Uzay-zaman aralığı

Kare bir uzay-zaman aralığı arasında iki etkinlik de uzay-zaman ve özel görelilik veya genel olarak, iki nokta arasındaki geometrik uzaklığın karesi eşdeğerdir Öklid alanı . Bu miktar bir değişiklik ile değişmez referans çerçevesi arasında bir gözlemci .

Ne zaman kare iki arasındaki uzay-zaman aralığının olaylar pozitif veya sıfır (terim kare yalnızca resmen burada kullanıldığında), sonra iki olay bir tarafından bağlanabilir neden-sonuç bağlantısı ve tanımladığı uzay-zaman aralığı ( alarak karekökünü ) mümkün tanımlamak için yapar doğru zaman bu iki olay arasında.

Tüm kare iki ile, uzay-zaman aralığının olaylar kesin olarak olumsuz, sonra ne diğer neden olabilir ve uzay-zaman aralığı tanımlanmamış (ya da en iyi bir olarak bir sanal sayı ), ancak alarak kare karenin tersinin kökü bu olaylar arasında uygun mesafeyi elde ederiz .

Kare uzay-zaman aralığının psödo-metrik tanımı olarak hizmet Minkowski'nin alan özel görelilikte, hem de sonsuz sözde-metrik Genel rölativitenin kavisli alanı.

Özel görelilik ifadesi

Üç boyutlu Öklid uzayında, bir ortonormal Kartezyen koordinat sistemine göre ( x A , y A , z A ) ve ( x B , y B , z B ) koordinatlarının A ve B iki noktası arasındaki mesafenin karesi şu şekildedir : şu şekilde ifade edilir: Δl{\ displaystyle \ Delta l}

(Δl)2=(xB-xAT)2+(yB-yAT)2+(zB-zAT)2,{\ displaystyle \, (\ Delta l) ^ {2} = (x _ {\ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} + (y _ {\ text {B} } - y_ {\ text {A}}) ^ {2} + (z _ {\ text {B}} - z _ {\ text {A}}) ^ {2} \ ,,}

genellikle daha yoğun bir şekilde yazılanlar

Δl2=Δx2+Δy2+Δz2.{\ displaystyle \ Delta l ^ {2} = \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \,.}

Açıktır ki, klasik fizikte bu miktar, referans çerçevesinin değişmesiyle değişmez. Ancak bu artık göreceli fizikte geçerli değildir.

Özel uzay-zaman geometride görelilik biz belirtildiği gibi, "uzay-zaman aralığının kare" geç iki olay A ve koordinat B arasında, ( t A , x A , Y A , Z bir ve () t B , x B , y B , z B ) şeklinde dört boyutlu bir uzay-zamanda (bir zaman, yani t ve uzay üç) Δs2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}}

(Δs)2=vs2(tB-tAT)2-(xB-xAT)2-(yB-yAT)2-(zB-zAT)2{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = \, c ^ {2} (t _ {\ text {B}} - t _ {\ text {A}}) ^ {2} - (x _ { \ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} - (y _ {\ text {B}} - y _ {\ text {A}}) ^ {2} - (z _ {\ text {B}} -z _ {\ text {A}}) ^ {2}}

veya

Δs2=vs2Δt2-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

c 2 faktörünün ( ışık hızının karesi) Lorentz dönüşümleri veya özel görelilik ilkeleri tarafından empoze edildiği ifade , eylemsizlik referans çerçevesinin değişmesiyle değişmezliğini gerekçelendirmek için kullanılan yönteme göre .

Belirtilen sözde metrik , işaret kuralına göre veya buna göre tanımlanır veya seçilir.  Δs{\ displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs2(Δt)2+(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs2(Δt)2-(Δx)2-(Δy)2-(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Değişmezlik

Uzay-zaman aralığının karesinin eylemsizlik referans çerçevesinin değişmesiyle değişmezliği, özel göreliliğin temel bir özelliğidir . Seçilen sunum bağlı olarak, bu değişmezliği olarak sunulamaz kurucu aksiyomunun teorinin veya görelilik orijinal varsayımlarına, yani doğrudan çıkarılabilir görelilik ilkesi ve değişmezliği ışık hızının değişmesi ile eylemsizlik çerçeve içinde referans , ya da eylemsizlik referans çerçevesinin değişmesi sırasında koordinatları dönüştüren Lorentz dönüşümlerinden çıkarılır (bu dönüşümler, özel göreliliğin iki orijinal ilkesinden çıkarılabilir). Hermann Minkowski'den bu yana , teorinin bazı sunumları ilk iki seçenekten birini seçiyor ve dördüncü boyutta (uzayda üç ve zamanda) tamamen geometrik bir bakış açısı benimsiyor . Üçüncü seçenek, teorinin tarihsel gelişimine daha çok karşılık gelir.

