In matematik , bir sihirli kare düzenin n oluşur n 2 katı pozitif tamsayılar bir kare dizi şeklinde yazılmıştır. Bu sayılar, her satırdaki, her sütundaki ve her ana köşegendeki toplamları eşit olacak şekilde düzenlenmiştir. Bu toplamların değeri daha sonra sihirli bir sabit (ve bazen yoğunluk ) olarak adlandırılır.
Bir Normal sihirli kare 1'den tüm tamsayılar oluşan bir sihirli kare özel bir durumdur n 2 , nerede n karenin sırasıdır.
Sihirli kareler Çinli matematikçiler tarafından MÖ 650'den beri biliniyordu . AD muhtemelen etrafında ve Arap matematikçiler, VII inci Arap orduları kuzeybatısına fethetti yüzyılda Hindistan'ın bazı yönlerini dahil Hintli matematikçiler, öğrenme, kombinatorik . 5 ve 6. derecelerin ilk sihirli kareleri, 983 civarında Bağdat'ta yayınlanan bir ansiklopedide , Saflık Kardeşliği Ansiklopedisi'nde ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ) ortaya çıktı. Daha basit sihirli kareler daha önceki birkaç Arap matematikçi tarafından biliniyordu. Bu karelerden bazıları Arap illüzyonistleri ve sihirbazlar tarafından "sihirli harfler" ile birlikte kullanılmıştır .
Araplar ilk olacağını X inci tamamen matematiksel amaçlarla kullanımına yüzyıl. Ahmed el-Buni , 1250 civarında onlara büyülü özellikler atfeder .
Çin'de farklı sembollerle temsil edildiler (örneğin Xi'an karesinde olduğu gibi), daha sonra Arap rakamlarının icat edildiği Hindistan'da sayılarla sembolize edildiler . Asya ve Avrupa'daki birçok medeniyette genellikle dini bir çağrışımla bulunurlar.
1510'da Alman filozof Cornelius Agrippa (1486-1535), sihirli karelerden tekrar bahsetti, her zaman dini bir çağrışımla, astroloji ve sihirli kareleri birleştiren bir teori sunduğu De Occulta Philosophia adlı bir tez yazdı . Marsile Ficino ve Jean Pic de la Mirandole'nin yazılarına dayanarak , her biri astrolojik gezegenlerden biriyle ilişkili olan, 3'ten 9'a kadar olan yedi sihirli karenin özelliklerini açıklıyor . Bu eser, Karşı Reform'a kadar Avrupa'da belirgin bir etkiye sahipti . Jérôme Cardan ( Practica aritmetica et mensurandi singulari , 1539) ardından Athanasius Kircher ( Oedipus Ægyptiacus , 1653), gezegenlerin aritmetik ve kozmik düzeni arasında aynı analojiyi sürdürür. Agrippa'nın sihirli kareleri, onun öngördüğü şekilde modern büyü törenlerinde kullanılmaya devam ediyor.
Simon de La Loubère , Fransız diplomat ve matematikçi, 1691'de Siam Krallığı'ndan yayınlandı . Fransız dilinde ilk kez "sihirli kare" terimini tanıtıyor ve "Siyam yöntemi" olarak bilinen ve rastgele tek sıralı kareler oluşturmaya izin veren yeni bir yapım yöntemini ortaya koyuyor.
In XVII inci yüzyıl, Fransız hukukçu ve matematikçi Pierre de Fermat sihirli kare ilkesini uzanır sihirli küp . Bernard Frénicle de Bessy , sihirli kareler (1640'larda yazılmış, ancak ölümünden sonra 1693'te yayınlanmıştır) üzerine bir inceleme ve 4. dereceden tüm kareler için tablolar yazdı.
n ≥ 1 düzeyindeki herhangi bir kare için sihirli düzenlemeler vardır. 1. dereceden kare önemsizdir, tek kutuda belirtilen herhangi bir sayı kurallara uygundur. İkinci dereceden kare de önemsizdir, çünkü sadece dört kutunun hepsinde aynı sayıyı tekrarlamak mümkündür. Önemsiz olmayan en küçük durum, 3. dereceden karedir.
