Pseudometric uzay
In matematik , bir pseudometric uzay bir olan dizi bir donatılmış pseudometric . Metrik uzay kavramının bir genellemesidir .
Bir vektör uzayında , bir normun bir mesafeyi indüklemesi gibi , bir yarı norm da bir psödometriyi indükler. Bu nedenle, fonksiyonel analiz ve ilgili matematik disiplinlerinde, yarı metrik uzay terimi psödometrik uzay ile eşanlamlı olarak kullanılmaktadır (" yarı metrik uzay " topolojide başka bir anlama sahiptir).
Tanım
Bir set üzerindeki psödometrik bir uygulamadırX{\ displaystyle X}
d:X×X→R+{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ times X \ - \ mathbb {R} _ {+}}![{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ times X \ - \ mathbb {R} _ {+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b5926e15b53396081edbf0f49e305e7f0e8cdf)
Böyle her şey için o ,
x,y,z∈XX'te {\ displaystyle x, y, z \}![X'te {\ displaystyle x, y, z \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d195ea3d65ddac959ca69b7b3a4d491109c2d98)
-
d(x,x)=0{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, x \ sağ) = 0}
;
-
d(x,y)=d(y,x){\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = \ mathrm {d} \ sol (y, x \ sağ)}
(simetri);
-
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, z \ sağ) \ leq \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) + \ mathrm {d} \ sol (y, z \ sağ)}
( üçgen eşitsizlik ).
Başka bir deyişle, sözde ölçüm, sonlu değerli bir sapmadır .
Bir psödometrik uzay , bir psödometrik uzay ile sağlanan bir kümedir.
Bir metrik uzayınkinden farklı olarak, bir psödometrik uzayın noktaları mutlaka farkedilebilir değildir - yani, biri farklı noktalar olabilir .
d(x,y)=0{\ displaystyle \ mathrm {d} (x, y) = 0}
x≠y{\ displaystyle x \ neq y}![x \ ne y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51b711ca7f932963cdb268b0817dc72d6258733)
Örnekler
- Eğer bir dizi bir sapma , daha sonra bir pseudometric üzerindedir ;d{\ displaystyle \ mathrm {d}}
X{\ displaystyle X}
min(1,d){\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Eğer a, yarı normu aşkın bir vektör alanı , daha sonra bir pseudometric üzerindedir . Tersine, herhangi bir homojen translasyonel değişmez psödometrik yarı normdan gelir. Böyle bir durumun somut bir örneği, gerçek değerlere sahip fonksiyonların vektör uzayındadır : bir nokta seçerek , bir psödometrik tanımlayabiliriz .p{\ displaystyle p}
V{\ displaystyle V}
d(x,y)=p(x-y){\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = p \ sol (xy \ sağ)}
V{\ displaystyle V}
RX{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}
f:X→R{\ displaystyle f: X \ - \ mathbb {R}}
x0∈X{\ displaystyle x_ {0} \ X'te}
d(f,g)=|f(x0)-g(x0)|{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (f, g \ sağ) = | f \ sol (x_ {0} \ sağ) -g \ sol (x_ {0} \ sağ) |}![{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sol (f, g \ sağ) = | f \ sol (x_ {0} \ sağ) -g \ sol (x_ {0} \ sağ) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2214a85f4ad86dfff6d7ce710954fd359ed0ad)
Psödometrik olanla ilişkili psödometrik topoloji , açık topların oluşturduğu topolojidir :
d{\ displaystyle \ mathrm {d}}![{\ mathrm d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15022657616b297a2c995d1b314a3aa3442c0cb)
Br(p)={x∈X∣d(p,x)<r}{\ displaystyle B_ {r} \ sol (p \ sağ) = \ {x \ X \ ortada \ mathrm {d} \ sol (p, x \ sağ) <r \}}![{\ displaystyle B_ {r} \ sol (p \ sağ) = \ {x \ X \ ortada \ mathrm {d} \ sol (p, x \ sağ) <r \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcb2556c6cef57cca395aa0669d9d8e8107daf6)
.
Bir topolojik uzay kimin uzayın bununla topoloji çakıştığını ilişkili bir pseudometric varsa “pseudometrizable” olduğu söylenir.
Not: Bir boşluk, sözde ölçülebilir ve T 0 ise (ve ancak) ölçülebilirdir .
Metrik tanımlama
Bir psödometrik uzayı, psödometriğin sıfırlayıcı denklik bağıntısı ile bölerek, bir metrik uzay elde ederiz . Daha açık bir şekilde tanımlıyoruz
x∼y⟺d(x,y)=0{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = 0}![{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b94bfb87d45f0d2e27cc37c4d9e53177f2dd193)
,
ve biz olsun mesafe üzerinde ayarı tarafından:
d∗{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}
X∗=X/∼ {\ displaystyle X ^ {*} = X / \ sim ~}![X ^ {*} = X / \ sim ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654b4e33c5e292ffa10a8c6d4c343df8b4bdc71e)
d∗([x],[y])=d(x,y){\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*} \ sol (\ sol [x \ sağ], \ sol [y \ sağ] \ sağ) = \ mathrm {d} \ sol (x, y \ sağ)}![{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf324ccbf08c636b9f568b32d4c5b148af0e4e1a)
.
Metrik uzayın topolojisi olan bölüm topolojisi Bunun içinde .
(X∗,d∗){\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}
(X,d){\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}![{\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712342f72a6430c35750d558f3853cf31e746855)
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
" Pseudometric uzay " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(in) " Pseudometric topoloji " üzerine PlanetMath .
Kaynakça
- (tr) AV Arkhangelskii ve LS Pontryagin , Genel Topoloji I , Springer ,1990, 202 s. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
- (en) Eric Schechter (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press ,1997, 883 s. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , çevrimiçi okuyun )
- Laurent Schwartz , Analiz kursu , cilt. 2, Hermann ,bin dokuz yüz Seksen bir, 475 p. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
- (tr) Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach, Jr. , Topolojide Karşı Örnekler , Dover ,1995, 244 s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , çevrimiçi okuyun ) , s. 34
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">