Özel göreliliğin iki aksiyomundan bir değişmezliğin kanıtı

İki aksiyom şunlardır: görelilik ilkesi ve ışık hızının referans çerçevesi değişikliğiyle değişmezliği ( burada ele alınan tüm referans çerçeveleri gibi eylemsizlik).

• Bir depo, iki etkinlik uzamsal mesafede ayrılır ise ve zamansal mesafe olacak şekilde , ışık hızı, o zaman vardır: . Δl{\ displaystyle \ \ Delta l} Δt{\ displaystyle \ \ Delta t}|Δl/Δt|=vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | \, = c} Δs2=vs2Δt2-Δl2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0}

Aynı iki etkinlik referans düzlemine de görüldüğü takdirde, o zaman, mekansal ve zamansal uzaklık vardır ve ile, ikinci aksiyomu göre bu diğer çerçevesindeki aynı değere sahip ışık hızı. Bu referans çerçevesinde de şunu anlıyoruz: Δl′{\ displaystyle \ \ Delta l '} Δt′{\ displaystyle \ \ Delta t '}|Δl′/Δt′|=vs{\ displaystyle | \ Delta l '/ \ Delta t' | \, = c} Δs′2=vs2Δt′2-Δl′2=0{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = c ^ {2} \ Delta t' ^ {2} - \ Delta l '^ {2} = 0} Dolayısıyla, bir referans çerçevesinde varsa , diğerinde de aynıdır. Δs2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 0}

• Referans, her çerçeve içinde ve yeterince yakın olaylardan herhangi çifti için, ve referans çerçevelerinin değişiklikler, sabit katsayılar ile afin fonksiyonları, aralarında, bu nedenle ilişkiler, çünkü aynı büyüklükte sonsuz küçüktür referans bir çerçeve için, diğeri doğrusal veya afin. ve bu nedenle bir dizi vardır, eşzamanlı olarak birbirini iptal olacak şekilde . Bu sayı, iki referans çerçevesinin göreceli konumuna bağlı olamaz çünkü uzay-zamanın homojen olduğu varsayılır , bu nedenle yalnızca iki referans çerçevesinin göreceli hızına bağlıdır. Ancak bu hızın yönüne bağlı olamaz çünkü uzay-zamanın izotropik olması gerekiyordu . Bu yüzden sadece göreli hız, ya da karenin mutlak değerine bağlıdır: . Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}} Δl,Δt{\ displaystyle \ \ Delta l \ ;, \ Delta t} Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}}-de{\ displaystyle a} Δs2=-de.Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a. \ Delta s '^ {2}} -de=-de(v2){\ displaystyle \ a = a (v ^ {2})}
• Üç referans çerçevesi düşünüldüğünde, orada yasaların aynı olduğunu dayatan görelilik ilkesine sahibiz: ve . Böylece . Şimdi arasındaki açıya bağlıdır ve , açı müdahale değil . Dolayısıyla, referans çerçevelerinin göreceli hızına bağlı olmayan sabit bir sayıdır. Δs2=-de(v2).Δs′2,{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v ^ {2}). \ Delta s '^ {2} \ ,,}  Δs′2=-de(v′2).Δs″2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = a (v' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} Δs2=-de(v″2).Δs″2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v '' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} -de(v″2)=-de(v2).-de(v′2){\ displaystyle \ a (v '' ^ {2}) = a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} v″2{\ displaystyle \ v '' ^ {2}} v{\ displaystyle \ v} v′{\ displaystyle \ v '}-de(v2).-de(v′2){\ displaystyle a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} -de(v2)=-de{\ displaystyle \ a (v ^ {2}) = a}
• Gibi , biz var . Δs2=1.Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 1. \ Delta s ^ {2}} -de=1{\ displaystyle \ a = 1}

Sonuç . Kare uzay-zaman aralığının referans çerçevesinin değişimi ile değişmez. Δs2=Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = \ Delta s '^ {2}}   Klasik biçimde yazılmış Lorentz dönüşümlerinden gelen değişmezliğin bir kanıtı

Daha fazla okunabilirlik için problemi iki boyuta indirgiyoruz, bu nedenle uzamsal dönüşlerle ilgili ayrıntıları ihmal ediyoruz.