3. dereceden herhangi bir sihirli kare, dolaşan bir matris ve bir ters dönen matrisin toplamı olarak yazılır . Bu ayrışma benzersiz değildir ve artık daha yüksek boyutlarda gerçekleşmez.
Normal bir sihirli karenin sihirli sabiti yalnızca n'ye bağlıdır ve şuna eşittir: n ( n 2 + 1) / 2. n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… mertebesinin bir fonksiyonu olarak şu şekildedir: 15, 34, 65, 111, 175, 260…. Dönmeler ve yansımalar hariç tutulduğunda, 1 ile 5 arasındaki boyutlar için normal sihirli karelerin sayısı şu şekilde verilir: 1, 0, 1, 880, 275 305 224. 1999'da daha yüksek boyutlar için sihirli karelerin sayısı bilinmiyordu ve muhtemelen hala sipariş 6 sihirli kare için, sayı yaklaşık 0.17 × 10 olduğunu 2004 tahmini bilgi, PInn ve Wieczerkowski için 2016 yılında ise 20 veya 10 milyardan fazla milyar dolar.
Belirli sihirli karelerin sayılarını artan düzende birleştirirsek, merkezi bir simetri sunan bir şekil elde ederiz (yandaki resme bakın). Bu özellik, genel durumda yanlıştır.
Aynı sıradaki iki sihirli karenin toplamı da sihirli kareler verir, ancak sonuç normal değildir, yani sayılar 1, 2, 3 dizisini oluşturmuyor ... Ayrıca, aynı iki sihirli karenin farkı sipariş ayrıca sihirli bir kare verir, ancak bu normal değildir.
İki sihirli karenin "ürün"ü, iki çarpandan daha yüksek bir sihirli kare oluşturur. Bu ürün de yapılır. Sihirli kareler M ve N şöyle olsun:
Sihirli karelerin çarpımı, daha büyük boyutlarda sihirli kareler üretmeyi mümkün kılar. Bu teknik, doğrudan yöntemlerden (örneğin La Loubère veya Strachey'inkiler) herhangi birini kullanarak inşa etmekten daha hızlı büyük kareler üretir.
1976'da Benson ve Jacoby, hem çift sıralı hem de tek sıralı sihirli kareler için geçerli olan bir yöntem yayınladı. Ancak uygulanması diğer “uzmanlaşmış” yöntemlere göre daha zordur. Bu sebeple bu yazıda anlatılmayacaktır.
Tek sıralı kareler ve çift sıralı kareler oluşturmak için birkaç doğrudan yöntem vardır. Dolaylı inşaat yöntemleri arasında en az üç tane vardır. Sihirli karelerin çarpımı bunlardan biridir ( İşlemler bölümüne bakın ). Sihirli bir kare zaten oluşturulmuşsa, sütunlarının ve satırlarının permütasyonlarıyla başkalarını türetmek mümkündür. Son olarak, önceden oluşturulmuş bir sihirli kareyi “kenarlaştırarak” bir tane oluşturmak mümkündür: bu, etrafı çevrili sihirli karedir.
Gelen XIX inci yüzyılın Edward Lucas ile sipariş 3. sihirli kareler için bir formül bulmuş bir , b ve c arasında tamsayılar :
c + bir | taksi | c + b |
c - bir + b | vs | c + a - b |
c - b | c + bir + b | o |
Bu 9 sayı, 0 < a < b < c - a ve b ≠ 2 a ise sihirli bir kare oluşturan tam ve farklı olacaktır . Ayrıca, herhangi bir 3 × 3 kare farklı pozitif tamsayı bu forma sahiptir. Sihirli kare 3 normal düzeni için karşılık gelir , bir = 1, b = 3, c = 5'e Kuberakolam (en) (eski sihirli kare Hint ) her iki durumda karşılık gelir içinde 19 ilave edilerek şöyle bir , = 1 b = 3, c = 24.
