Kriging
Kriging olan jeoistatistiğin , yöntem tahmini asgari garanti doğrusal varyans . Gerçekleştirir Kriging uzamsal interpolasyon a bölgesel değişkenin hesaplanması ile matematiksel beklenti a rastgele değişkenin , yorumlamalarıyla ve modelleme deney variyogram . En iyi tarafsız doğrusal tahmin edicidir; objektif bir yönteme dayanmaktadır. Yalnızca veri ile tahmin noktası arasındaki mesafeyi değil, aynı zamanda ikiye iki veri arasındaki mesafeleri de hesaba katar.
Kriging terimi, Güney Afrikalı maden mühendisi Danie G. Krige'nin soyadından gelmektedir . Bu tarafından maden madencilik için resmiyet Georges Matheron de (1930-2000) BRGM daha sonra de Paris des École mayın . O zamandan beri, uygulama alanı, meteoroloji , çevre bilimleri ve elektromanyetizma dahil olmak üzere geniş ölçüde genişletildi .
Temel varsayımlara göre, kriging, hepsi aynı ilkeleri kullanan birkaç varyantta (basit, sıradan…) gelir.
Kullanılan gösterimler
-
Q Bir noktada tahmin edilecek bir miktar (herhangi bir şekilde tanımlanmış);
-
Q * bu noktada Q'nun kriging tahmin edicisi;
-
z incelenen bölgesel değişken;
-
Z z ile ilişkili rastgele fonksiyon;
-
K , m kovaryansı ve beklentisi;
-
n ölçüm noktalarının sayısı;
-
x 0 tahmin noktası;
-
x i , i = 1… n ölçüm noktalarında;
-
* kriging tahmin operatörü; Bu şekilde , Z * bir kriging tahmincisi olup , Z ;
-
Z * 0 dikkate alınan kriging tarafından x 0'da tahmin edilen değer;
-
Z i , i = 1… n x i ölçüm noktalarında bilinen veriler;
-
λ ı değeri en kriging etkilenen ağırlığı x i ;
-
μ kriging işleminde kullanılan Lagrange parametresi;
-
γ i , j bir uzaklık içinvariogramın γ değeri | x ben - x j | ;
-
K i , j Bir mesafe için K kovaryansının değeri | x ben - x j | ;
-
f l , l = 1… evrensel kriging durumunda temel fonksiyonlar, f 0 = 1 ;
-
f l i x i noktasındaki f l' nin değeri;
Kriging prensibi
Olağan bir vuruş, birkaç eylemin birbirini takip etmesine neden olur:
- veri toplama ve ön işleme: bu, bölgeselleştirilmiş z değişkeninin uç değerlerinin, kötü kodlanmış değerlerinin, vb. temizlenmesini içerir . Karşılıklı dönüşümden önce verileri (bijeksiyon yoluyla) yerinde tahmin edilecek bir parametreye dönüştürmek yararlı olabilir.
- beklenen tahminin kararı: genellikle, bir ızgaranın her noktasında, bazen her temel hacimde bir tahmin aranır .
- bir model seçimi: durağanlığı, ortalama değeri, herhangi bir yardımcı parametre üzerine yapılan varsayımlara göre, z ile ilişkili bir rastgele fonksiyon Z modeli önerilmektedir.
- bir variogramın kalibrasyonu: deneysel variogram dikkate alınarak, modelin seçiminden kaynaklanan koşullara uyan bir variogram modeli γ seçilir.
- uygun kriging: kriging türü, model seçimine ve beklenen sonucun türüne bağlıdır. Semt seçimine göre değişiklik göstermektedir.
- işlem sonrası: olası bir karşılıklı dönüşüm uygulanır; sonuç yorumlanır.
Hesaplama aynı zamanda , veri noktalarının değerlerine değil, variograma ve konumuna bağlı olan bir kriging varyansı σ K 2 sağlar .
Kriging'in Kısıtlamaları
Kriging'in minimum varyansın doğrusal tahmin edicisi olduğu gerçeği, yöntemin tüm varyantları için kriging sisteminin yazılmasını mümkün kılan dört ardışık kısıtlama ile sonuçlanır. Aşağıda, bir tahmin edici yapı dört adımları açıklamaktadır S * bir miktarının tahmin edilmesi için Q .
Doğrusallık
Gerçekçilik uğruna, tahmin edilecek miktarın incelenen rastgele fonksiyonun doğrusal bir fonksiyonu olduğunu varsayıyoruz (genel durumda :) ; daha büyük durum (kesme ve seçim sorunları, vb.) doğrusal olmayan jeoistatistik kapsamındadır .
Q=∫Z(x)p(dx){\ displaystyle \ scriptstyle Q = \ int Z \ sol (x \ sağ) p \ sol (\ mathrm {d} x \ sağ)}
Tahminci, şu an için bilinmeyen ağırlıklara sahip verilerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ortaya çıkar: Q∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle Q ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
yetki
Tahmin hatası izin verilebilir bir doğrusal kombinasyon olmalıdır , yani beklentisi ve varyansı tanımlanmalıdır.