İki referans çerçevesini göz önünde bulundurarak ve tekdüze doğrusal çeviride biri diğeriyle hızda karşılaştırıldığında , kullanılan Lorentz dönüşümleri şunlardır: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '} v{\ displaystyle \ v}

 {vsΔt′=γ(vsΔt-βΔx)Δx′=γ(Δx-β.vsΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz {\ displaystyle \, ~ \ sol \ {{\ başlar {matris} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ sağ) \\\ Delta x' = \ gamma \ sol (\ Delta x- \ beta .c \ Delta t \ sağ) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matris}} \ sağ. \, ~}ile ve ,β=vvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=1/1-β2{\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} Bazı basit cebirsel hesaplamalarla şunu gösteriyoruz: vs2Δt′2-Δx′2-Δy′2-Δz′2=vs2Δt2-Δx2-Δy2-Δz2,{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} - \ Delta y '^ {2} - \ Delta z' ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} - \ Delta z ^ {2} \ ,,}   Hiperbolik fonksiyonlar kullanılarak ifade edilen Lorentz dönüşümlerinin değişmezliğinin bir kanıtı

Aşağıdaki hesaplama, Lorentz dönüşüm formülleri ile uzay-zaman aralığının karesinin değişmezliği ve bir formalizmden diğerine geçiş olasılığı arasındaki yakın ilişkiyi göstermektedir .

Öklid geometrisinde, Oz ekseni etrafında koordinat sisteminin θ açısının dönüşü, iki nokta arasındaki mesafeyi değişmez bırakır. Koordinat ekseninin değiştirilmesi için formülleri bu dönüşe karşılık gelen ve eskiler yazılır göre yeni koordinatlar elde edilmiştir:

{x′=xçünküθ+ygünahθy′=-xgünahθ+yçünküθz′=z.{\ displaystyle {\ begin {case} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \\ z '= z \ ,. \ end {vakalar}}}

Bu nedenle, iki nokta A ve B arasındaki koordinat farklılıkları olur

{Δx′=Δxçünküθ+ΔygünahθΔy′=-Δxgünahθ+ΔyçünküθΔz′=Δz.{\ displaystyle {\ begin {case} \ Delta x '= \ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta \\\ Delta y' = - \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta \\\ Delta z '= \ Delta z \ ,. \ End {durumlar}}}

Çıkarabiliriz

(Δx′)2+(Δy′)2+(Δz′)2=(Δxçünküθ+Δygünahθ)2+(-Δxgünahθ+Δyçünküθ)2+(Δz)2≡(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2,{\ displaystyle (\ Delta x ') ^ {2} + (\ Delta y') ^ {2} + (\ Delta z ') ^ {2} = (\ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta) ^ {2} + (- \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ equiv (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ,,}

Bu kareler toplamının değişmezliğini açıkça gösteren formül.

Özel görelilikte Lorentz dönüşümleri, “sabit” sistemden Ox ekseni boyunca v hızıyla canlandırılan bir sisteme geçişi mümkün kılar . Açısal parametreyi kullanarak θ tanımlanmış

β=v/vs, β=tanh⁡θ{\ displaystyle \ beta = v / c \ ,, \ \ beta \, = \, \ tanh \ theta}   dır-dir   θ=-det-dedeğilhβ{\ displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \ beta}

Lorentz'in formülleri, trigonometrik fonksiyonların hiperbolik fonksiyonlarla değiştirilmesinin dışında eksen rotasyon formülleri gibi yazılmıştır. Biz ifadeleri  :

{vst′= vstcoshθ-xsinhθx′=-vstsinhθ+xcoshθy′=yz′=z{\ displaystyle {\ begin {case} ct '= \ ct \ cosh \, \ theta -x \ sinh \, \ theta \\ x' = - ct \ sinh \, \ theta + x \ cosh \, \ theta \ \ y '= y \\ z' = z \ end {vakalar}}}

Bu nedenle iki olayı ele alırsak, koordinat farklılıkları şu şekilde dönüşecektir:

{vsΔt′= vsΔtcoshθ-ΔxsinhθΔx′=-vsΔtsinhθ+ΔxcoshθΔy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle {\ başlar {durumlar} c \ Delta t '= \ c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta \\\ Delta x' = - c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {vakalar}}}

Şu sonuca varabiliriz:

(vs.Δt′)2-(Δx′)2-(Δy′)2-(Δz′)2=(vsΔtcoshθ-Δxsinhθ)2-(-vsΔtsinhθ+Δxcoshθ)2-(Δy)2-(Δz)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta x') ^ {2} - (\ Delta y ') ^ {2} - (\ Delta z') ^ {2} = (c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta) ^ {2} - (- c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta ) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2} \,.}

Gibi

(cosh⁡θ)2-(sinh⁡θ)2=1{\ displaystyle \, (\ cosh \ theta) ^ {2} - (\ sinh \ theta) ^ {2} = 1}

ilan edilen değişmezlik formülüyle sonuçlanırız

(vs.Δt′)2-(Δl′)2=(vs.Δt)2-(Δl)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta l') ^ {2} = \, (c. \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta l) ^ { 2} \,.}  

Olaylar arasındaki ilişki

İki olay arasındaki uzay-zaman aralığının karesi üç farklı türde olabilir:

• zaman gibi
• boşluk türü
• nazik ışık.

