Cebirsel küme

Gelen cebirsel geometri , bir cebirsel grubu çeşitli değişkenler polinom denklemler sisteminde çözeltilerinin kümesidir. Bunlar afin veya projektif cebirsel manifoldun noktalarıdır . Cebirsel geometri için sezgisel bir destek görevi görürler.

Afin cebirsel kümeler

Bu bölümde olacak bir ifade cebirsel olarak kapalı alan (örneğin ℂ için), daha büyük bir tam sayı ya da birine eşittir. Biz boyutun afin alanı dikkate üzerine set demek ki, (bir cebirsel yapısı olmadan). $k$ $değil$ $değil$ $k$ $k ^ n$

Tanım. Izin bir parçası polinomların halka , biz diyoruz S ile ilişkili cebirsel seti ve biz göstermek aşağıdaki alt küme : $S$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (S)$ $k ^ n$

Z (S) = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in k ^ {n} \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) = 0 \}

yani tüm unsurları için ortak iptal yeri . $S$

Örnekler :

Afin düzlemde , iki sıfır olmayan değişken bir polinom iptali lokusu olarak adlandırılan bir benzeşik cebirsel dizi bir düzlem eğri ve derecesi olarak adlandırılır polinom derecesi eğrisi. Doğrular 1. derecenin cebirsel kümeleri, 2. derecenin konikleri , 3. derecenin kübikleri vb. $k ^ 2$
Afin uzayda , sıfır olmayan üç değişkenli bir polinomun iptal lokusu, bir cebirsel yüzey olan afin bir cebirsel kümedir . Eğriler için olduğu gibi, bir yüzeyin derecesini tanımladığımız gibi, düzlemler derece 1, derece 2'nin dörtlüleri vb. $k ^ {3}$
Afin bir uzayda, herhangi bir sonlu nokta kümesi afin bir cebirsel kümedir.

Uyarılar

Eğer bir idealdir ait ardından, S tarafından oluşturulan . Özel olarak, bir Noetherian , sonlu bir kısmı tarafından oluşturulur . Bunu izler . Başka bir deyişle, bir cebirsel küme her zaman bir idealin elemanlarında ortak olan bir iptal yeri ve ayrıca sınırlı sayıda polinom için ortak olan iptalin lokusudur. $ben$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (I) = Z (S)$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $ben$ $S '$ $Z (S) = Z (S ')$
Cebirsel bir küme verildiğinde , E üzerinde kaybolan polinomlar kümesine eşit I (E) sorma ideallerine geri dönebiliriz . İdeal I (E) o zaman radyaldir . Örneğin, k = ℂ için, cebirsel tümü sıfır olan X ², 0 noktasına indirgenir ve ideal I (X² = 0) , onun radikaline, yani X tarafından üretilen ideal olana eşittir . Bununla birlikte, polinom x ²-radikalinin ürettiği ideal , X içermediği için değildir . $E = Z (I) \ alt küme k ^ {n}$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$
Elemanları bölüm halkası olan daha sonra kısıtlamalarla tespit E gelen polinom haritaların için k . E cebirsel kümesinin düzenli fonksiyonları olarak adlandırılırlar . By Noether'in normalleşme Lemma , düzenli fonksiyonlar da cebirsel fonksiyonlar . $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$ $k ^ n$
Yana k cebirsel kapalı olduğu, Hilbert sıfır teoremi fonksiyon olduğunu iddia ı cebirsel setleri arasında bir bijection olduğunu ve kök ideallerin arasında . Daha açık olarak, bir radikal ve J . Bir cebirsel seti noktaları E tekabül eder maksimal ideallerin arasında . $k ^ n$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Ben (Z (J))$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$
Eğer I (E) bir asal ideal ise cebirsel bir E kümesinin indirgenemez olduğu söylenir .

Özellikler :

$Z (\ {0 \}) = k ^ {n}$ ,
$Z (\ {1 \})$ boş;
$Z (I) \ cup Z (J) = Z (I \ cap J)$ ;
Cebirsel kümelerinin bir aile kesişme eşit olan , tarafından üretilen idealdir , yani toplam bir . $Z (I _ {{\ lambda}})$ $Z (I)$ $ben$ $\ cup _ {{\ lambda}} I _ {{\ lambda}}$ $Ben _ {{\ lambda}}$

Projektif cebirsel kümeler

Projektif cebirsel geometri, afin geometriden daha rahat bir çerçevedir. Projektivite, topolojik kompaktlığa benzer bir özelliktir . Teoremi Bezout yansıtmalı çeşitleri için sadece doğrudur.

