Bernstein yaklaşımı
Olarak analiz , Bernstein yaklaşımı için bir yöntemdir yaklaşım polinom yaklaşan, eşit bir sürekli fonksiyon f tanımlanan segmentin bir dizi kriteri: [0, 1] doğrusal kombinasyonları arasında Bernstein polinomlarının . Bu kanıt yapıcı bir şekilde teorem Weierstrass yaklaşımı , Sergei Natanovich Bernstein'dan kaynaklanmaktadır .
Tanım
N- inci yaklaşım f polinom
Pdeğil(f)=∑k=0değilf(kdeğil)Bkdeğil,{\ displaystyle P_ {n} (f) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {n} f \ sol ({\ frac {k} {n}} \ sağ) B_ {k} ^ {n},}Bernstein polinomları nerede :
Bkdeğil{\ displaystyle B_ {k} ^ {n}}
Bkdeğil(x)=(değilk)xk(1-x)değil-k.{\ displaystyle B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ k} x ^ {k} (1-x) ^ {nk} 'yi seçin.}Bu nedenle, yapı P , n ( f ) değerlerinden f noktaları 0, en 1 / n , ..., ( n- 1 -) / n ve 1 derece, fakat, bu noktalarda, değeri P , n ( f ) olabilir bu farklı f , diğer bir deyişle: elde edilen yaklaşım bir değil interpolasyon .
Düzgün yakınsama ve P N ( f ) doğru f , aşağıdaki gibi bu nedenle ifade edilmektedir:
∀ε>0∃DEĞİL∀değil≥DEĞİL∀x∈[0,1]|f(x)-Pdeğil(f)(x)|≤ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ var N \ quad \ forall n \ geq N \ quad \ forall x \ [0,1] \ qquad | f (x) -P_ {n} (f) ( x) | \ leq \ varepsilon.}
Eğer Not bu X, a, rastgele değişkenin bir Aşağıdaki binom dağılımı parametreleri ( n , x ) , o zaman P , n ( f ) ( x ) başka bir şey olduğu beklenti arasında f ( x / n ) , bu ortalama demek ki f x olasılığının n bağımsız deneyinin başarı sayısına uygulanır . Basit yakınsama ait P n ( f ) doğru f sonra hemen bir sonucudur çok sayıda zayıf yasa . X ⁄ n ve x arasındaki farkın olasılığını artırarak , düzgün yakınsamayı çıkarırız.
Gösteri
Lineer operatörler p , n C ([0, 1]) olduğu ilgili pozitif (en) , bu göre, yeterli Korovkin uyumlaştırmaktır teoremi üç için tümleşik doğrulamak için, monomial fonksiyonları f 0 ( x = 1) , f 1 ( x ) = x ve f 2 ( x ) = x 2 .
Şimdi P n ( f 0 ) = f 0 , P n ( f 1 ) = f 1 ve P n ( f 2 ) = f 2 + ( f 1 - f 2 ) / n , bu sonuca varır.
Yakınsama hızı
Let olmak f sürekli bir fonksiyonu ; [1, 0] , ve olmak Q süreklilik modülü arasında f . Yani eşitsizliğe sahibiz:
‖f-Pdeğil(f)‖∞≤94ω(değil-1/2){\ displaystyle \ | f-P_ {n} (f) \ | _ {\ infty} \ leq {\ frac {9} {4}} \; \ omega \ sol (n ^ {- 1/2} \ sağ )}Nerede temsil "sonsuz" standardı .