Yetkilendirme koşulu, varsayılan temel modele bağlı olarak farklı şekilde yazılır (sınırlı desteği her zaman üstleneceğiz).
- 2. sıranın durağan modelinde, tüm doğrusal kombinasyonlara izin verilir ve herhangi bir kısıtlama yoktur.
- Öte yandan, içsel modelde, doğrusal bir kombinasyona ancak ve ancak toplam ağırlığı sıfırsa izin verilir:∑benλben=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} = 0}
Evrensellik
Tahmincinin, tahmin edilecek miktarla ilgili hiçbir istatistiksel önyargıya sahip olmaması gerekir. Bu kısıtlama, önyargı olmayan veya sıfır beklenti kısıtlaması olarak adlandırılabilir. Yazılıdır:E[Q∗-Q]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ sol [Q ^ {*} - Q \ sağ] = 0}
Optimallik
Önceki kısıtlamalar altında tahmin hatasının minimum varyanslı olmasını istiyoruz. Özel durumlar dışında, bu tahmin problemine benzersiz bir çözüm vardır .
{λben}ben=1 ..değil{\ displaystyle \ scriptstyle \ sol \ {\ lambda _ {i} \ sağ \} _ {i = 1..n}}
Bu dört kısıtlamanın sonucu, genel olarak, bir çözümü ve yalnızca bir çözümü kabul eden bir Cramer sistemidir .
Bu yaklaşımı sürekli durumda, λ i ağırlıklarını değil, λ (d x ) ölçüsünü dikkate alarak genişletebiliriz .
Tek seferlik çekimler
Bilinen ortalama kriging'e sabit (basit kriging)
Let Z, bir 2 seviyesinde sabit rasgele fonksiyonu . Örnekleme sahaları için beklentisi m ve kovaryans matrisinin bilindiği varsayılmaktadır. Kayıpsız olarak m = 0 olduğunu varsayıyoruz . Bir noktada Z'nin kıvrılmasını arıyoruz .
K=(Kben,j)1≤ben,j≤değil{\ displaystyle K = (K_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}(x1,...,xdeğil){\ displaystyle (x_ {1}, \ noktalar, x_ {n})}x0{\ displaystyle x_ {0}}
basit yazı yazmak
- Doğrusallık ile problem , tahmin noktasına bağlı olarak λ i ağırlıklarının araştırılması haline gelir , öyle ki ;Z0∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Sabit durumda yetki sağlanır;
- Evrensellik varsayımla garanti edilir :;E[Z0]=E[Zben]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ sol [Z_ {0} \ sağ] = E \ sol [Z_ {i} \ sağ] = 0}
- Optimallik şunları varsayar: ∀ben,∑jλjKben,j=Kben,0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} = K_ {i, 0}}
Basit kriging sistemi bir matriste yazılmıştır:
Kλ=K0{\ displaystyle \ mathbf {K} \ mathbf {\ lambda} = \ mathbf {K} _ {0}}
burada K örnekleme bölgelerinde kovaryans matrisidir:
K=(K1,1⋯K1,değil⋮⋱⋮Kdeğil,1⋯Kdeğil,değil)=(VSÖv(Z(xben),Z(xj)))1≤ben,j≤değil{\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,1} & \ cdots & K_ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K_ {n, 1} & \ cdots & K_ {n, n} \ end {pmatrix}} = (Cov (Z (x_ {i}), Z (x_ {j}))) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
λ , devrilme ağırlıklarının matrisidir:
λ=(λ1⋮λdeğil){\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} \\\ vdots \\\ lambda _ {n} \ end {pmatrix}}}
ve örnekleme siteleri ile birlikte krig noktası kovaryans matrisidir
K0{\ displaystyle K_ {0}}K0=(K1,0⋮Kdeğil,0)=(VSÖv(Z(xben),Z(x0)))1≤ben≤değil{\ displaystyle \ mathbf {K} _ {0} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,0} \\\ vdots \\ K_ {n, 0} \ end {pmatrix}} = (Cov (Z (x_ {i}), Z (x_ {0}))) _ {1 \ leq i \ leq n}}
Kovaryans matrisi simetrik, pozitif tanımlı, tersinirdir ve kriging sistemi tersine çevrilerek çözülür: λ=K-1K0{\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} = \ mathbf {K} ^ {- 1} \ mathbf {K} _ {0}}
Bu noktada enterpolasyonun sonucu :
x0{\ displaystyle x_ {0}}
Z0∗=∑benλbenZben{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
Genel durumda, beklenti m arasında Z her zaman sıfır değildir. Daha sonra beklentisi sıfır olan noktadaki değişkenin kriging ağırlıklarını hesaplıyoruz . Biz basit kriging elde Z ile :
λben{\ displaystyle \ lambda _ {i}}Z-m{\ displaystyle Zm}x0{\ displaystyle x_ {0}}x0{\ displaystyle x_ {0}}Z0∗=∑benλbenZben+(1-∑benλben)m{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} + \ left (1- \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ sağ ) m}
Varyans basit kriging tahmin geçerli:
σS2=K0,0-∑benλbenK0,ben{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i}}
Ağırlıkların toplamı 1'e eşit olmadığından, basit kriging doğrudan bir variogram cinsinden yazılamaz. Basit kriging, kovaryansın tanımlanmasını, yani variogramın bir platoya sahip olmasını gerektirir.
