Eikonal denklem
Olarak geometrik optik , eikonal veya simgesel , denklem ortamda ışığın yolunu düzenleyen temel denklemidir. Snell-Descartes yasaları gibi diğer tüm yasaları göstermeye ve ışık ışınlarının yörüngelerini belirlemeye izin verir .
Homojen olmayan bir ortamda progresif elektromanyetik dalga
Sorunun konumu
Bir izotropik yerel doğrusal ortamda , ancak homojen olmayan, alanların spektral bileşenleri Maxwell denklemleri tarafından verilir ; serbest kaynaklar olmadan, tüm alanlar elektrik alanla aynı biçimde yazılabilir :
E→(r→,t)=EÖ→(r→)tecrübe(-ben(ωt-kÖS(r→))){\ displaystyle {\ vec {E}} \ sol ({\ vec {r}}, t \ sağ) = {\ vec {E_ {o}}} \ sol ({\ vec {r}} \ sağ) \ exp \ left (-i \ left (\ omega t-k_ {o} \, S ({\ vec {r}}) \ sağ) \ sağ)}
nerede .
kÖ=ωvs{\ displaystyle k_ {o} = {\ tfrac {\ omega} {c}}}
Belirli bir tek renkli alan için sonsuz sayıda olası çift vardır . Bundan böyle, yalnızca dalgaboyu ölçeğindeki en küçük varyasyon olacak şekilde dikkate alınır ; karşılık gelen işleve eşonal (veya ikonik) işlev denir ve sabit olan yüzeylerin dalga yüzeylerine karşılık geldiği not edilebilir .
(EÖ→,S){\ displaystyle ({\ vec {E_ {o}}}, S)}EÖ→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}λÖ{\ displaystyle \ lambda _ {o}}S{\ displaystyle S}S(r→){\ displaystyle S ({\ vec {r}})}
Geometrik optiğin temel yaklaşımı
Geometrik optiğin temel yaklaşımı, genliklerin, sabitlerin ve ortamın göreceli varyasyonlarının dalga boyu ölçeğinde çok zayıf olduğunu dikkate almaktan ibarettir :
εr{\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}μr{\ displaystyle \ mu _ {r}}
λÖ=2πkÖ{\ displaystyle \ lambda _ {o} = {\ frac {2 \ pi} {k_ {o}}}}.
Büyüklük derecelerinin analizi, Maxwell denklemlerinin her birinci üyesinde, içeren terimin baskın olduğunu ve diğerinin ihmal edilebilir olduğunu gösterir. Gerçekten bizde
kÖgr-dedS{\ displaystyle k_ {o} \, \ mathrm {grad} \, S}
∂benE→(r→,t)=(∂benE→0+benE→0k0∂benS)e-ben(ωt-k0S(r→)){\ displaystyle \ kısmi _ {i} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = (\ kısmi _ {i} {\ vec {E}} _ {0} + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ kısmi _ {i} S) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}}
∂ben2E→(r→,t)=(∂ben2E→0+2ben∂benE→0k0∂benS+benE→0k0∂ben2S-E→0k02(∂benS)2)e-ben(ωt-k0S(r→)){\ displaystyle \ kısmi _ {i} ^ {2} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = (\ kısmi _ {i} ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} + 2i \ kısmi _ {i} {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ partic _ {i} S + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0 } \ kısmi _ {i} ^ {2} S - {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} ^ {2} (\ kısmi _ {i} S) ^ {2}) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}}
∂t2E→(r→,t)=-ω2E→0(r→)e-ben(ωt-k0S(r→)){\ displaystyle \ kısmi _ {t} ^ {2} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = - \ omega ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r}}) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}}
Doğrusal, homojen ve izotropik bir malzeme ortamı için yayılma denklemine enjekte edildiğinde verir
ΔE→-εr1vs2∂2E→∂t2=0→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} - \ varepsilon _ {r} {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi ^ {2} {\ vec {E}} } {\ kısmi t ^ {2}}} = {\ vec {0}}}
