Kesirli ideal

Gelen matematik ve daha kesin olarak bir halka teori , bir kesirli doğru bir tanımı bir genellemedir idealdir . Bu kavram kökenini cebirsel sayı teorisine borçludur . Bazı Diophantine denklemlerini çözmek için , bu teori göreceli tam sayıları genelleyen tamsayı halkaları kullanır . Bu (üniter) halkalar bir eşdeğeri yok genel olarak aritmetik temel teoremi ve faktör tek bir ürün içine bir tamsayı mümkün değildir hariç ana faktörler için tersinir elemanları grubu . İdealler, belirli Diophantine denklemlerinin çözülmesine veya Gauss tarafından oluşturulan ikinci dereceden karşılıklılık yasasına eşdeğer karşılıklılık yasalarının oluşturulmasına izin vererek bu teoremin bir eşdeğerini sağlar .

İdeallerin bir çarpımı vardır, bu işlem birleştiricidir ve tüm halkadan oluşan nötr bir unsur vardır. Öte yandan, tersinin olmaması, tüm ideallerin bir grup yapısıyla donatılmasını engelliyor . Tam sayı halkaları söz konusu olduğunda, yapı bir baypas sağlamak için tüm doğru özelliklere sahiptir. Bu konfigürasyon, bir Dedekind halkasının tanımında aksiyomatikleştirilmiştir . İlk olarak, halka toplam kesir halkasına daldırılır , ardından ideal kavramı genelleştirilir.

Bu fikir aynı zamanda cebirsel geometride de kullanılır .

Tarih

Tarafından bir girişimde Leonhard Euler çözmek eğer Fermat'ın son teoremini n 3 eşittir onu formun numaralarını dikkate potansiyel bir + b $i$ √ 3 , bir ve b olan tamsayılar ve $ben$ hayali birim . Kanıtı yanlıştır: Böyle bir halka faktöriyel değildir , yani asal çarpanları kullanarak bir sayıyı çarpanlarına ayırmanın benzersiz bir yolu yoktur. Örneğin, 4 hem 2 tamsayısının karesidir hem de çarpım (1 + $i$ √ 3 ) (1 - $i$ √ 3 ). Uygulama biraz hantalsa, fikir iyi bir fikir olabilir. Gauss bunu a + $i$ b formundaki sayıların halkasını inceleyerek gösterir , burada a ve b tam sayılardır. Öyle Öklit ve iyi çarpanlara vardır. Gotthold Eisenstein , Euler'in kanıtını titiz kılmak için "doğru" yüzüğü keşfeder . A + $j$ b formundaki sayılardan oluşur; burada $j$ , birliğin küp kökünü belirtir , aynı zamanda Öklid olduğu ortaya çıkar.

Genel durumda, tamsayı halkaları için bir Öklid yapısı bulmayı ummak boşunadır. Ernst Kummer , ikinci engel olarak tanımladığı bunun altında yatan nedeni anlıyor . Cebirsel tamsayıların halkalarında tamsayıların eşdeğerleri yeterince "çok sayıda" değildir. Buna göre ideal sayılar dediği şeyi ekler . Bu keşif, 37, 59 ve 67 hariç 100'den küçük tüm n değerleri için Fermat'ın büyük teoremini kanıtlamasına olanak tanır .

Kummer, Q [ζ n ] alanının cebirsel tam sayılarını analiz eder ; burada ζ n , şimdi siklotomik uzantı olarak adlandırılan bir yapı olan birliğin ilkel kökünü ifade eder . Richard Dedekind ve Leopold Kronecker , teoriyi rasyonel sayıların herhangi bir sonlu uzantısına genelleştirmeye çalışırlar . Yaklaşımlarına karşı çıkıyor: Kronecker, Gauss tarafından kurulan ve ardından Kummer tarafından kurulan hesaplama geleneğinin bir parçası, Dedekind ise etkili bir algoritması olmasa bile tamsayı halkalarının yapısal özelliklerine dayanan bir teori arıyor . Bu felsefe, onun sayı teorisi üzerine tezini dört kez yeniden yazmasına yol açtı. 1876 versiyonu ideal ve kesirli idealin modern tanımını içerir. Soyut yaklaşımı onu ideallerin cebirsel yapısını ve özellikle çarpımlarını incelemeye sevk eder. Kesirli ideallerin eklenmesi, bir tersinin varlığını sağlar. İncelemesinin 1894 tarihli son versiyonu , temel aritmetiğin teoreminin yerini alan ayrıştırmanın benzersizliğini genel olarak ve modern biçiminde gösterir .