Cinsi bir uzay-zaman aralığı kare olan işaretine bağlıdır, ve referans atalet çerçevesinin değişimi ile değişmez olduğu için, uzay-zaman aralığının cinsi bir gözlemci için aynı olacaktır. Böylece, iki olayın bir uzay-zaman aralığı karesi veya ışık türü ile ayrılması durumunda, doğrudan bir nedensel bağlantı ile bağlanabileceklerini , diğer yandan uzay tiplerinden biriyle ayrılırlarsa, yapamayacaklarını fark edebiliriz. ve bu gözlemci ve onun eylemsiz referans çerçevesi ne olursa olsun.

Nazik zaman

Zaman aralığı cΔt , uzaysal mesafeden Δl ağır basarsa, aralığın zaman türünde olduğu ve uzay-zaman aralığının pozitif olduğu söylenir :

Δs2=vs2Δt2-Δl2>0{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2}> 0}

Bu durum , ölçümlerin yapıldığı referans çerçevesinde , doğru yönde sabit hızda giden hareket eden bir cismin , ilk olay ile aynı yerde ve aynı zamanda olabileceği anlamına gelen duruma karşılık gelir. , yer değiştirmesinden sonra, ikincisininkilere. Sonuç olarak, bu mobilin çerçevesinde (eylemsizlik) iki olay aynı yerde bulunur, ancak aynı anda değil. Bu belirli referans çerçevesinde ve uzay-zaman aralığının karesinin değişmezliğine göre , iki olayı ayıran zaman farkına , onları ayıran uygun zaman denir ve aşağıdaki formülle verilir: |Δl/Δt|<vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | <c}|Δl/Δt|{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}

Δs2=vs2Δt2-Δl2 = vs2Δτ2-0,{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2 } - \, 0 \ ,,}

bu da uygun zamanın tarafından verildiğini gösterir . Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}Δτ=Δs2/vs{\ displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta s ^ {2}}} / c}

Bu zaman benzeri bir aralık durumunda , iki olay nedensel bir bağlantıyla bağlanabilir: bir olaydan diğerine oldukça hızlı hareket eden bir parçacık yoluyla veya birinden diğerine giden ışığın taşıdığı bir etki ve bu daha sonra ikinci olayı tetikleyecektir.

Çoğu durumda, Dünya'da karşılaşılan durumlar zaman tipindedir, çünkü gezegenimizin boyutları küçüktür (10.000 km mertebesinde) ve dahası, insanlar tarafından dikkate alınan olaylar genellikle sıranın sürelerini içerir. en azından ikinci. Bu, tüm olayların birbiriyle nedensel bir bağı olduğu anlamına gelmez, ancak fiziksel olarak bir birine sahip olma ihtimalinin yüksek olduğu anlamına gelir.

Boşluk türü

Uzamsal aralık Δl , c intert zaman aralığından ağır basarsa , aralığın uzay tipinde olduğu ve uzay-zaman aralığının karesinin negatif olduğu söylenir :

Δs2 = vs2Δt2-Δl2<0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} <0 \,.}

Bu durum , ölçümlerin yapıldığı referans çerçevesinde, ışık hızından daha düşük hızda hareket eden hiçbir cismin veya herhangi bir ışık sinyalinin aynı yerde ve aynı anda olamayacağı duruma karşılık gelir. ilk olaydan daha sonra, yer değiştirmesinden veya yayılmasından sonra, ikincisinin olaylarına. Bu nedenle iki olay arasında nedensel bir bağlantı olamaz . O halde olayların eşzamanlı olduğu eylemsiz bir referans çerçevesi olduğunu gösterebiliriz: bu referans çerçevesinde, iki olay arasındaki zaman farkı sıfırdır, dolayısıyla |Δl/Δt|>vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |> c}

Δs2=vs2Δt2-Δl2 = 0-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ \, 0- \ Delta l ^ {2} \ ,}

Bu durumda, referans, bu özel eylemsiz çerçevede, zaman farkı olarak adlandırılan, olaylar ve bunların arasındaki mekansal uzaklık arasında sıfır uygun mesafe , birΔl=-Δs2.{\ displaystyle \ Delta l = {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}}.}

Bu durum , merdiven paradoksunun düşünce deneyine karşılık gelir .

Işık türü

Uzay-zaman aralığının karesi sıfır ise, bu, ışığın bu iki olay arasındaki zaman atlaması sırasında iki olay arasındaki geometrik mesafeyi tam olarak kat ettiği anlamına gelir.