denklem
ΔE→0+2benk0(∇→S.∇→)E→0+benE→0k0ΔS-E→0k02(∇→S)2+εrvs2ω2E→0(r→)=0→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} _ {0} + 2ik_ {0} ({\ vec {\ nabla}} S. {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}} _ { 0} + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ Delta S - {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} ^ {2} ({\ vec {\ nabla} } S) ^ {2} + {\ frac {\ varepsilon _ {r}} {c ^ {2}}} \ omega ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r }}) = {\ vec {0}}}
Biz gerçek ve hayali parçası ve kullanımını ayırmak nerede ve iki denklem elde etmek
λÖ=2πkÖ{\ displaystyle \ lambda _ {o} = {\ frac {2 \ pi} {k_ {o}}}}k0=ωvs{\ displaystyle k_ {0} = {\ frac {\ omega} {c}}}
λ2ΔE→0-E→0(∇→S)2+εrE→0(r→)=0→{\ displaystyle \ lambda ^ {2} \ Delta {\ vec {E}} _ {0} - {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {\ nabla}} S) ^ {2} + \ varepsilon _ {r} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r}}) = {\ vec {0}}}
2(∇→S.∇→)E→0+E→0k0ΔS=0→{\ displaystyle 2 ({\ vec {\ nabla}} S. {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}} _ {0} + {\ vec {E}} _ {0} k_ {0 } \ Delta S = {\ vec {0}}}
şimdi geometrik optiğin yaklaştırılması, ortamın varyasyonlarının ve dolayısıyla alanın genliğinin bir dalga boyu ölçeğinde zayıf olduğunu dikkate almaktan ibarettir, bu da terimin ihmal edilebilir
olduğu anlamına gelir.λ2ΔE→0{\ displaystyle \ lambda ^ {2} \ Delta {\ vec {E}} _ {0}}
(grad→S)2=εr=değil2{\ displaystyle \ sol ({\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} S \ sağ) ^ {2} = \ varepsilon _ {r} = n ^ {2}}
eikonal denklem denen ilişkidir, hala yazılır
grad→S=değilsen→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} S = n \, {\ vec {u}}}
burada bir birim vektörü gösterir .
sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}VS3{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}
Daha sonra geometrik optik dalga adı verilen bu tek renkli dalganın yapısını kolayca çıkarırız : alanlar çaprazdır:
BÖ→=grad→S×EÖ→vs{\ displaystyle {\ vec {B_ {o}}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, S \ times {\ frac {\ vec {E_ {o}}} {c}}}
Bu denklem, ne optik yoldan erişilmesine ne de açıkça izin verilmesini içerir .
EÖ→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}ω{\ displaystyle \ omega}
Bu dalganın yerel yapısı, dalgaboyu ölçeğinde fazı yazıldığından, ilerleyen bir düzlem dalgasına benzer.
φ=kÖS(r→)=kÖ[S(rÖ→)+grad→S⋅(r→-rÖ→)]≡kÖS(rÖ→)+değilkÖsen→⋅(r→-rÖ→){\ displaystyle \ varphi = k_ {o} \, S ({\ vec {r}}) = k_ {o} \ sol [S ({\ vec {r_ {o}}}) + {\ overrightarrow {\ operatöradı {grad}}} \, S \ cdot \ left ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {o}}} \ sağ) \ sağ] \ equiv k_ {o} \, S ({\ vec {r_ {o}}}) + nk_ {o} {\ vec {u}} \ cdot \ left ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {o}}} \ sağ)}
Dır-dir
φ≡k→⋅r→+φÖ{\ displaystyle \ varphi \ equiv {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} + \ varphi _ {o}}
geometrik optik dalgasının sadeliğini takip eder, gerçekleştirilen matematiksel manipülasyonlar ilerleyen monokromatik düzlem dalgaları ile aynıdır.
