hiperbolik kosinüs
hiperbolik kosinüs fonksiyonu
ℝ alt kümesi üzerinde hiperbolik kosinüs
fonksiyonunun grafiği.
Değerlendirme |
cosh(x){\ displaystyle \ cosh (x)}
|
---|
Karşılıklı |
arkosh(x){\ görüntü stili {\ metin {arcosh}} (x)} Elbette [1,+∞[{\ görüntü stili [1, \, + \ infty [}
|
---|
Türev |
günah(x){\ görüntü stili \ günah (x)}
|
---|
İlkel |
günah(x)+VS{\ displaystyle \ günah (x) + C}
|
---|
Hiperbolik kosinüs içinde olduğu matematik , bir hiperbolik fonksiyonu .
Tanım
Hiperbolik kosinüs fonksiyonu , ifade (ya da , bir) aşağıdaki kompleks fonksiyon :
cosh{\ displaystyle \ cosh}ch{\ görüntü stili \ operatör adı {ch}}
cosh:VS→VSz↦ez+e-z2{\ displaystyle {\ start {matrix} \ cosh: & \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {C} \\ & z & \ mapsto & \ displaystyle {\ frac {\ operatöradı {e} ^ {z} + \ operatöradı {e} ^ {- z}} {2}} \ bitiş {matris}}}burada bir kompleks üstel .
z↦ez{\ displaystyle z \ mapsto \ operatöradı {e} ^ {z}}
Hiperbolik kosinüs fonksiyonu bu nedenle karmaşık üstel fonksiyonun çift kısmıdır . Bu olduğu kısıtlı bir karşı gerçek değişkenin gerçek işlevi .
ℝ sınırlı hiperbolik kosinüs fonksiyonu şekilde analog olan kosinüs fonksiyonu olarak hiperbolik geometrisi .
Notasyonu Ch. X'in tarafından tanıtıldı Vincenzo Riccati XVIII inci yüzyılın.
Özellikleri
Genel Özellikler
trigonometrik özellikler
Hiperbolik kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının tanımlarından, herhangi bir karmaşık için geçerli olan ve Euler'in dairesel trigonometrideki formüllerine benzeyen aşağıdaki eşitlikleri çıkarabiliriz :
z{\ görüntü stili z}
ez=coshz+günahzvee-z=coshz-günahz,bu nedenlecosh2z-günah2z=1.{\ displaystyle \ operatöradı {e} ^ {z} = \ cosh z + \ sinh z \ dörtlü {\ metin {et}} \ dörtlü \ operatöradı {e} ^ {- z} = \ cosh z- \ sinh z, \ dörtlü {\ metin {bu nedenle}} \ dörtlü \ cosh ^ {2} z- \ sinh ^ {2} z = 1.}Tüm T ℝ tarif koordinat noktası gibi bir erişir daire denklemleri koordinatlarının ki böylece bir dalı geçer eşkenar hiperbol denklemi .
(çünküt,günaht){\ görüntü stili (\ cos t, \ günah t)}x2+y2=1{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}(cosht,günaht){\ görüntü stili (\ cosh t, \ sinh t)}x2-y2=1{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}
Öte yandan, tüm karmaşık sayılar için ve :
x{\ görüntü stili x}y{\ görüntü stili y}
cosh(benx)=ebenx+e-benx2=çünküx{\ displaystyle \ cosh (\ matematik {i} x) = {\ frac {\ operatöradı {e} ^ {\ matematik {i} x} + \ operatöradı {e} ^ {- \ matematik {i} x}} { 2}} = \ çünkü x} ;
coshx=çünkü(benx){\ displaystyle \ cosh x = \ cos (\ matematik {i} x)} ;
cosh(x+y)=coshxcoshy+günahxgünahy{\ displaystyle \ cosh (x + y) = \ cosh x \ cosh y + \ sinh x \ sinh y} , nereden
cosh2x=cosh2x+günah2x=1+2günah2x=2cosh2x-1{\ displaystyle \ cosh 2x = \ cosh ^ {2} x + \ sinh ^ {2} x = 1 + 2 \ sinh ^ {2} x = 2 \ cosh ^ {2} x-1}
cosh2(x2)=1+coshx2{\ displaystyle \ cosh ^ {2} \ sol ({\ frac {x} {2}} \ sağ) = {\ frac {1+ \ cosh x} {2}}}.
gibi trigonometrik formüllerin kullanılması, (herhangi bir gerçek için ) gibi daha fazla anekdot ilişkisinin elde edilmesini sağlar :
günah(2t)=2bronzt1+bronz2t{\ displaystyle \ günah (2t) = {\ frac {2 \ tan t} {1+ \ tan ^ {2} t}}}x{\ görüntü stili x}
coshx=1günah(2arktan(ex)){\ displaystyle \ cosh x = {\ frac {1} {\ günah (2 \ arctan (\ operatöradı {e} ^ {x}))}}} ;
ayrıca Gudermannian makalesine bakın .
Taylor seri geliştirme
Taylor serisi cop fonksiyonu ve tüm ℂ üzerine yakınsak ile verilir:
coshz=1+z22!+z44!+z66!+⋯=∑değil=0∞z2değil(2değil)!{\ displaystyle \ cosh z = 1 + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {4}} {4!}} + {\ frac {z ^ {6} } {6!}} + \ Cdots = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2n}} {(2n)!}}}.