Tanımlar

Bu makalede boyunca, bir bir belirtmektedir değişmeli (yekpare) bir halka ve K onun parçalarının toplam halka : eğer bir (çoğu zaman durum olacaktır) ayrılmaz bir parçasıdır, K nedenle fraksiyonların alan bir A , ve genel durumda, K olan lokalize bir halka S -1 A bölgesinin A alt-kümesi ile ilgili olarak S normal elemanların ( örneğin, non- sıfır bölücüler ).

Bir alt bir Modül M arasında K söylenen tersi bir alt varsa bir Modül , N , öyle ki , MN = A , MN belirtmektedir alt modül ürün ürünleri elemanlar tarafından üretilen M ve N .
Bir kısmi doğru bir A bir parçası olan K formu d -1 J burada d düzenli bir üyesi olan bir ve J , bir yere ait A . Başka bir deyişle, bir alt olan A - Modül M ait K normal bir özelliği vardır, öyle ki bir of A kendisi için dM dahildir A .
Bu gibi kısmi doğru söylenen asıl o ( 'deki gibi üretilir ise bir bir eleman, yani bu formu olup olmadığını ile Modül) arasında -1 J J a, temel ideal bir A .

Bu yanlış isim dikkatine: bir fraksiyonel ideali A daima bir ideal değildir A . Aslında idealleri A , aynen onun fraksiyonel idealleri arasında yer olanlardır A .

Hemen fark ederiz ki

herhangi ters çevrilebilir alt- A Modül ait K olan bir fraksiyonel ideal
tersinir kesirli idealler kümesi , nötr olan A halkasının kendisi olan değişmeli bir grup oluşturur (yukarıda tanımlanan ürün için),
her tersinir kesirli ideal, A -modülü olarak sonlu tiptedir , başka bir deyişle, J sonlu tip ideal ile d −1 J biçimindedir . Özellikle, herhangi bir tersinir A ideali , sonlu tiptedir,
kesirli doğru eğer F daha sonra ters (bu not tersinirdir F -1 sub) bir Modül K elementleri oluşur k şekilde kF dahildir A . Başka bir deyişle: F , ancak ve ancak bu alt modül tarafından çarpımı A bütüne eşitse tersinirdir .

Dedekind halkalarının karakterizasyonu

Pek çok yazar tarafından benimsenen ve Dedekind Ring makalesinde ele alınan bir Dedekind halkasının tanımı şudur: sıfır olmayan herhangi bir asal idealin maksimal olduğu integral, noetherian , tamamen kapalı (değişmeli birim) halkadır . Burada tekrar ele alıyoruz, ancak Dedekind'e (sıfır olmayan herhangi bir idealin tersine çevrilebilir olduğu halka) bağlı olana eşdeğer olduğunu göreceğiz, idealler açısından temel teoremin bir analoğunun amacına daha uygun olduğunu göreceğiz. aritmetik .

Teorem - Aşağıdaki özellikler eşdeğerdir:

A bir Dedekind halkasıdır,
A'nın sıfır olmayan herhangi bir asal ideali tersine çevrilebilir,
A'nın sıfır olmayan herhangi bir ideali tersine çevrilebilir,
Bir bütünleşik olan ve sıfır olmayan herhangi bir yere , A maksimal idealler ürünüdür
Bir dürüst ve her İdeal A asal ideallerinin bir ürünüdür.

Dahası, eğer A bir Dedekind halkası ise, sıfır olmayan herhangi bir idealin asal ideallerin bir ürününe ayrışması benzersizdir (faktörlerin sırasına kadar).

Gösteri

${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ : Ya P sıfırdan farklı bir A idealidir . Lokalize bir P a, değerleme halka gizli bir element olduğu, yani ana t ait P ideali üreten PA P için bir P bu demek ki, p dahildir tA P .