Δs2 = vs2Δt2-Δl2=0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0 \,.}

Duruma Bu durum karşılık ölçümler yapılmıştır referans, sadece çerçeve içinde bu, bu vasıtalar, parçacıklar arasında sıfır kütlesi , bu nedenle de giderek , ışık hızında yol , iki olay katılabilir. Işığın hızı, tüm atalet referans çerçevelerinde aynıdır, bu olaylar başka herhangi bir eylemsiz referans çerçevesinden görüldüğünde aynıdır. Bu hala iki olay arasında nedensel bir bağlantı olasılığını bırakıyor, ışık hızında bir bağlantı kuruluyor. |Δl/Δt|=vs{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | = c}

Örnek: A olayı Ay'a Dünya'dan bir lazer sinyali gönderen oluşur ve olay B Ay üzerinde bu sinyal alındıktan oluşuyorsa, A ve B arasındaki uzay-zaman aralığı mesafesi beri sıfır olacaktır AL arasında Dünya ve Ay mesafeye tam olarak eşit olacak cΔt süre içinde ışık kat ettiği ¨t . İkinci durumda, aralığın hafif tipte olduğunu söyleyebiliriz .

Zamansal düzen ve cinsiyet

Prensip olarak, fiziksel olarak gerçekçi referans çerçevesi değişiklikleri, zaman ekseninin yönelimiyle ilgilidir: bu nedenle, bir referans çerçevesinden veya diğerinden bakıldığında, bir saatin ellerinin, yalnızca bir elma düşerse dönme yönlerini değiştirmediği varsayılır. dalı birinden görülüyor, sonra diğerinden görüldüğünde geri gelmiyor. Zaman benzeri bir aralıkla ayrılırlarsa, tüm gözlemciler iki olay arasında aynı zamansal düzeni gözlemler (ancak farklı zamansal boşluklarla).

Öte yandan, bazı durumlarda, iki olay arasında gözlemlenen zamansal sıra , bir referans çerçevesinden diğerine değişebilir: iki olay, boşluk benzeri bir aralıkla ayrılırsa, gözlemlenen zamansal düzenleri, bir referans çerçevesinden diğerine değişebilir. başka. 'diğer ve aynı zamanda iki olayın eşzamanlı olduğu depolar da vardır.

Zaman cinsi için gözlemlenen zamansal düzenin değişmezliğinin bir kanıtı

Bir zaman tipi aralıkla ayrılan iki olay arasındaki zamansal düzenin referans çerçevesinin değişmesiyle değişmezlik, referans çerçevesinin değiştirilmesiyle zaman ekseninin tersine çevrilmemesi ilkesiyle totolojik eşdeğerlik içindedir.

Fakat bazı matematiksel düşüncelerle kendimizi bu değişmezliğin gerçekten de bu ilkenin bir sonucu olduğuna ikna etmek isteyebiliriz:

Fiziğin zaman ekseninin oryantasyonuna ve üç boyutlu referans çerçevelerinin oryantasyonuna saygı göstermesine izin verdiği tek referans çerçevesi değişikliği (oryantasyon sağ elinkiyle oybirliğiyle kabul edilmiştir ), bunlar aynı zamanda çerçeveden sürekli değişikliklerdir . başlangıç ​​ve öz ve ortozaman dönüşümler olarak adlandırılır .

A'dan F'ye Δ t aralığının pozitif olduğu ( t (F), t (A) ' dan büyük veya F'nin A'dan sonra olduğu) birkaç zaman tipi olayı düşünün . Bu aralığın işareti değiştirmesi için (F'nin A'dan daha erken olması) sıfır değerini geçmesi gerekir ki bu imkansızdır. Nitekim zaman aralığının kare Δ t 2'si aşağıdaki formüle göre iki karenin toplamına eşittir ,
vs2Δt2=Δs2+Δl2{\ displaystyle c ^ {2} \, \ Delta t ^ {2} \, = \, \ Delta s ^ {2} + \ Delta l ^ {2}}

burada ikinci üyenin ilk terimi kesinlikle pozitiftir (ve referans çerçevesinin değişmesiyle değişmez) ve ikinci terim, Öklid mesafesinin karesi, pozitif veya sıfırdır. Sonuç olarak, bu kare Δ t 2 iptal edilemez. Aynısı , kendisini iptal edemeyen, işareti sürekli değiştiremeyen Δ t zaman aralığı için de geçerlidir . Bu nedenle, eğer A belirli bir gözlemci için F'den önce gelirse, fiziksel olarak kabul edilebilir herhangi bir gözlemci için her zaman aynı olacaktır. Eğer A, F'den önceyse, F kendisi A'dan önce haline gelerek A üzerinde hareket edemez .   Uzay türü için gözlemlenen zamansal düzenin tersine çevrilebileceğinin bir kanıtı