Mazgallı dama tahtası yöntemiBu yapım yöntemi, 1612 yılında Claude-Gaspard Bachet de Méziriac tarafından Sayılarla Yapılan Keyifli ve Lezzetli Problemler kitabında yayınlandı . Mazgallı bir dama tahtasına dayanmaktadır.
Örneğin, 5. kenarın sihirli karesi için:
Siyam yöntemiSiyam yöntem Fransa'da tanıtıldı Simon de La Loubère o onun büyükelçiliğinden dönerken 1688 yılında Siam .
La Loubère tarafından ortaya konan yöntem genelleştirilebilir. Kartezyen bir düzlemde hareket ettiğimizi varsayalım . Yukarıdaki şekilde çapraz olarak sağa ve yukarı gitmek, çevirmeyi (1, 1) yapmakla eşdeğerdir . Bir çarpışma olduğunda, yani bir sonraki kare işgal edildiğinde, bir öteleme (0, –1) vardır. Philippe de La Hire , N dereceli bir karenin sihirli olduğu koşulları belirledi. “Yer değiştirme” vektörünün (C, L) ve “çarpışma” vektörünün (C + c, L + l) koordinatları aşağıdaki koşullara uymalıdır:
Ayrıca, bu şekilde inşa edilen kare şu durumlarda şeytanidir:
Örneğin, Bizans Manuel Moschopoulos tarafından önerilen ve " satranç atlama kursu " olarak adlandırılan yapım yöntemi , yer değiştirme vektörü (1, 2) ve çarpışma vektörü (1 + 1, 2 - 2) = (2, 0) ile temsil edilir. .
eşkenar dörtgen yöntemiTek sayılar , karenin "merkezinde" bir elmas oluşturacak şekilde yazılmıştır , bu nedenle John Horton Conway tarafından yayınlanan yöntemin adı .
Hesaplama yöntemimatris olsun
devrik olsun
Yani
Yani
Yani sihirli kare
Matrisin her bir elemanı için :
Endeksleri olsun ve farklı için , yani
Çift sıralı sihirli kareler oluşturmak daha zordur. Bazı yöntemler şunları oluşturmanıza izin verir:
Gerardin'e göre Strachey'in yöntemi en genel olanıdır. Öte yandan, halihazırda oluşturulmuş sihirli karelere dayanmaktadır ve 4. dereceden sihirli kareler oluşturmak için kullanılamaz. Buna ek olarak, Benjamin Franklin'in yöntemi çoklu özelliklere sahip sihirli kareler oluşturur. Bu nedenlerle, bu bölümde çeşitli yöntemler sunulacaktır. Birlikte, eşit düzende herhangi bir kare oluşturmayı mümkün kılarlar.
köşegenler etrafında permütasyon yöntemiBu yöntem çift çift sıralı (4, 8, 12 ...) kareler oluşturmak için kullanılır. Bu karelerin "kolaylıkla kesilip tekrar yarıya indirilebildiği" gözlemine dayanır , bu nedenle "geometrik simetri özelliklerine" sahiptirler :
İlk olarak Ralph Strachey tarafından yayınlanan ve daha sonra William H. Benson ve Oswald Jacoby tarafından "zarif bir formda" sunulan bu yöntem, çift sıralı sihirli kareler oluşturmaya izin verir, ancak tüm sıralı kareleri oluşturmaya izin vermez. Ancak, bu şekilde oluşturulan sihirli karelerin sayısı çok fazladır. Örneğin, 5. dereceden sihirli karelerin sayısı 275 305 224'tür ve Strachey'in yöntemi, bu sihirli karelerin her birinden en az 10. dereceden bir sihirli kare oluşturmaya izin verir.
Son dama tahtası çift sıralı olduğundan, her zaman A, B, A 've B' olarak adlandırdığımız dört alt kontrole bölünebilir. Sihirli karenin sırası N olsun.