Chebyshev polinomları
Izin n inci Chebyshev polinomu . İlişkiyi (her gerçek t için doğru ) komplekslere genişleterek, herhangi bir karmaşık z için bağıntıyı
elde ederiz.Tdeğil{\ görüntü stili T_ {n}}Tdeğil(çünküt)=çünkü(değilt){\ displaystyle T_ {n} (\ cos t) = \ cos (nt)}
Tdeğil(coshz)=cosh(değilz){\ displaystyle T_ {n} (\ cosh z) = \ cosh (nz)}.
değerler
Bazı değerler :
cosh{\ displaystyle \ cosh}
-
cosh0=1{\ displaystyle \ cosh 0 = 1} ;
-
cosh1=e2+12e{\ displaystyle \ cosh 1 = {\ frac {\ operatöradı {e} ^ {2} +1} {2 \ matematik {e}}}} ;
-
coshben=çünkü1{\ displaystyle \ cosh \ matematik {i} = \ çünkü 1}.
sıfırlar
Tüm sıfırlar cosh olan saf hayallerin . Daha doğrusu, herhangi bir karmaşık sayı için ,
z{\ görüntü stili z}
coshz=0⇔z∈benπ(Z+12).{\ displaystyle \ cosh z = 0 \ Leftrightarrow z \ in \ mathrm {i} \ pi \ left (\ mathbb {Z} + {\ frac {1} {2}} \ sağ).}Gerçekten de, her iki ile gerçek. O zaman öyleydi , yani
z=x+beny{\ displaystyle z = x + \ matematik {i} y}x,y{\ görüntü stili x, y}coshz=coshxçünküy+bengünahxgünahy{\ displaystyle \ cosh z = \ cosh x \ cos y + \ matematik {i} \ sinh x \ günah y}
coshz=0⇔(çünküy=0 ve günahx=0)⇔(y∈{π/2+kπ∣k∈Z} ve x=0){\ displaystyle \ cosh z = 0 \ Leftrightarrow \ left (\ cos y = 0 {\ text {et}} \ sinh x = 0 \ right) \ Leftrightarrow \ sol (y \ in \ {\ pi / 2 + k \ pi \ orta k \ in \ mathbb {Z} \} {\ metin {ve}} x = 0 \ sağ)}.
karşılıklı fonksiyon
Açık [0, + ∞ [ , cop sürekli ve sıkı bir şekilde artmaktadır; 0 olarak değeri 1 olduğu ve sınırına + ∞ olan ∞ + . Bu nedenle a, bijection gelen [0, + ∞ [ içine [1 + ∞ [ . Onun karşılıklı bijection kaydetti arcosh (veya argch ), “hiperbolik kosinüs argüman” veya “hiperbolik ark kosinüs” denir.
ℂ üzerinde, karmaşık çok değerli bir fonksiyondur. Onun ana dal genel olarak ayarlayarak seçilir yarım çizgisini ] -∞, 1] bir kesik olarak .
arkoshz=içinde(z+z+1z-1).{\ displaystyle \ operatöradı {arcosh} z = \ ln \ sol (z + {\ sqrt {z + 1}} {\ sqrt {z-1}} \ sağ).}
İçin x ∈ [1 + ∞ [ , olan iki gerçek sayılar vardır cop olan X :
arkoshx=içinde(x+x2-1)ve-arkoshx=içinde(x-x2-1).{\ displaystyle \ operatöradı {arcosh} x = \ ln \ sol (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ sağ) \ dörtlü {\ metin {ve}} \ dörtlü - \ operatöradı {arcosh} x = \ ln \ sol (x - {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ sağ).}
Gerçekten de, bunu ayarlayarak ve kullanarak ve , elde ederiz
t=arkoshx{\ displaystyle t = \ operatöradı {arcosh} x}cosh2t-günah2t=1{\ displaystyle \ cosh ^ {2} t- \ sinh ^ {2} t = 1}t>0{\ görüntü stili t> 0}et=cosht+günaht=x+x2-1vee-t=cosht-günaht=x-x2-1.{\ displaystyle \ operatöradı {e} ^ {t} = \ cosh t + \ sinh t = x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ dörtlü {\ metin {ve}} \ dörtlü \ operatöradı { e} ^ {- t} = \ cosh t- \ sinh t = x - {\ sqrt {x ^ {2} -1}}.}
Fonksiyon ] 1, + ∞ [ ve
üzerinde türevlenebilirarkosh{\ displaystyle \ operatör adı {arcosh}}∀x∈]1,+∞[arkosh′x=1x2-1.{\ displaystyle \ forall x \ in] 1, + \ infty [\ dörtlü \ operatör adı {arcosh} 'x = {\ dfrac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}.}
kullanmak
Fiziksel
ℝ üzerindeki fonksiyonun temsili eğrisi bir zinciri , yani her iki ucunda sabitlenmiş ve yerçekimine maruz kalan homojen bir kablonun şeklini tanımlar .
cosh{\ displaystyle \ cosh}
Mimari
Hiperbolik kosinüs mimaride asma köprülerin mühendisliğinden kaynaklanan katener arkına karşılık gelir . Antoni Gaudi , özellikle en ünlü iki eseri ile ortak mimaride yaygın olarak kullanan ilk kişilerden biriydi: Colonia Güell'in kriptası ve Sagrada Familia .
Gateway Arch bölgesindeki St Louis içinde Missouri ters bir zincir eğrisi şekline sahiptir. Merkezinde 192 m yükselir ve tabanında 192 m uzanır . Bu kemerin noktaları yaklaşık olarak denklemi sağlar
y=-39cosh(x39)+231{\ displaystyle y = -39 \ cosh \ sol ({\ frac {x} {39}} \ sağ) +231}için -96 < x <96 .
Notlar ve referanslar
-
uluslararası standart ISO / IEC 80000-2 : 2009 önerir COSH .
Şuna da bakın:
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">