‖⋅‖∞{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}
Gösteri
Let δ > 0 ve x ∈ [0, 1] . Let k ∈ {0, ..., n } . K için iki olası durum vardır :
- Evet .|x-k/değil|≤δ{\ displaystyle | xk / n | \ leq \ delta}
Bu durumda . B'den beri|f(x)-f(k/değil)|≤ω(δ){\ Displaystyle | f (x) -f (k / n) | \ leq \ omega (\ delta)}n
k( y ) ≥ 0 , tümü için y ∈ [0; 1] , bizde:
|∑k=0,|x-k/değil|≤δdeğil(f(x)-f(k/değil))Bkdeğil(x)|≤ω(δ)∑k=0değilBkdeğil(x)=ω(δ){\ displaystyle \ sol | \ toplamı _ {k = 0, | xk / n | \ leq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} ( x) \ right | \ leq \ omega (\ delta) \ sum _ {k = 0} ^ {n} B_ {k} ^ {n} (x) = \ omega (\ delta)}- Evet .|x-k/değil|≥δ{\ displaystyle | xk / n | \ geq \ delta}
Ya . Y j = x + olarak ayarladıkM=⌊|x-k/değil|δ⌋{\ displaystyle M = \ sol \ lfloor {\ frac {| xk / n |} {\ delta}} \ sağ \ rfloor}j/M +1için j ∈ {0, ..., M + 1} . O zaman j ∈ {0, ..., M } için | y j +1 - y j | < δ . Yani :
|f(x)-f(k/değil)|≤∑j=0M+1|f(yj+1)-f(yj)|≤(M+1)ω(δ)≤ω(δ)(1+1δ|x-kdeğil|)≤ω(δ)(1+1δ2(x-kdeğil)2){\ displaystyle | f (x) -f (k / n) | \ leq \ toplamı _ {j = 0} ^ {M + 1} | f (y_ {j + 1}) - f (y_ {j}) | \ leq (M + 1) \ omega (\ delta) \ leq \ omega (\ delta) \ left (1 + {\ frac {1} {\ delta}} \ left | x - {\ frac {k} { n}} \ right | \ right) \ leq \ omega (\ delta) \ left (1 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (x - {\ frac {k} {n }} \ sağ) ^ {2} \ sağ)}Böylece, tüm x ∈ [0; 1] için şunu yazabiliriz:
|f(x)-Pdeğil(f)(x)|≤|∑k=0,|x-k/değil|≤δdeğil(f(x)-f(k/değil))Bkdeğil(x)|+|∑k=0,|x-k/değil|≥δdeğil(f(x)-f(k/değil))Bkdeğil(x)|≤ω(δ)+|∑k=0,|x-k/değil|≥δdeğilω(δ)(1+1δ2(x-kdeğil)2)Bkdeğil(x)|≤ω(δ)(2+1δ2∑k=0,|x-k/değil|≥δdeğil(x-kdeğil)2Bkdeğil(x))≤ω(δ)(2+x(1-x)değilδ2)≤ω(δ)(2+14değilδ2){\ displaystyle {\ başlar {hizalı} | f (x) -P_ {n} (f) (x) | & \ leq \ sol | \ toplamı _ {k = 0, | xk / n | \ leq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} (x) \ sağ | + \ sol | \ toplamı _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} (x) \ right | \\\ quad & \ leq \ omega (\ delta) + \ left | \ toplam _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} \ omega (\ delta) \ left (1 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (x - {\ frac {k} {n}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) B_ {k} ^ {n} (x) \ sağ | \ leq \ omega (\ delta) \ left (2 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} \ left (x - {\ frac {k} { n}} \ sağ) ^ {2} B_ {k} ^ {n} (x) \ sağ) \\\ quad & \ leq \ omega (\ delta) \ left (2 + {\ frac {x (1- x)} {n \ delta ^ {2}}} \ right) \ leq \ omega (\ delta) \ left (2 + {\ frac {1} {4n \ delta ^ {2}}} \ right) \ end {hizalı}}}Son olarak, δ = 1 / √ n seçilmesi , sonuca varmamızı sağlar.
Bu sonuç, muhtemel fonksiyonu doğru Bernstein polinomlarının dizisinin yakınsama belli bir hızı sağlamak için yapar f süreklilik modülünün bir fonksiyonu olarak, f .
Referans
-
"Olasılıkların hesaplanmasına dayalı Weierstrass 'teoremi kanıtı" , Comm. Soc. Matematik. Kharkov Ser. 2 , cilt. 13, 1912.
-
(in) Francesco Altomare, " Pozitif Doğrusal Operatörlerle Korovkin Sapma Teoremleri ve Yaklaşıklığı " , Yaklaşım Teorisinde Anketler , cilt. 5,2010, s. 92-164 ( arXiv 1009,2601 ), Teorem 3.6.
-
(in) Michelle Schatzman , Sayısal analiz: matematiksel bir giriş , Oxford University Press, 2002, Teorem 5.3.2
İlgili Makaleler
-
Bernstein teoremi (yaklaşım teorisi) (fr)
-
Eşitsiz Jackson (tr)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">