Çubuklu alan

Olarak fonksiyonel analiz yakın ve alanlarda matematik , namlulu boşluklar olan topolojik vektör uzayı bir çubuklu grubu ya da - fıçı - alan a, mahalle bir sıfır vektör . Önemlerinin ana nedeni, Banach-Steinhaus teoreminin tam olarak uygulandığı türler olmalarıdır .

Tarih

Nicolas Bourbaki , "tonneau" veya "tonnelé" gibi terimler (şarap fıçılarından) ve " bornolojik " alanlar icat etti .

Tanımlar

Bir topolojik vektör uzayı içinde $E$ bir ilgili olmayan ayrık değerli alan K a, ℝ (örneğin cebiri ℝ veya ℂ , bir aramalar) namlu bir dışbükey , dengeli , kapalı ve emici bölüm $, T$ :

dışbükey: ${\ displaystyle \ forall u, v \ T olarak, \ forall t \ [0,1], tu + (1-t) v \ T içinde}$
dengeli: ${\ displaystyle \ forall u \ T'de, \ forall \ lambda \ K içinde, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda u \ T'de}$
kapalı: için topoloji ve $E$
emici: ${\ displaystyle \ forall x \ E'de, \ mathbb'de \ alpha \ var {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda T. içinde x \$

Boşluk $e$ söylenir fıçı herhangi varil halinde haddelenmiş $E$ a, mahalle arasında $0$ .

Yerel olarak dışbükey bir boşluktaki bir namlunun özelliklerini hesaba katarak, aşağıdaki koşullar yerel olarak dışbükey namlulu bir boşluk E için eşdeğerdir (ikili not edilir ): ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) E namlulu;(b) herhangi bir zayıf sınırlı kısmı eşit süreksizdir;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

(c) E'nin altındaki herhangi bir yarı norm yarı sürekli , süreklidir(d) herhangi bir yerel dışbükey boşluk F için , herhangi bir basit sınırlı kısmı eşit süreksizdir.

{\ mathcal L} (E; F)

(Bu eşdeğerlikler , bipolar teoremin , dolayısıyla Hahn-Banach teoreminin bir sonucudur .)

Örnekler ve özellikler

Yerel olarak dışbükey bir uzay E , ancak ve ancak ilk topolojisi güçlü topoloji ile çakışırsa namlulu olur . ${\ displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}$
Frechet alanlarda , özellikle de Banach uzayları namlulu, ancak genel olarak vektör normlu boşluklar vardır değildir namlulu.
Alanlarda Montel tanımına göre namlulu edilir.
de Baire uzayları olan topolojik vektör uzayları namlulu.
Bir boşluk Mackey (içinde) ayrı , dolu namlulu .
Bir namlulu uzaylar ailesinin endüktif bir limit uzayı namlulu. Sonuç olarak, bir ultrabornolojik alan namludur ve özellikle de doğuştan ve yarı tam bir alan engellenir (ancak doğuştan olmayan, engelli alanlar vardır).
Bir çubuklu boşluğun bölüm uzayı namludur (öte yandan, bir engelli boşluğun kapalı bir alt uzayı mutlaka engellenmez).
Mahalli dışbükey uzayların doğrudan bir toplam uzayının namlulu hale getirilmesi için gerekli ve yeterli bir koşul , her birinin öyle olmasıdır. ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$
Namlu boşluklarının bir ürünü namlulu.
Ayrı bir namlulu (veya hatta infratoned: aşağıya bakın ) bir alanın tamamlayıcısı, çubuklu bir alandır.
Izin ℝ açık grubu N ya da daha genel bir diferansiyel manifoldu sonlu boyutlu Parakompakt . Klasik olarak belirtilen uzaylar (içinde belirsiz olarak farklılaştırılabilen fonksiyonların alanı ), güçlü ikilisi (kompakt destekli dağıtım alanı ), (kompakt destekli süresiz olarak türevlenebilir fonksiyonların alanı : Dağılım makalesine bakın ) ve güçlü ikilisi (içindeki dağılımlar alanı) ) namlu boşluklarıdır (hatta Montel boşluklarıdır). Aynı şekilde, bir Schwartz uzayı üzerinde azalan fonksiyonlar ve güçlü ikili, yani uzay ılıman dağılımları üzerine , boşluk namlulu edilir. $\Omega$ ${\ mathcal {E}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ mathcal {E}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ mathcal {D}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${{\ mathcal {D}}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
Izin ℝ açık kümesi n daha genel veya gerçek analitik sonlu boyut ve Parakompakt ve K bir kompakt alt kümesi . Uzay karmaşık bir mahalle analitik fonksiyonların tohumların K ve çift güçlü boşluğa izomorf, bir HİPERFONKSİYONLAR desteğiyle dahil K namlulu boşluklar dahil. $\Omega$ $\Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ sol (K \ sağ)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ sol (K \ sağ) ^ {\ asal}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ sol (\ Omega \ sağ)}$

Yarı namlulu alan, bağlantısız alan ve seçkin alan

Tanımlar

Let E olmak bir topolojik vektör uzayı. Dengeli bir kısmı bir bölgesinin E söylenir bornivore herhangi soğurursa sınırlı bir alt kümesi arasında E .

