris , ben Matematik., Cilt. 308,1989, s. 539-541 ( çevrimiçi okuyun ).
Görünüm (içinde) Eric W. Weisstein , MathWorld ve A079586 ( ondalık açılım ) ve A079587 ( devamlı kesir ) üzerinde " Karşılıklı Fibonacci Sabiti " .
Niven 1956 , böl. 2 (“ Basit mantıksızlıklar ”), s. 19-20 .

Şuna da bakın:

bibliyografya

: Bu makale için kaynak olarak kullanılan belge.

Matematiksel yönler

GH Hardy ve EM Wright ( François Sauvageot tarafından İngilizce'den çevrilmiştir , pref. Catherine Goldstein ), Sayılar teorisine giriş [“ Sayılar Teorisine Giriş ”] [ basımın ayrıntıları ], özellikle 4. bölümler (“İrrasyonel sayılar”), 9 (“Sayıların ondalık yazımı”), 10 (“Devamlı kesirler”) ve 11. (“İrrasyonellerin rasyonel sayılarla yaklaşıkları”).
(tr) Ivan Niven , İrrasyonel Sayılar , Cambridge University Press ,1956( çevrimiçi okuyun ).
(tr) Ivan Niven, Numbers: Rational and Irrational , The LW Singer Company, col. "Yeni Matematik Kütüphanesi",1961, 136 s. ( ISBN 978-0-88385-601-7 ).

Tarihsel yönler

Jacqueline Boniface, Analizin aritmetizasyonu hareketinde reel sayıların yapıları , Elipsler ,2002( ISBN 978-2-7298-1142-6 ).
Maurice Caveing , Yunan düşüncesinde matematiksel idealite tipinin kuruluşu , cilt. 3: Yunan Matematiğinde Öklid'e Kadar Mantıksızlık , Presses Universitaires du Septentrion ,1998, 343 s. ( ISBN 2-85939-539-3 , ihbar BNF n o FRBNF36971590 , çevrimiçi sunum ).
Éliane Cousquer, Sayıların muhteşem tarihi , Diderot multimedya, col . "Bilim bahçesi",1998, 259 s. ( ISBN 2-84352-114-9 ) , böl. 9 ("İrrasyonelden gerçeğe").
Édouard des Places , " Epinomis'in matematiksel geçişi (990 c 5-991 a 4) ve irrasyonel teorisi ", Revue des Études Grecques , t. 48, n o 228Ekim-Aralık 1935, s. 540-550 ( çevrimiçi okuyun )
Árpád Szabó (de) ( tercüme Michel Federspiel Almancadan), Yunan matematik şafak [ “ Entfaltung der grieschischen Mathematik ”], Vrin ,2000( 1 st ed. 1993), 367 , s. ( ISBN 2-7116-1279-1 , çevrimiçi okuyun ) , bölüm III, "Matematiksel mantıksızlık".

Dış bağlantı

(tr) Eric W. Weisstein , “ İrrasyonel Sayı ” , MathWorld'de