Gözlemcinin referans çerçevesinde olduğu gibi A ve B olmak üzere iki olay verildiğinde ve iyi bir eksen seçimi varsayıldığında . (R){\ displaystyle (R)} Δt=tB-tAT>0{\ displaystyle \ \ Delta t = t_ {B} -t_ {A}> 0} Δx=xB-xAT>0{\ displaystyle \ \ Delta x = x_ {B} -x_ {A}> 0} x{\ displaystyle \ x}

İle x ekseni boyunca hızda çerçeveye (R) göre çeviride bir referans çerçevesi düşünün . (R′){\ displaystyle (R ')}v→=sene→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}}0<sen<vs{\ displaystyle 0 <u <c}

Göre Lorentz dönüşümleri , iki olay arasındaki zaman, depo görüntülemek : is ile: . olumlu olmak, olumsuz durum ne olacak ? Altın: . Dolayısıyla , iki olay boşluk benzeri bir aralıkla ayrılır. Tek yönlü bir ok konuşmayı engeller, ancak elimizde: öyle bir pozitif sayı var . Poz vererek , kişi elde eder ve çeviride her zaman hangi hızda bir referans oluşturabilir . (R′){\ displaystyle (R ')}
Δt′=γ(Δt-sen.Δxvs2),{\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma (\ Delta t - {\ frac {u. \ Delta x} {c ^ {2}}}) \ ,,}γ=(1-sen2/vs2)-1/2>0{\ displaystyle \, \ gamma = \ sol (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ sağ) ^ {- 1/2}> 0}
Δt{\ displaystyle \ Delta t}Δt′{\ displaystyle \ Delta t '}
Δt′<0⟺Δt<senvs2Δx⟺vs2sen<ΔxΔt.{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \;.}
0<sen<vs⟺vs<vs2sen{\ displaystyle 0 <u <c \ Longleftrightarrow c <{\ frac {c ^ {2}} {u}}}
Δt′<0⟺Δt<senvs2Δx⟺vs2sen<ΔxΔt⇒vs<ΔxΔt⟺vs2.Δt2-Δx2<0{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Longleftrightarrow c ^ {2}. \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} <0}
⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}vs<ΔxΔt⇒{\ displaystyle c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow}ϵ<1{\ displaystyle \ epsilon <1}vs<ϵ.ΔxΔt<ΔxΔt{\ displaystyle c <\ epsilon. {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}} sen=vs.ϵ<vs{\ displaystyle \ u = c. \ epsilon <c}vs2sen<ΔxΔt{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {u}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}(R′){\ displaystyle (R ')}v→=sene→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}} Δt′<0{\ displaystyle \ \ Delta t '<0}

Bu şekilde, iki olayın eşzamanlı olduğu bir referans çerçevesi de belirleyebileceğimize dikkat edin.  

Işık konisi

Bir çalışma nesnesi olarak belirli bir O olayını sabitlersek, uzay-zamanı O'dan zaman benzeri bir uzay-zaman aralığı ile ayrılan olayları, O'dan bir ışık türü ile ayrılan olayları gruplayarak bölgelere bölebiliriz. ve O'dan bir uzay türü ile ayrılanlar. Bu dört boyutlu uzay-zaman bölümü üç boyutlu bir koni şeklini alır: iç kısım birinci duruma, kenar ikinciye ve dış kısım üçüncü duruma karşılık gelir. Bu bölgeler, O olayı ile farklı nedensel bağlantı olasılıklarına karşılık gelir.

Elbette, her olayın kendi ışık konisi vardır.

Temsil etmenin zorluğu, bir olayı karakterize etmek için bir zaman ve üç uzay olmak üzere dört koordinatın gerekli olması ve üç boyutlu uzayımızda dört koordinatlı bir noktayı temsil etmenin imkansız olmasıdır. Grafik için, bu nedenle uzamsal boyutların sayısını 2'ye düşürüyoruz.

Metrik

Özel görelilik uzay-zaman, uzay-zaman aralığının karesi tarafından, referans çerçevesinin değişmesiyle değişmeyen bir tür mesafe ile donatılır. Bu açıdan bakıldığında, uzay-zaman aralığının olarak kabul edilebilir metrik alanı ve göreceli teorinin matematiksel özelliklerinin bir dizi gösterilmektedir olan alan.