N tek bir çift iseGeleneksel olarak, sihirli bir kareyi döndürmek veya yansıtmak yeni bir kare oluşturmaz. Öte yandan, "sihirli bir karenin iki sütununu ve iki sırasını (merkeze göre simetrik olarak yerleştirilmiş) değiştirerek, yeni bir sihirli kare elde ederiz, ilk karenin bir şekilde kuzeni" . Sütunların ve satırların bu permütasyon yöntemi, hem çift hem de tek sıralı kareler için geçerlidir.
Normal olmayan sihirli bir kareyi bir çevre ile, yani bir dizi kare ile çevreleyerek, normal bir sihirli kare oluşturmak mümkündür . Bu yöntem Frénicle'den kaynaklanmaktadır . Açıklama amacıyla, belirli büyüklükteki iki sihirli kareyle çalışacağız, ancak yöntemin genelleştirilmesi nispeten kolaydır:
n>2 mertebesinde sihirli bir kare oluşturmak için önerilen yöntem, tek sıralı olduğu kadar çift sıralı kareler için de uygundur. Aynı düzende lineer olarak bağımsız üç sihirli kare A , B ve C oluşturmaktan ibarettir . Karenin yapısı sıranın tek mi, 4'ün çift katı mı yoksa 4'ün çift katı mı olduğuna bağlıdır. B karesi hala -90 ° kare A'nın dönüşüdür . Kare C , tüm kutularında 1 tamsayısını içeren önemsiz bir karedir.
Ortaya çıkan sihirli kare daha sonra t A + r B + a C biçimindedir ; burada t , r ve a gerçek sayılardır. Böyle bir kare aritmetiktir ve 4'ün tek veya çift sıra katı için ilişkiseldir.
16 | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
Bu sihirli kare, onu gravür Melencolia'ya dahil eden Alman ressam Albrecht Dürer tarafından biliniyordu . Yatay, dikey veya çapraz olarak alındığında, dikkate alınan sayıların toplamı 34 ve dört merkezi kutuda veya dört köşe kutusunda görünen dört sayının toplamı olacak şekilde birleştirilir. Dürer'in karesinde 34 sayısını bulmak için çok sayıda olasılık var. O halde dört köşeyi alın, her kutuyu doğrudan bir köşeyi saat yönünde takip ederek tekrar deneyin. Hepsini bulmak biraz zaman alıyor. Dürer, alt sıradaki iki orta kutuya eserinin tarihini (1514) dahil etmeyi de başardı.
Passion cephe Sagrada Familia, bazilika içinde Barcelona tarafından heykel sipariş 4'ün sihirli kare gösterir Josep Maria Subirachs . Sihir sabiti 33'tür, İsa'nın öldüğü yaştır . Kare, sayının 1 azaltıldığı dört hücre dışında, Dürer'inkine benzer.
1 | 14 | 14 | 4 |
11 | 7 | 6 | 9 |
8 | 10 | 10 | 5 |
13 | 2 | 3 | 15 |
Ancak, iki sayının (10 ve 14) iki kez kullanıldığı ve diğer iki sayının (12 ve 16) eksik olduğu sihirli karenin olağan kurallarına uymaz.
17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
Bu sihirli kare "yarı şeytani" çünkü soldan sağa giden tüm kırık köşegenlerde 65 toplamı bulunur. Örnek: 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Sağdan sola giden kırık köşegenlerin sihirli toplamı aynı olsaydı, karenin "şeytani" olduğu söylenirdi. Ayrıca birçoğu var.
