Prametrik uzay

Gelen matematik bir prametric alan a, daha genel bir topolojik alan daha metrik boşluk ne gerektiren, simetri , ayırdedilemezlik, ne geçerliliği üçgen eşitsizlik . Bu tür boşluklar , metrik uzaylar arasındaki uygulamalarda doğal olarak görünür .

Tanım

Bir prametrik uzay , aşağıdaki iki koşulu karşılayan prametrik (veya prametrik ) işlev adı verilen bir M kümesinin ve bir işlevin verileridir : ${\ displaystyle \ sol (M, \ mathrm {d} \ sağ)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d}: M \ times M \ mapsto \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ forall x, y \ M, \ quad \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) \ geq 0}$ (pozitiflik),
${\ displaystyle \ forall x \ quad \, M, \ quad \ mathrm {d} \ sol (x, x \ sağ) = 0}$ .

Bu yüzden olabilir iken, . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = 0}$ $x \ neq y$

Özel durumlar

Bir prametrik seçiminde çok az kısıtlama vardır. Böylece belirli özellikleri empoze edebiliriz:

Eğer , prametric fonksiyonu “simetrik” olduğu söylenir; d(x,y)=d(y,x){\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = \ mathrm {d} \ sol (y, x \ sağ)} ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = \ mathrm {d} \ sol (y, x \ sağ)}$
- Ayrıca Eğer eder x = y , fonksiyon ve uzay olduğu söylenir yarı metrik ; ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = 0}$
Eğer d, üçgen eşitsizliği karşılarsa, fonksiyon ve uzayın hemimetrik olduğu söylenir ;
- Ayrıca Eğer eder
x = y , fonksiyon ve uzay olduğu söylenir quasimetric ;d(x,y)=0{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = 0} ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = 0}$
Dahası, d simetrik ise, o zaman bu bir boşluktur ve boşluğun psödometrik olduğu söylenir ;

Örnek D tatmin Bu üç özellik, bir o olan mesafe ve metrik alan .

Örnekler

Bir metrik uzay ve bir uygulama olalım , sonra fonksiyon ${\ displaystyle \ sol (X, \ rho \ sağ)}$ $f: X \ ila Y$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = \ rho \ sol (f ^ {- 1} \ sol (\ {x \} \ sağ), \, f ^ {- 1} \ sol (\ {y \} \ sağ) \ sağ)}$ simetrik bir prametriktir.
Tarafından tanımlanan işlev ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = {\ begin {case} | xy | & {\ text {for}} \ quad x \ leq y \\ 1 & {\ text {aksi halde }} \ end {vakalar}}}$ simetrik olmayan bir prametriktir. İlişkili topolojik uzay ( cf. infra) Sorgenfrey çizgisidir .
Grubu {0, 1}, prametric üzerinde d , öyle ki d (0,1) = 1 ve D (1, 0) = 0 oluşturur Sierpinski topoloji (edilir bağlı ).

Bir prametrik p için bir top , bir mesafe için olduğu gibi, şu şekilde tanımlanır:

{\ displaystyle B_ {r} \ sol (p \ sağ) = \ {x \ M \; | \; \ mathrm {d} \ sol (x, p \ sağ) <r \}. ~}

Bu topların kümesi bir topoloji temeli oluşturamaz , ancak aşağıdakileri belirleyerek bir topoloji tanımlamak için kullanılabilir :

{\ displaystyle U \ alt küme M}

ancak ve ancak şu durumlarda açıktır:

{\ displaystyle \ forall p \ U \ quad \ var r> 0 \ qquad B_ {r} \ sol (p \ sağ) \ alt küme U}

Eşdeğer olarak,

{\ displaystyle F \ alt küme M}

şu durumlarda kapalıdır:

{\ displaystyle \ forall p \ içinde M \ setminus F \ quad \ mathrm {d} \ sol (p, F \ sağ)> 0}

Bir topun (ile ) mutlaka açık olması gerekmez: içi p içermeyebilir ve hatta boş bile olabilir. ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ $r> 0$

Bu uzayların bir başka alışılmadık yönü, kapalı bir F'de bulunan bir noktanın , bu kapalıya sıfır olmayan bir mesafeye sahip olabilmesidir:

F'de {\ displaystyle x \}

ima etmez .

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, F \ sağ) = 0}

Bir kısmının, uygulama A arasında M bütün ilişkilendirir

{\ displaystyle [A] _ {p} = \ {x \ içinde M: \ mathrm {d} \ sol (x, A \ sağ) = 0 \} \,}

sıfır mesafede bulunan noktalar A , M üzerinde bir ön kapama operatörüdür .

Prametrik uzayların ilginç bir özelliği , topolojisi bir prametrik tarafından üretilen bir topolojik uzayın ardışık bir uzay olmasıdır .

Notlar ve referanslar

Bu terim İngilizce kelime bir çeviri olması gerekiyordu prametric , kendisinde bir Rus neologism çevirmek için oluşturulan (tr) AV Arkhangelskii ve LS Pontryagin , Genel Topoloji I , Springer ,1990, 202 s. ( ISBN 978-3-540-18178-1 ) , s. 24. Ancak mesafe kavramının tüm zayıflatılmış varyantlarının kelime dağarcığı - İngilizce'de olduğu gibi Fransızca'da da - çok dalgalı.

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Prametric uzay " ( yazarların listesini görmek ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">