Uzay-zaman aralığının karesini hesapladığımız iki olay A ve B çok yakın olduğunda, koordinatları sadece sonsuz küçük miktarlarda farklılık gösterir . Bu değerlendirme, uzayı afin olan özel görelilikte gereksizdir , ancak alanı titizlikle tanımlanamayan, ancak sonsuz küçük öğelerin tanımlanabildiği ve uzaya, teğete ait olduğu eğri bir çeşitlilik olan genel görelilik için gereklidir . (dxμ)=(vsdt,dx,dy,dz){\ displaystyle \ scriptstyle (dx ^ {\ mu}) \, = \, (c \, dt, dx, dy, dz)} (Δxμ){\ displaystyle \ scriptstyle (\ Delta x ^ {\ mu}) \,}(dxμ){\ displaystyle (dx ^ {\ mu})}

Özel görelilik olarak, aralık karesi sonsuzküçük uzay-zaman o zaman: . ds2=vs2dt2-dx2-dy2-dz2{\ displaystyle \, ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

Genel rölativitenin metrik dikkate alınarak, özel görelilik bundan tanımlanabilir denklik ilkesini ve görelilik prensibi referans bütün çerçeveleri için genelleştirilmiş ve kereste (matematiksel bir bakış açısından) temel bir öğesidir bu teorinin. Bu teoride uzay-zaman aralığının karesinin sonsuz küçük öğesinin tanımlanmasına izin verir.

Genel görelilikte, sonsuz küçük uzay-zaman aralığının karesi için formül , metriğin katsayılarının uzayın eğriliğine bağlı olarak uzay-zamanda bir noktadan diğerine değiştiği yerdir . ds2=∑μ=03∑ν=03gμν dxμ dxν{\ displaystyle ds ^ {2} = \ toplam _ {\ mu = 0} ^ {3} \ toplamı _ {\ nu = 0} ^ {3} g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d} } x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Biz de birlikte yazma Einstein kongre toplamları için: . ds2=gμν dxμ dxν{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}

Ancak sonsuz küçük öğelerin bu tanımı ve uzay-zaman eğriliği, yukarıdaki paragraflarda gösterilenlere benzer özelliklerin yerel olarak haricinde gerekçelendirilmesini zorlaştırır. Bununla birlikte, bir O olayından başlayarak, uzay-zamanın bir bütün olarak O ile bağlantılı olaylara bölünmesini her zaman zaman, ışık veya uzay türünde bir jeodezik ( uzun jeodezik sabit işaretine karşılık gelen tür) yapabiliriz. ). ds2{\ displaystyle ds ^ {2}}

Bir hipotez olarak değişmezlik durumu

Eğer uzay-zaman aralığının karesinin değişmezliği, referans çerçevesinin değiştirilmesiyle, görelilik teorisinde bir ilk hipotez olarak ortaya çıkarsa, ondan yapılan çıkarımlar teori ile matematiksel olarak tutarlıdır, ancak bazıları atılmalıdır. fiziksel nedenlerden dolayı.

Özel görelilikte

Fiziksel uzayın, benzer bir mesafeye sahip dört boyutlu bir matematiksel uzayla (aynı zamanda sözde norm diyoruz ) tanımlanması , afin dört boyutlu uzayın ölçütlerini ve fiziğin atalet referans çerçevelerini belirlemeye ve tüm değişiklikleri araştırmaya götürür. Uzay-zaman aralığını değişmez bırakma özelliğine sahip referans çerçevesi, göreceli teorinin matematiği ile tutarlı olsa da, oryantasyon konvansiyonuna uymadıkları için fiziksel olarak gerçekçi referans çerçevesi değişiklikleri olarak tutulamayacak bazılarını buluruz. üç boyutlu yer işaretleri (yönelim sağ elin oybirliğiyle kabul edildi ) veya zaman ekseninin yönelimi ( geleceğe doğru ).

Uzayın ve zamanın yönelimlerini koruyan dönüşümler, Lorentz'in başından beri kurduğu Lorentz dönüşümleridir ve bu sorunlu, düzgün ve ortozamanlı Lorentz dönüşümleri olarak adlandırılır . Diğer dönüşümler göreceli fizikte kullanılmaz, ancak göreli kuantum fiziğinde denklemlerin matematiksel simetrilerinden yararlanmak için kullanılır. Örneğin, T simetrisi ve parite , uzaysal ve zamansal koordinatların eksenlerinin yönelimlerinin konvansiyonundaki basit değişiklikler olarak yorumlanır. Böylelikle, P simetrisi, sağ el ile referans çerçevesi seçiminin geleneğini sol elin seçimine dönüştürür.