6 | 32 | 3 | 34 | 35 | 1 |
7 | 11 | 27 | 28 | 8 | 30 |
19 | 14 | 16 | 15 | 23 | 24 |
18 | 20 | 22 | 21 | 17 | 13 |
25 | 29 | 10 | 9 | 26 | 12 |
36 | 5 | 33 | 4 | 2 | 31 |
6. sıra, sihirli karelerin olduğu en küçük tuhaf çift sıradır. Yukarıda temsil edilen "Güneşin" karesi böyle sihirli bir karedir: özellikle (hatayla) Aumont Dükü tarafından Louis XIV'e sunulan bir madalyada ortaya çıktı . Bu karede, iki köşegenin her biri, biri için adım 5 (6'dan 31'e sıra) ve diğeri için 7'den (1'den 36'ya kadar sıra) aritmetik bir ilerleme izler. 2020'de Roland Coquard, herhangi bir eşit tek sıra için (2'den başka) normal sihirli kareler oluşturmaya izin veren ve 6. sıra için Güneş'in karesini döndüren bir yöntem önerdi. 6. dereceden sihirli kareler, tüm sayıların toplamı 1 + 2 +… + 36 = 666'dır .
52 | 61 | 4 | 13 | 20 | 29 | 36 | 45 |
14 | 3 | 62 | 51 | 46 | 35 | 30 | 19 |
53 | 60 | 5 | 12 | 21 | 28 | 37 | 44 |
11 | 6 | 59 | 54 | 43 | 38 | 27 | 22 |
55 | 58 | 7 | 10 | 23 | 26 | 39 | 42 |
9 | 8 | 57 | 56 | 41 | 40 | 25 | 24 |
50 | 63 | 2 | 15 | 18 | 31 | 34 | 47 |
16 | 1 | 64 | 49 | 48 | 33 | 32 | 17 |
Benjamin Franklin tarafından yayınlanan 8. dereceden bu sihirli karenin birkaç özelliği var. Aynı satırın karelerinin toplamı 260, ilk dört kutunun toplamı 130'dur. Sol sütundan başlayıp ilk dört sütunu geçerek 45 ° 'lik bir çizgi, daha sonra sağdaki sütuna iner, Toplam 260 için sekiz sayı bulun, bu sayı uç kutuların ve dört merkezi kutunun sayıları toplanarak bulunur. Şeklin tamamını oluşturacak şekilde yan yana dizilmiş 16 karenin sayılarının toplamı 130'dur; bu sayı, merkezden eşit uzaklıkta bulunan dört karenin rakamları toplanarak bulunur. Satranç binicisinin hareket kurallarına göre kareden kareye geçerek 8. dereceden sihirli bir kare yapmak da mümkündür.
1 | 8 | 53 | 52 | 45 | 44 | 25 | 32 |
64 | 57 | 12 | 13 | 20 | 21 | 40 | 33 |
2 | 7 | 54 | 51 | 46 | 43 | 26 | 31 |
63 | 58 | 11 | 14 | 19 | 22 | 39 | 34 |
3 | 6 | 55 | 50 | 47 | 42 | 27 | 30 |
62 | 59 | 10 | 15 | 18 | 23 | 38 | 35 |
4 | 5 | 56 | 49 | 48 | 41 | 28 | 29 |
61 | 60 | 9 | 16 | 17 | 24 | 37 | 36 |
General Cazalas tarafından yayınlanan 8. dereceden bu sihirli kare şeytani bir karedir çünkü kırık köşegenler karakteristik toplamı verir: 260. Ayrıca, ikiden ikinin her bir alt karesinin toplamı 130'a sahiptir, bu da onu kare "Hiper" yapar. -büyü".
60 | 6 | 11 | 53 | 44 | 22 | 27 | 37 |
13 | 51 | 62 | 4 | 29 | 35 | 46 | 20 |
54 | 12 | 5 | 59 | 38 | 28 | 21 | 43 |
3 | 61 | 52 | 14 | 19 | 45 | 36 | 30 |
58 | 8 | 9 | 55 | 42 | 24 | 25 | 39 |
15 | 49 | 64 | 2 | 31 | 33 | 48 | 18 |
56 | 10 | 7 | 57 | 40 | 26 | 23 | 41 |
1 | 63 | 50 | 16 | 17 | 47 | 34 | 32 |
Willem Barink tarafından yayınlanan bu 8. dereceden panmagic kare (neredeyse) akla gelebilecek tüm panmagic özelliklerini sunar. Ayrıca karenin 4 çeyreği panmajik karelerdir. Kısmi köşegenler ve açık çizgi köşegenleri (çapları azalan) toplam 260'a sahiptir: 18 + 25 + 45 + 38 + 59 + 52 + 8 + 15. Ayrıca, ardışık sayı çiftleri için sadece iki toplam vardır. yatay doğrularda ( 66, 64) ve dikey çizgiler (73, 57).