Buna ek olarak, bir olduğunu Noetherian ya ( s 1 , ..., p r ) sonlu üreten p . Her p ı ait tA P , yani içinde vardır , A , bir elemanın bir ait olmayan P , öyle ki ( a / t ) p ı ait A ve böylece, (A / T) .P dahildir A .

Kesirli ideal Q = A + ( a / t ) A'yı tanımlayın ve bunun P'nin tersi olduğunu doğrulayın . Yapım gereği QP , A içeren P'nin idealidir . Aynı zamanda P'de olmayan ( a / t ) t = a öğesini de içerdiğinden ve P maksimum olduğundan, QP = A olduğu sonucunu çıkarırız .

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ : Saçmalığı 2 doğru ve 3 yanlış varsayarak mantık yürütelim. Hipotez 2, her asal idealin, A'nın Noetherian olması için yeterli bir koşul olan sonlu tipte olduğunu ima eder . Hipotez 3 yanlıştır, daha sonra bütün olarak (boş olmadığı varsayılır) sıfır olmayan ve tersinir olmayan idealler, bir maksimal eleman P'yi seçer . Bize (saçma sonuçlandırmak için) böyle göstereyim P alalım: asal öyle ki ve bize göstermektedir edelim . Bunun için ideal olanı düşünün : Kesinlikle P içerir, bu nedenle tersinirdir ve PQ −1 , A'nın bir idealidir ( P gibi ) ve P içerir , bu nedenle P'ye eşittir (ikincisinin seçimine göre). Bununla birlikte, aynı zamanda b içerir ( P , bQ içerdiğinden ). Yani . ${\ displaystyle a, b \ A’da}$ ${\ displaystyle a \ notin P}$ ${\ displaystyle ab \ P’de}$ ${\ displaystyle b \ P’de}$ ${\ displaystyle Q = P + aA}$ ${\ displaystyle b \ P’de}$

${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$ + ilklerde ayrışmanın benzersizliği : Hipotez 3, A'nın bir integral (çünkü sıfır olmayan temel idealler tersine çevrilebilir) ve noetherian (sonlu tipte herhangi bir tersine çevrilebilir ideal varlık) olduğunu ima eder . Let olmam bir sıfır olmayan ideal bir A bize o maxima'nın bir ürünü olduğunu göstereyim. A'ya eşitse , öyledir (vakumla indekslenmiş bir ürün formunda). Aksi takdirde, I içeren bir maksimal ideal olun : sıfır değildir, bu nedenle tersine çevrilebilir ve kesinlikle I içeren bir A idealidir . Bu şekilde biçim ideallerin kesin artan sıra inşa doğal sayısı vardır yani (noetherianity ile) sonlu, n, öyle ki bu nedenle, . Şimdi göstermek edelim ki eğer ile asal sonra m = n ve (yukarı permütasyonu kadar) . Eğer m = 0 o hemen. Aksi takdirde, asal olduğundan ve ürünü içerdiğinden, bunlardan birini içerir, örneğin bu nedenle (en fazla ) . Başlangıç denklemini onunla çarparak, (yineleyerek) istenen sonuç kalır . $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1} = A}$ ${\ displaystyle I = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {1} \ ldots P_ {m} = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $P_i$ ${\ displaystyle (P_ {1}, \ ldots, P_ {n}) = (M_ {1}, \ ldots, M_ {n})}$ $P_ {1}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle P_ {1} = M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle P_ {2} \ ldots P_ {m} = M_ {2} \ ldots M_ {n}}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 5}$ : Hemen.

${\ displaystyle 5 \ Rightarrow 2}$ : cf.

Bourbaki AC VII § 2 egzersiz 9 veya
(fr) Pierre Samuel ve Oscar Zariski , Değişmeli cebir , cilt. 1 böl. V § 6 teoremi 10 veya tekrar
Teorem 11.149 (Matusita'ya atfedilir) Szpirglas'ta

(bu üç kaynakta argümanlar aynıdır).