Notlar:
- eikonal denklem anizotropik ortamda geçerli kalır , dalgayı bir noktada normal gösterir ve yönü verildiğinde bu noktada olası iki indeksten biridir .sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}değil{\ displaystyle n}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
- elektrik alanı daha sonra genel olarak yazılırE→(r→,t)=AT→tecrübe(ben(k→⋅r→-ω0t)){\ displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = {\ vec {A}} \ exp \ sol (i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r) }} - \ omega _ {0} t) \ sağ)}AT→=E0→tecrübe(benφ0).{\ displaystyle {\ vec {A}} = {\ vec {E_ {0}}} \ exp (i \ varphi _ {0}).}
Enerjinin yayılması - Işık ışını kavramı
Deneysel nedenlerden dolayı, optikte sadece ortalama bir Poynting vektörü kullanılarak hesaplanan ortalama enerji akışı ile ilgileniyoruz . Işık ışınları, alanın çizgileri , yani ortalama olarak elektromanyetik enerjinin mevcut çizgileri olarak tanımlanır. Eğer , ya da eğer gerçek ama hayali saf, biz eğer dalga homojen olmayan (ya da yiten olduğunu söylemek ; bu durumda, ne paralel ne de karşı nerede , ne de düzleme ile - ama için onun yönünü sabit ayrıca bağlıdır . bu nedenle homojen olmayan dalganın polarizasyonu, ancak herhangi bir noktada gerçekse, dalganın homojen olduğu söylenir ve daha sonra geometrik optik mucizesinden bağımsız olarak paraleldir : parlak ışınlar alanın çizgileridir (veya ) ve dalga özelliklerine bağlı değildir ( ve ) Dizinin geri kalanı için, bunun her yerde gerçek olduğunu düşüneceğiz ; bunun ancak genel olarak, her durumda n < gerçekse başarılabileceğini gösteriyoruz .
⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}sen→∈VS3∖R3{\ displaystyle {\ vec {u}} \ in \ mathbb {C} ^ {3} \ smallsetminus \ mathbb {R} ^ {3}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}değil{\ displaystyle n}değil2∈R{\ displaystyle n ^ {2} \ in \ mathbb {R}}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}sen′→=Yeniden(sen→){\ displaystyle {\ vec {u '}} = \ operatöradı {Re} \ sol ({\ vec {u}} \ sağ)}v′→=Yeniden(v→){\ displaystyle {\ vec {v '}} = \ operatöradı {Re} \ sol ({\ vec {v}} \ sağ)}v→=değilsen→{\ displaystyle {\ vec {fi}} = n \, {\ vec {u}}}(sen→,w→){\ displaystyle \ sol ({\ vec {u}}, {\ vec {w}} \ sağ)}w→=Ben(sen→){\ displaystyle {\ vec {w}} = \ operatöradı {Im} \ sol ({\ vec {u}} \ sağ)}v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}EÖ→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}EÖ→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}EÖ→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}ω{\ displaystyle \ omega}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
Işık ışınlarının denklemi
Yarıçap eğrisel apsis ile parametrelendirilir , bu nedenle yarıçapın bir noktası vektör ile temsil edilir . Tanım olarak, yarıçapa teğettir:
s{\ displaystyle s}r→(s){\ displaystyle {\ vec {r}} (s)}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
dr→ds=sen→=∇→Sdeğil{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} = {\ vec {u}} = {\ frac {{\ vec {\ nabla}} S} {n}}}
Bir ışık ışınının genel denklemini bir indeks ortamında çıkarıyoruz :
değil(r→){\ displaystyle n ({\ vec {r}})}
dds(değildr→ds)=∇→değil{\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ sol (n {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} \ sağ) = {\ vec {\ nabla}} n}
Gösteri
