Cayley teoremi
Grup teorisinde , Cayley'in teoremi , herhangi bir grubun bir permütasyon grubu , yani bir simetrik grubun bir alt grubu olarak gerçekleştirdiğini belirleyen temel bir sonuçtur :
Herhangi bir grup G olduğu izomorfik bir alt grubuna simetrik grubu S ( G arasında) permütasyon arasında G . Özellikle, eğer G sonlu bir n mertebesi grubu ise , S n'nin bir alt grubuna izomorfiktir .
Gösteri
Let G olmak bir grup ve g bu grubun bir elemanı. Biz ilk tanımlayan T g dan G için G sola için olarak:
∀x∈Gtg(x)=gx.{\ displaystyle \ forall x \ in G \ qquad t_ {g} (x) = gx.}
Çağrışımsallık grup yasanın eşdeğerdir:
(⋆)∀g,h∈Gtgh=tg∘th.{\ displaystyle (\ star) \ qquad \ forall g, h \ in G \ qquad t_ {gh} = t_ {g} \ circ t_ {h}.}
Biz özellikle anlamak t gr bir permütasyon (arasında karşılıklı bijection t gr -1 ), bir harita tanımlamasına olanak veren t gelen G için S ( G ) için:
∀g∈Gt(g)=tg.{\ displaystyle \ forall g \ içinde G \ qquad t (g) = t_ {g}.}
İlk göre izomorfizm teoremi , t nedenle arasında bir izomorfizm gerçekleştirir G ve alt grup Im ( t ) arasında S ( G ) .
Uyarılar
- Eğer G mertebesindedir n , grup S n Tam ortasında yer aldığı sıraya taşımaktadır n ! .
- Teorem, herhangi bir grubun kendi kendine sadakatle hareket ettiği söylenerek yeniden formüle edilmiştir . İnşa ettiğimiz eylem aslında basitçe geçişlidir .
Kullanımlar
Tarihi
Teorem genellikle Arthur Cayley'e atfedilir ve 1854 tarihli. Bununla birlikte, bazen onu formüle eden ve 1870'teki bir incelemede daha açık bir şekilde kanıtlayan Camille Jordan'a da atfedilir : permütasyonlar t g "düzenli" dir, yani , g ≠ e için , t g'nin sabit bir noktası yoktur ve üretildiği ayrık döngülerin tümü aynı uzunluktadır.
Notlar ve referanslar
-
(içinde) Arthur Cayley, " Gruplar teorisi üzerine, n = 1 sembolik denkleme BAĞLI olarak " , Philos. Mag. , cilt. 7, n, o , 4,1854, s. 40-47.
-
Örneğin içinde (in) William Burnside , Sonlu Düzenin Grupları Teorisi , Cambridge,2004( 1 st ed. 1911) ( ISBN 978-0-486-49575-0 , çevrimiçi okuma ) , s. 22.
-
Camille Ürdün , değiştirmeler ve cebirsel denklemler üzerinde Treatise , Paris, Gauther-Villars,
1870( çevrimiçi okuyun ) , s. 60-61.
-
girişinden teoremin babalık Bu ifadeler
(in) Eric Nummela , " Topolojik Grupları için Cayley Teoremi " , Amer. Matematik. Ay. , cilt. 87, n o 3,1980, s. 202-203 ( JSTOR 2321608 ).
İlgili makale
Yoneda lemma
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">