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 1}$ : Hipotez 2 altında (3, 4, 5 ve asaldaki ayrışmanın benzersizliğini içerir), A'nın noeteryen olduğunu ve bütünleştiğini zaten gördük . Ayrıca (bakınız paragraf değerlemesi altında) her sıfır olmayan asal yere ilişkilendirebileceğiniz P arasında A değerleme v P ile K , öyle ki bir ilişkili değerleme halkaların kesişmesidir. Bu nedenle tamamen kapalıdır ( Element makalesinin tamamına bakın ). Herhangi bir sıfır olmayan asal ideal P maksimumdur (maksimumda bir ayrışmanın varlığı ve asallarda ayrışmanın tekliği ile). Böylece, A , bir Dedekind halkası olmak için gerekli tüm özellikleri karşılar.

Hemen ardından, eğer A bir Dedekind halkası ise:

tersinir fraksiyonel idealler grubu, umulabilecek en büyük olanıdır: sıfır olmayan tüm kesirli ideallerin Fr ( A ) kümesinden oluşur (çünkü böyle bir ideal d −1 J = J (dA) biçimindedir - 1 ile J ideali A değildir sıfır A dolayısıyla ters çevrilebilir);
grubu Cu ( A ) olan serbest değişmeli grubu seti P ( A ) bir sıfır olmayan asal idealin A , yani, herhangi bir kesirli doğru pozitif güçleri ya da asal idealin negatif sınırlı bir ürün (eşsiz bir şekilde parçalanır Kesirli idealler için böylesi bir ayrışmanın varlığı, idealler için olandan ve kesirli bir idealin yukarıdaki yazısından çıkarılır; benzersizlik ayrıca, ürüne göre, pozitif güçlere indirgeyerek);
kesirli İdeal bir idealdir A ve tüm güçler, asal ideallerin ürünü içine ayrışma içinde, olumlu yalnızca, (anında ise “eğer”, “yalnızca” teoremin ucundan çıkarılır) eğer.

Değerleme

Burada, A'nın önceki teoremin 2. özelliğini ve tüm sonuçlarını (özellikler 3'ten 5'e, bütünlük, yokluk, ilklerde ayrıştırmanın benzersizliği) karşılayan bir halka olduğunu varsayıyoruz . Bu teoremde 2 ⇒ 1 ispatını tamamlamamıza izin veren A üzerindeki değerleri açıklayacağız . İlk olarak, sıfır olmayan asal ideal P'yi düzeltiriz :

{\ displaystyle P \ P (A)}

Kesirli ideallerin asal çarpanlara ayrılmasının benzersizliği, doğal sayılar veya rasyonel sayılarda olduğu gibi, çarpımsal grup Fr ( A ) üzerinde bir değerleme tanımlamaya izin verir :

Kesirli ideal F sıfırdan farklı, üslü P üsünü asal ideallere dönüştüren ve sonsuz değerin sıfır idealini birleştiren v P uygulamasına Fr ( A ) P üzerinde değerleme denir .

{\ displaystyle v_ {P_ {i}} \ sol (\ prod _ {j = 1} ^ {n} P_ {j} ^ {\ alpha _ {j}} \ sağ) = \ alpha _ {i} \ quad {\ text {ve}} \ quad v_ {P} (\ {0 \}) = \ infty.}

Önceki paragrafın sonuçlarından, bunu hemen herkes için çıkarıyoruz : ${\ displaystyle F, Fr (A) cinsinden G \}$

${\ displaystyle v_ {P} (F \ cdot G) = v_ {P} (F) + v_ {P} (G)}$
${\ displaystyle v_ {P} (F + G) = \ min {\ büyük (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ büyük)}}$
${\ displaystyle v_ {P} (F \ cap G) = \ max {\ büyük (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ büyük)}}$

Bu, v P'yi sıfır olmayan temel kesirli ideallerle sınırlayarak K üzerinde bir değerleme tanımlamayı mümkün kılar :

Bir öğe için uygulama k fraksiyonu K arasında bir ortakları v P ( kA ) olarak adlandırılır K P değerlendirilmesi . Bu uygulama hala v P olarak ifade edilmektedir .