Çerçeve. Bu bölümde göstermektedirler yansıtmalı alan boyutu ve n üzerinde k , yani set , denklik ilişki (kolineer ilişkisi) tanımlayan iki puan X ve Y , ancak ve ancak, eğer x ve y aynı vektör hattı üzerinde bulunmaktadır. Bu nedenle, n boyutunun yansıtmalı uzayı, n + 1 boyutunda bir k- vektör uzayının vektör çizgileri kümesiyle tanımlanır . Bir noktanın içindeki sınıf not edilir . Olan homojen koordinatlar noktası . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / R$ $R$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $x_ {i}$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$

Tanım. S , halkanın homojen polinomları kümesi olsun . Biz diyoruz S ile ilişkili cebirsel (yansıtmalı) seti ve biz tarafından ifade , şu alt bileşenlerinin : $k [X_ {0}, \ noktalar, X_ {n}]$ $Z _ {+} (S)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Z _ {+} (S) = \ {(x_ {0}: \ ldots: x_ {n}) \ in {\ mathbb P} ^ {n} (k) \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {0}, \ noktalar, x_ {n}) = 0 \}.

Bir noktada polinom f'nin iptalinin sadece bu tek modülo ilişkisinin sınıfına bağlı olduğuna dikkat edin , çünkü f homojendir. Bütün bu nedenle iyi tanımlanmıştır . + İndeksi, homojen sıfırları afin sıfırlardan ayırmak için kullanılır. $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ neq 0$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $R$ $Z _ {+} (S)$

Eğer ben bir olduğunu homojen İdeal bir , orada bütün homojen polinomların kümesi ile ilişkili I . $k [X_ {0}, \ noktalar, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I)$ $Z _ {+}$

Örnek Izin vermek iki d derece değişkenli sıfır olmayan homojen bir polinom olsun . Projektif düzlemin projektif cebirsel kümesi , d dereceli bir düzlem projektif eğri olarak adlandırılır . Polinom (burada doğal bir tam sayıdır), noktaları bir Fermat denkleminin homojen çözümleri olan düzlemsel bir yansıtmalı eğri tanımlar. $F (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2})$ $Z _ {+} (F)$ $P ^ {2} (k)$ $X_ {0} ^ {n} + X_ {1} ^ {n} -X_ {2} ^ {n}$ $değil$

Not.

Eğer I olan (homojen) doğru bir tarafından üretilen S , daha sonra . Bu yana bir homojen polinomların sonlu sayıda tarafından oluşturulan, bir yansıtmalı cebirsel set, her zaman bir ile tanımlanabilir sonlu sayıda homojen polinomlar. $k [X_ {0}, \ noktalar, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I) = Z _ {+} (S)$
Afin cebirsel kümeler durumunda olduğu gibi, projektif cebirsel kümelerdeki projektif cebirsel kümeler ile ürettiği idealden farklı homojen radyal idealler arasında bire bir yazışma oluşturan bir projektif Hilbert sıfır teoremi vardır . Yansıtmalı uzayın bir noktası homojen bir asal ideale tekabül eder, kesinlikle içerilenler arasında maksimaldir . Homojen koordinatların bir noktasıyla, 0 ile n arasında değişen , for i ve j tarafından üretilen ideali ilişkilendiririz . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(X_ {0}, \ noktalar, X_ {n})$ $X_ {0}, \ ldots, X_ {n}$ $(X_ {0}, \ noktalar, X_ {n})$ $(x_ {0}: \ noktalar: x_ {n})$ $x_ {i} X_ {j} -x_ {j} X_ {i}$

Özellikler :

$Z _ {+} (\ {0 \}) = {\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ,
$Z _ {+} (\ {1 \})$ boş;
$Z _ {+} (I) \ cup Z _ {+} (J) = Z _ {+} (I \ cap J)$ ;
Bir projektif cebirsel kümeler ailesinin kesişimi , ideallerin toplamı olduğu yere eşittir (hala homojendir). $Z _ {+} (I _ {{\ lambda}})$ $Z _ {+} (I)$ $ben$ $Ben _ {{\ lambda}}$

Zariski topolojisi

Afin uzay k n (ya da yansıtmalı ), Zariski topolojisi ile donatılmıştır . Bu topoloji için kapalı kısımlar , k n cinsinden cebirsel kümelerdir (sırasıyla Projektif cebirsel kümeler ). ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Örnek : afin hattı Zariski topolojisi k olan ko-sonlu topolojisi .