Bir lokal konveks alanı E söylenir infrabarrelled (bazen de denilen yarı namlulu varil varsa) E bir mahalle bornivore olduğu $, 0$ içinde E .

Aşağıdaki koşul yerine getirilirse, yerel olarak dışbükey bir uzay E'nin yarı namlulu olduğu söylenir : U , E'nin bir dizi dışbükey, dengeli ve kapalı komşuluğun $0'ın$ kesişimi olan doğmuş bir parçası olsun ; Daha sonra U bir mahalle $0$ içinde E .

Yerel olarak dışbükey bir uzay E'nin , güçlü ikilisinin namlulu olması durumunda ayırt edilebileceği söylenir .

Özellikleri

Tüm parmaklıklı alan bağlı değildir ve tüm bağlı olmayan alanlar yarı çubukludur. Bir bornological boşluk (özellikle bir lokal konveks metriklenebilir alan) infratonnel olup. Bir alt uzay tarafından bir alt uzay katsayısı alt uzaydır. Infratonal boşlukların Mackey uzayları olduğunu göstermek kolaydır . Bu, genel olarak, boşluk (DF) olmadıklarında nispeten az sayıda özelliğe sahip olan yarı namlulu uzaylar için geçerli değildir .

Yarı eksiksiz, bağımsız bir alan namlulu.

Güçlü ikili F yerel dışbükey metisable uzay ait E (hatta bir olduğunu ve tam namlulu yarı olan uzay (DF) ve eğer çubuklu) E eksiksiz ve olduğu dönüşlü (Bu durumda, F da bornological ).

Bir yarı-dönüşlü alan , hem de lokal olarak konveks metisable ve yarı-normlanabilir alan (özellikle de bir de normalize vektör alan ), ayırt edilir (ancak yarı-dönüşlü olmayan ayırt edici boşluklar vardır). Eğer E metriklenebilir olup, aşağıdaki koşullar denktir: (a) D ayırt edilir, (b) F bağlı değildir; (c) F doğolojiktir; (d) F namlulu; (e) F ultrabornolojiktir . Bir dizi seçkin ölçülebilir uzayın kesin endüktif sınırı olan bir uzay E , seçkin bir yerel dışbükey uzaydır ve güçlü ikilisi, doğuştan ve namlulu. Infratonal olmayan seçkin Mackey uzayları var. Ayırt edilmeyen Fréchet boşlukları vardır, bu nedenle namlulu bir alanın güçlü ikilisi ille de namlu olmak zorunda değildir.

Ayrıca görün

Notlar ve referanslar

Notlar

Bourbaki 1950
Bourbaki 2006 , s. IV.52, alıştırma. 1 A); Jarchow 1981 , s. 222.
Bourlès 2013

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Barreled uzay " ( yazarların listesini görmek ) .
Nicolas Bourbaki , " topolojik vektör uzayı üzerinde ," Institut Fourier Annals , , vol. 2,1950, s. 5-16 ( çevrimiçi okuyun )
N. Bourbaki , Topolojik vektör uzayları: Bölüm 1 ila 5 , Springer,2006, 368 p. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(en) Henri Bourlès , " Yarı namlulu alanlarda " , arxiv.org , n o 1304.0360v5,2013( çevrimiçi okuyun )
Jean Dieudonné ve Laurent Schwartz , " Uzaydaki (F) ve (LF) dualite ", Annales de Institut Fourier , cilt. 1,1949, s. 60-101 ( çevrimiçi okuyun )
(en) Alexandre Grothendieck , " Boşluklar (F) ve (DF) " , Summa Brasiliensis Mathematicae , cilt. 3, n o 6,1954, s. 57-123
(tr) Hans Jarchow , Yerel Dışbükey Uzaylar , Stuttgart, Teubner,bin dokuz yüz Seksen bir, 548 p. ( ISBN 3-519-02224-9 )
(tr) Gottfried Köthe , Topolojik Vektör Uzayları I , Springer Verlag,1969( çevrimiçi okuyun )
(en) François Treves , Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Dover Publications Inc.,2007, 565 s. ( ISBN 978-0-486-45352-1 ve 0-486-45352-9 , çevrimiçi okuma )