138 | 8 | 17 | 127 | 114 | 32 | 41 | 103 | 90 | 56 | 65 | 79 |
19 | 125 | 140 | 6 | 43 | 101 | 116 | 30 | 67 | 77 | 92 | 54 |
128 | 18 | 7 | 137 | 104 | 42 | 31 | 113 | 80 | 66 | 55 | 89 |
5 | 139 | 126 | 20 | 29 | 115 | 102 | 44 | 53 | 91 | 78 | 68 |
136 | 10 | 15 | 129 | 112 | 34 | 39 | 105 | 88 | 58 | 63 | 81 |
21 | 123 | 142 | 4 | 45 | 99 | 118 | 28 | 69 | 75 | 94 | 52 |
130 | 16 | 9 | 135 | 106 | 40 | 33 | 111 | 82 | 64 | 57 | 87 |
3 | 141 | 124 | 22 | 27 | 117 | 100 | 46 | 51 | 93 | 76 | 70 |
134 | 12 | 13 | 131 | 110 | 36 | 37 | 107 | 86 | 60 | 61 | 83 |
23 | 121 | 144 | 2 | 47 | 97 | 120 | 26 | 71 | 73 | 96 | 50 |
132 | 14 | 11 | 133 | 108 | 38 | 35 | 109 | 84 | 62 | 59 | 85 |
1 | 143 | 122 | 24 | 25 | 119 | 98 | 48 | 49 | 95 | 74 | 72 |
Willem Barink tarafından yayınlanan bu 12. dereceden panmagic kare (870 sabiti), Frankline köşegenleri hariç, akla gelebilecek tüm panmagic özellikleri içerir . Kare 9 adet 4×4 panmagic kareden oluşur. Bir satırdaki tek bir hücreden başlayarak, ardışık 4 sayının toplamı 290'dır (= satır toplamının 1/3'ü). 1, 2, 3, 4 ... 144 sayılarının yerleştirilmesine bağlı olarak, simetrik şekil yukarıdaki 8 × 8 panmajik karenin şekliyle aynıdır. 4k mertebesindeki tüm kareleri bu simetriye göre oluşturabiliriz.
2.087 | 2.633 | 2 803 | 2 753 | 3 389 |
2.843 | 2.729 | 3 347 | 2.099 | 2.647 |
3 359 | 2.113 | 2.687 | 2.819 | 2.687 |
2.663 | 2.777 | 2.699 | 3 373 | 2 153 |
2.713 | 3 413 | 2 129 | 2621 | 2.789 |
Sihirli kareler, yukarıdaki örnekte olduğu gibi tamamen asal sayılardan oluşabilir ; bu, orada birçok simetrinin görünmesi nedeniyle şeytani bir karedir (diğerlerinin yanı sıra, çapraz ve dikey olarak tam ve gevşek çarpılar ve ayrıca yatay ve hepsinin dikey çevirileri). Sihirli sabit 13.665'tir.
1.480.028.159 | 1.480.028.153 | 1 480 028 201 |
1.480.028.213 | 1 480 028 171 | 1.480.028.129 |
1 480 028 141 | 1.480.028.189 | 1.480.028.183 |
1988'den önce, 3. mertebe için tam bir asal kare olup olmadığı soruluyordu . 1988'de bir Cray bilgisayarı kullanarak 3. dereceden ilk mükemmel asal kareyi bulan Harry L. Nelson'dı (1988'de toplamda 22'yi buldu). Nelson, Nisan 2015'te Nelson'ın 22'si de dahil olmak üzere 27'yi bulan Polonyalı Arkadiusz Wesolowski'nin aksine ayrıntılı bir şekilde ilerlememiş olabilir. Wesolowski bu nedenle 5 yeni tane buldu.