Zariski'nin bir cebirsel küme (sırasıyla yansıtmalı cebirsel küme) üzerindeki topolojisi, tanım gereği onu içeren afin (sırasıyla yansıtmalı) uzayın neden olduğu topolojidir. Afin durumda Zariski topolojisi , bir halkanın asal spektrumundaki Zariski topolojisine benzer .

Afin (sırasıyla. Yansıtmalı) aralığı dikkate değer açık parçalarıdır ana açık parçalar (sırasıyla. ), Bu tamamlayıcısını demek olan (resp. ). Bir cebirsel kümeye açık olan bir ilkenin kısıtlanmasına cebirsel kümenin temel açıklığı denir. Ana açıklıklar topolojinin temelini oluşturur . $D (f)$ $D _ {+} (ç)$ $Z (\ {f \})$ $Z _ {+} (\ {f \})$

Bir afin (ya da yansıtmalı ) cebirsel kümenin açık bir alt kümesine yarı afin (ya da yarı yansıtmalı ) denir .

Afin uzay açık özdeşleşen çünkü yarı yansıtmalı olan bir uygulama tarafından . Bu haritanın görüntüsünde afin uzayın homeomorfizmini tetiklediğini kontrol ediyoruz . Bu, herhangi bir yarı-afin cebirsel kümenin yarı yansıtmalı olduğu sonucu çıkar. $k ^ n$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k) \ setminus Z _ {+} (X_ {0})$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ to (1: x_ {1}: \ ldots: x_ {n})$

Zariski'nin topolojisi görünüşte oldukça zayıftır (birkaç açıklık, iki nokta genellikle ayrık açık komşuluklarla ayrılmamıştır), ancak birçok amaç için yeterlidir.

Afin cebirsel kümeler ve yansıtmalı cebirsel kümeler arasındaki ilişkiler : Bir projektif cebirsel küme Z , afin cebirsel kümeler olan açıklıkların (Zariski topolojisi için) sonlu bir birleşimidir. Nitekim Z , n +1 değişkenli homojen polinomların iptali ile tanımlanır . Sıfır olmayan böyle bir kümeyi gösterelim . Yani içeride açık ; kapak ; bunun afin bir cebirsel küme olduğu görülecektir. Eğer varsa ve polinomların kümesidir zaman homojen polinomlar varolmaktadırlar , o zaman kolayca görebilirsiniz cebirsel kümesidir içinde . $Z_ {i}$ $(x_ {0}: ...: x_ {n}) \ Z içinde$ $x_ {i}$ $Z_ {i} = Z \ setminus (Z \ cap Z _ {+} (x_ {i}))$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z = Z _ {+} (S)$ $Evet}$ $F (x_ {0}, ..., x _ {{i-1}}, 1, x _ {{i + 1}}, ..., x_ {n})$ $F$ $S$ $Z_ {i}$ $Z (S_ {i})$ $k ^ n$

Herhangi bir temel vücut durumu

Baz Alan Eğer k cebirsel kapalı değil, üzerinde cebirsel seti k bir in bir cebirsel kümesidir cebirsel kapanış k bir k katsayılı polinomların tarafından tanımlanan, k . Örneğin, (a, b) ∊ ℚ 2 çiftleri kümesi, öyle ki a 2 + b 3 –1 = 0, ℚ üzerinde cebirsel bir kümedir. Öte yandan, a 2 + b 3 - √ 2 = 0 ilişkisi , olduğu gibi, ℚ üzerindeki bir cebirsel kümeyi tanımlamaz.

Notlar ve referanslar

(in) "Afin cebirsel sette" in Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun )

(tr) Robin Hartshorne , Cebirsel Geometri [ baskıların ayrıntıları ], Çatlak. ben
Daniel Perrin , Cebirsel geometri. Giriş [ sürümlerin detayı ]

İlgili makale

Düzlem gerçek cebirsel eğri