dds(değildrbends)=dds(∂S∂rben) =∑jdrjds⋅∂∂rj(∂S∂rben) =∑j1değil∂S∂rj⋅∂∂rben(∂S∂rj) =1değil∑j12∂∂rben(∂S∂rj)2 =12değil∂∂rben∑j(∂S∂rj)2 =12değil∂değil2∂rben =∂değil∂rben{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {ds}} \ left (n {\ frac {dr_ {i}} {ds}} \ sağ) & = {\ frac {d} {ds} } \ left ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r_ {i}}} \ sağ) \\\ & = \ sum _ {j} {\ frac {dr_ {j}} {ds}} \ cdot {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r_ {j}}} \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r_ {i}}} \ sağ) \\\ & = \ toplam _ {j} {\ frac {1} {n}} {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r_ {j}}} \ cdot {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r_ {i}}} \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r_ {j}}} \ sağ) \\\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j} {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ kısmi} {\ kısmi r_ {i}}} \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r_ {j}}} \ sağ) ^ {2} \\\ & = {\ frac {1} {2n}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r_ {i}}} \ toplamı _ {j} \ left ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r_ {j}}} \ sağ) ^ {2} \\\ & = {\ frac {1} {2n}} {\ frac {\ kısmi n ^ {2}} {\ kısmi r_ {i}}} \\\ & = {\ frac {\ kısmi n} {\ kısmi r_ {i}}} \ uç {hizalı}}}
Bu denklem, ışığın izlediği yolu homojen bir ortamda (düz çizgi), ama aynı zamanda bir serap sırasında veya örneğin bir optik fiberde tanımlamayı mümkün kılar . Bir geçerken diyoptrinin , ıraksadığını, kullanımı daha sonra gerekli Snell-Descartes'ın yasaları .
∇→değil{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} n}
Işık ışınlarının özelliği
Fermat Prensibi (1650)
Eikonal denklemden, herhangi bir noktada optik geometrikte yalnızca bir dalganın (ve dolayısıyla tek bir ilişkili bölümün ...) olduğu durumda iki nokta ve sabit arasındaki optik yolun minimum olduğunu göstermek kolaydır . Çeşitli dalgaların ışınlarının kesişebildiği daha genel durumda , sadece durağandır (bu, Lagrange denklemleri kullanılarak kanıtlanacaktır). Öklid'in bir öğrencisi bu ilkeyi çok özel bir durumda zaten tahmin etmişti: Düz aynadaki bir yansıma.
L{\ displaystyle L}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}L{\ displaystyle L}
Acil sonuçlar
- Işık doğrusal yayılma: basit durumlarda, ile diyoptri veya aynalar homojen ortam ayrılmış, ışınları, bu nedenle durağanlığı bu araçlar, bu diyoptri (veya ayna), üzerinde bulunan noktalarda kırık çizgiler oluşacak herhangi yalnızca aranır bu sınırlı eğri sınıfı; O zaman yarıçap için, davaları bulabilirsiniz Bu sınıfa maksimum veya yalnızca durağan, ya da minimum - ama gelen giden tüm eğrilerin sette için sabit yarıçapı için maksimum (mutlak) olamaz.L{\ displaystyle L}L{\ displaystyle L}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}L{\ displaystyle L}
-
Ters dönüş yasası ... ancak kısmi yansıma örneği, Fermat ilkesinin , ışık akısının aralarında nasıl dağıtıldığını belirtmeden, yalnızca ışık için çeşitli olası yolları gösterdiğini açıkça göstermektedir !
Kanıt ( arabanın uç noktasını bularak veya teğet bileşeninin sürekliliği ile ) derhal Descartes'ın inşasına yol açar.
L=değil1ATben+değil2benB{\ displaystyle L = n_ {1} AI + n_ {2} IB}v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}geğirmek→v→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatöradı {rot}}} \, {\ vec {v}} = {\ vec {0}}}
Notlar ve referanslar
-
JP Pérez, Optik. Temelleri ve Uygulamaları , 5 inci baskı, Masson, Paris, 1996, sayfa 169.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">