Claude St-Hilaire tarafından MAPLE'da oluşturulmuş bir program kullanarak Claude Bégin, 3. dereceden ilk 8 mükemmel asal kareyi ayrıntılı bir şekilde buldu. Böylece, Wesolowski'nin de gösterdiği gibi, en küçükten önce hiçbirinin olmadığını gösterdi.
Yeni tam asal kareler bulmak için Wesolowski'nin 27 tam asal karesi listesindeki 27. karenin ötesine bakmanız gerekir.
20 Nisan 2020'den 26 Temmuz 2020'ye kadar Claude Bégin, 3 mertebeden 23 yeni tam asal kare buldu. Bégin'den 23 yeni dahil olmak üzere 48'i mükemmel ilklerdir. Bunlar daha sonra, Wesolowski'nin (1)'den (27)'ye not edilen 27'sinden sonra eklenmek üzere (28) ila (50) arasında not edilebilir. Böylece 27 Temmuz 2020 itibariyle bilinen 3. dereceden 50 tam asal kareye sahibiz.
Bir p-oluşturucu neredeyse normal bir asal karedir, öyle ki tüm kutularına aynı tamsayıyı ekleyerek yeni bir asal kare elde ederiz. İşte (28) ve (41) tam asal kareler:
103 987 093 601 | 103 987 093 607 | 103 987 093 559 |
103 987 093 547 | 103 987 093 589 | 103 987 093 631 |
103 987 093 619 | 103 987 093 571 | 103 987 093 577 |
Kareyi elde etmek için MATHEMATICA uygulamasını kullanan bir Windows 10 PC ile Bégin'in yaklaşık 245 saatini aldı (41).
316 653 447 389 | 316 653 447 413 | 316 653 447 311 |
316 653 447 293 | 316 653 447 371 | 316 653 447 449 |
316 653 447 431 | 316 653 447 329 | 316 653 447 353 |
In mentalism , bazı sanatçılar gösteri sırasında sihirli kareler oluşturmak. Seyirci bir sayı düşünür veya söyler, sanatçı saniyeler içinde sihirli bir kare yapar.
Sihirli kareler deney tasarımında uygulamalar bulur . Bu, örneğin, beş farklı gübre uygulamasına tabi tutulan beş çeşit bitki üzerinde biyolojik deneyler yapmayı içerir. Bitkilerin büyümesi, içinde büyüdükleri değişen özelliklere sahip topraktan da etkilenir. Zeminin etkisini en aza indirmek için, şansın mümkün olduğunca müdahale etmesi gerekir. 5 dereceli bir sihirli kare bu gereksinimi büyük ölçüde kolaylaştırır. Her bitki, her gübre ( e ) için aynı olan, 0 ile 4 ( p ) arasında sayısal bir tanımlayıcı alır . Her çift ( s , e ) Bu formüle göre, daha önce 5 x 5 = 25 parsel bölünmüş bir arsa, atanan: 5 x s + E + 1 (ör tesisi için , n O 3 ve gübre n O 2 , 5 × 3 + 2 + 1 = 18'imiz var). Bu teknik, örneğin yeni bir aşı ailesinin geliştirilmesine uygulanabilir .
Bu bölüm, makalenin açıklamalarını daha iyi anlamanıza olanak tanıyan farklı tanımları listeler:
1 | 24 | 3 | 25 | 12 |
16 | 7 | 21 | 6 | 15 |
23 | 14 | 18 | 8 | 2 |
5 | 9 | 10 | 22 | 19 |
20 | 11 | 13 | 4 | 17 |