Genel olarak görelilik

In genel görelilik , uzay-zaman esasen cebir tarafından yapılandırılmış olan, bakım matematiksel olarak doğru ama fiziksel olarak gerçekçi hipotezler veya sonuçları ekarte etmek alınmalıdır. Bu, özellikle , referans çerçevesinin değişmesiyle değişmezliği ve yerçekimi ile bağlantısı nedeniyle (matematiksel açıdan) teorinin kurucu unsuru olan uzay-zaman aralığının karesi için geçerlidir (bu bir tezahürdür). eğrilik). Zaten, fiziksel bir anlamı olması için olumsuz bir belirleyiciye sahip olması gereken bir matris oluşturuyorlar . ds2=gμν dxμ dxν{\ displaystyle \ textstyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Bu durumda, bir de gerçekçi referans çerçevesi , bir gözlemci için koordinatı zaman ölçümü tekabül ve koordinatlar referans herhangi bir uzaysal çerçeveye karşılık terimleri, doğrulamalıdır , hem de k = 1, 2, 3 (bölgesindeki kısa: imza, Minkowski metriğindekinden farklı kalmalıdır). x0{\ displaystyle x_ {0}}x1;x2;x3{\ displaystyle x_ {1}; x_ {2}; x_ {3}}gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}g00>0{\ displaystyle g_ {00}> 0}gkk<0{\ displaystyle g_ {kk} <0}

Bununla birlikte, uzay-zamanın özelliklerini belirlemek için , genel göreliliğin matematiği , gerçekçilikle ilgilenme zorunluluğu olmaksızın bu dört boyutlu uzayda herhangi bir referans sisteminin kullanılmasına izin verir ve bu durumda katsayılar bu kısıtlamalara tabi değildir. gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Notlar ve referanslar

1. Sözleşme , Anglo-Sakson metinlerinde yapılan seçime karşılık gelir; kongre , örneğin Lev Landau'nun ünlü pedagojik metinlerinde yapılan seçime karşılık gelir . Bu son seçim Roger Penrose tarafından "daha fiziksel" olarak kabul edilir çünkü metrik, büyük parçacıklar için kabul edilen yegane zaman türü evren çizgileri için pozitiftir . (-;+;+;+){\ displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}
2. Bkz., Örneğin, Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ baskıların detayı ], cilt 2 "alan teorisi", bölüm 1, §2.
3. bkz. Örneğin (içinde) EF Taylor, JA Wheeler, Uzay-Zaman Fiziği, Özel göreliliğe giriş, ikinci baskı, Freeman 1992
4. Bkz. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ baskıların detayı ] Cilt 2, §2
5. olarak geometrik boyutu ve geometrik birimlerinin sistemi arasında genel görelilik aralığı cΔt zamansal olduğu söylenir.
6. Zaman, yalnızca bir boyutun matematiksel bir alanı olduğu için, zamanın yönü ve birimi, zaman türünün herhangi iki olayından ve birbirini izleyen herhangi iki olaydan (bir saatin kollarının ardışık konumları, saatin başlangıcı ve sonu) bir elmanın düşüşü veya ...). Bu birim tarafından ölçülebilen herhangi bir süre hipotezle ölçülebilir, zaman ekseninin tersine çevrilmemesi, bu yönlendirilmiş birimin tersine çevrilmemesine eşdeğerdir ve bu, yönlendirilmiş bir zaman birimi olarak kullanılabilir herhangi bir sürenin tersine çevrilmemesini empoze eder, bu nedenle herhangi iki zaman tipi olay arasında zamanın tersine çevrilmesi söz konusu değildir .
7. Bu teoride eğrilik , yerçekiminin geometrik ifadesidir .
8. Gödel evreni özel görelilik özellikleri yalnızca yerel olarak geçerli olan genel görelilik ve uyumlu bir teorinin bir örnektir: örneğin, geçmiş ve gelecek arasında ayrım.
9. Bu seçimin nedeni olarak bu yönelimlerin korunması, Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN 3540978488 ) , 1992'nin (en) Minkowski Uzay Zamanının Geometrisi Bölüm 1, §1.3'te sunulmuştur . 
10. Bunun nedeni, bu matrisin köşegenleştirilebilir olması ve köşegen şeklinin Minkowski'nin matrisine eşdeğer bir metrik matrise karşılık gelmesi gerektiğidir .
11. Bir referans çerçevesinin gerçekliği şu şekilde anlaşılabilir: Bir koordinatın ölçülen zamanı verdiği ve üçünün uzayı verdiği, halihazırda özel görelilikte geçerli yönelimlere sahip bir gözlemci vardır.
12. metrik tensör denen şeyi oluşturan ve uzay-zaman eğriliğini yansıtan
13. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ baskıların ayrıntıları ], Cilt 2 "Alan teorisi", §82 ila §84
14. Gerçekçi olmayan bir referans çerçevesinin bir örneği , zamansal koordinatın ışık türünün bir jeodezisini takip eden bir koordinatla değiştirilmesiyle elde edilir.

Ayrıca görün

• Metrik tensör
• Temiz zaman
• Tren paradoksu
• İkiz paradoksu