{\ displaystyle \ forall k \ içinde K ^ {*}, \; v_ {P} (k) = v_ {P} (kA) \ quad {\ text {ve}} \ quad v_ {P} (0) = \ infty.}

On K , değerlemelerin ailesi ( v P ), P şimdi set geçtiği P ( A sıfır olmayan asal idealler, ayrıca karşılar):

Sıfır olmayan herhangi bir eleman için, x, bir A , v P ( x ) Sadece ideallerin sonlu grubu için kesinlikle pozitiftir (ve diğerleri için sıfırdır). ${\ displaystyle P \ P (A)}$

Başka bir deyişle, x yalnızca sınırlı sayıda asal ideale aittir.

"Yaklaşım teoremi": Farklı olalım ve . Öyle var ki ${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {q} \ P (A)}$ ${\ displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {q} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {q} \ K içinde}$ $K \ cinsinden k$

{\ displaystyle {\ text {her şey için}} i \ in [1, q], \ quad v_ {P_ {i}} (k-k_ {i}) \ geq n_ {i} {\ text {ve}} }

{\ displaystyle {\ text {pour tout}} P \ in P (A) {\ text {farklı}} P_ {i}, \ quad v_ {P} (k) \ geq 0.}

İdeal Sınıflar Grubu

Temel sıfır olmayan kesirli idealler, sıfır olmayan kesirli idealler grubunun bir alt grubudur. Bölüm grubu denir sınıf grup . Eğer bir bir cebirsel tamsayılar halkadır sayı alanının daha sonra sınıfları, grup sonlu düzeyindedir. Bu sonuç, Diophantine denklemlerini çözmeyi sağlayan anahtarlardan biridir ve özellikle Fermat'ın son teoremi ile ilgili olanıdır .

Tüm bu özellikler, ikinci dereceden tamsayıların daha basit çerçevesinde, ikinci dereceden bir alanın tamsayılar halkası İdeal makalesinde incelenmiştir .

Notlar ve referanslar

Notlar

John Horton Conway ve Richard Guy , The Book of Numbers , Eyrolles, 1998 ( ISBN 9782212036381 ) .
(in) HM Edwards , " Kummer'in düzenli primler için Fermat'ın Son Teoreminin kanıtının arka planı " , Arch. History Exact Sci. , cilt. 14, n o 3,1975, s. 219-236 ( DOI 10.1007 / BF00327448 ).
E. Kummer, "Karmaşık Sayılar Teorisi Üzerine", CRAS , 1847.
Metin (en) Dedekind'in idealler teorisinin 1871 versiyonunun girişinde Jeremy Avigad , 2004 tarafından bir analiz sunulmaktadır .
Dedekind 2006 .
(De) R. Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Bourbaki AC , II § 1, egzersiz 6.
Jean-Pierre Serre , Yerel kolordu [ basımların ayrıntıları ] s. 23 , veya Bourbaki AC , VII § 2, n O , 4.

Referanslar

Tarihi

(en) HM Edwards, Divisor Theory , Birkhäuser, Boston, 1990 ( ISBN 978-0-81763448-3 )
R. Dedekind ( çev. C. Duverney), Sayı teorisi üzerine inceleme , Cenevre, Tricorne,2006( ISBN 2829302893 ) - Dedekind'in kitabı kesirli idealin tanımını veriyor.

Matematik

N. Bourbaki , Matematiğin Elemanları : Değişmeli cebir
(tr) GH Hardy ve EM Wright , Sayıların teorisine Giriş ( 1 st ed. 1938) [ Perakende Editions ]
Pierre Samuel , Cebirsel sayı teorisi [ baskının detayı ]
Jean-Pierre Serre , Aritmetik kursu ,1970[ basımların ayrıntıları ]
Aviva Szpirglas, Cebir L3: Kursu 400 test ve düzeltilmiş alıştırmalarla tamamlayın [ sürümlerin ayrıntıları ], özellikle Lionel Ducos ( Poitiers Üniversitesi ) tarafından çevrimiçi olarak yayınlanan İdealleri Ters Çevirmek - Dedekind Halkaları bölümü , bu kitaba katkıda bulunmaktadır.

Dış bağlantı

Bas Edixhoven ve Laurent Moret-Bailly, Cebirsel sayılar teorisi, master kurs matematik , Rennes 1 Üniversitesi ,2004( çevrimiçi okuyun )