Rasgele işlev durumunda , Z bir Gauss , Kriging sonucu Z 0 * koşullu beklenti ve tahmini ve hata Gauss gibidir:
Z0∗=E[Z0|Z1,...,Zdeğil]{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ mathrm {E} \ sol [Z_ {0} | Z_ {1}, \ dotsc, Z_ {n} \ sağ]}
Z0-Z0∗∼DEĞİL(0,σS2){\ displaystyle Z_ {0} - {Z_ {0}} ^ {*} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} \ sağ )}
Sabit kriging'den bilinmeyen ortalamaya (sıradan kriging, 1)
M beklentisinin bilinmediği varsayılır (ancak tanımlanmıştır).
sıradan kriging yazısı
- Doğrusallık verir ;Z0∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Sabit durumda yetki sağlanır;
- Evrensellik m = 0 varsaymamıza izin vermez ve verir ;∑benλben=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Optimallik, Lagrange çarpanı yöntemiyle elde edilir . Bu parametre μ olsun , aşağıdaki kriging sistemini elde ederiz
{∑jλjKben,j+ μ=Kben,0 ∀ben∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} & + ~ \ mu & = K_ {i, 0} ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 \ end {align}} \ end {case}}}
Sıradan kriging sistemi bir matriste yazılır:
{Kλ=K0Z0∗=λTZ, -devevs K=(K1,1⋯K1,değil1⋮⋱⋮⋮Kdeğil,1⋯Kdeğil,değil11⋯10), λ=(λ1⋮λdeğilμ), K0=(K1,0⋮Kdeğil,01), Z=(Z1⋮Zdeğil0){\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} \ mathbf {K} \ mathbf {\ lambda} & = {\ mathbf {K}} _ {0} \\ {Z} _ {0} ^ { *} & = \ mathbf {\ lambda} ^ {\ operatorname {T}} \, \ mathbf {Z} \ end {align}} \ end {case}} \ mathrm {, ~ with ~} \ mathbf {K} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,1} & \ cdots & K_ {1, n} & 1 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ K_ {n, 1} & \ cdots & K_ {n, n} & 1 \\ 1 & \ cdots & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {\ lambda} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} \ \\ vdots \\\ lambda _ {n} \\\ mu \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {K} _ {0} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,0} \ \\ vdots \\ K_ {n, 0} \\ 1 \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {Z} = {\ begin {pmatrix} Z_ {1} \\\ vdots \\ Z_ { n} \\ 0 \ end {pmatrix}}}
Sıradan krigingdeki tahminin varyansı şöyledir:
σÖ2=K0,0-∑benλbenK0,ben-μ{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i} - \ mu}
Bilinmeyen beklentiyi tahmin etmek için aynı yaklaşım kullanılabilir. Tahmincisi M * olsun .
umudun heyecanını yazmak
- Doğrusallık verir M∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle M ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Yetkilendirme garantilidir
- Evrensellik dayatır , bu nedenlem(∑benλben-1)=0 ∀m{\ displaystyle \ scriptstyle m \ sol (\ toplamı _ {i} \ lambda _ {i} -1 \ sağ) = 0 ~ \ forall m}∑benλben=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Optimallik, aşağıdaki sistemde bir Lagrange çarpanıyla ( μ M olarak belirtilmiştir ) çözülür .
{∑jλjKben,j+μM=0 ∀ben∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ mu _ {\ mathrm {M}} & = 0 & ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} & = 1 \ end {align}} \ end {case}}}
Ortalamanın değerlendirilmesinin varyansı bu nedenle:
σM2=-μM{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {M}}} ^ {2} = - \ mu _ {\ mathrm {M}}}
Kesinlikle içsel kriging (sıradan kriging, 2)
Let Z olmak kesinlikle içsel savrulma olmaksızın.
sıradan kriging yazısı
- Doğrusallık verir ;Z0∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Yetkilendirme, içsel modelde, ∑benλben=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Evrenselliğe saygı duyulur, çünkü içsel modelde kayma olmaksızın yetkilendirilmiş bir doğrusal kombinasyon sıfır beklentiye sahiptir.
- Optimallik gerektirir V-der[∑benλbenZben-Z0]=-∑ben,jλbenγben,jλj+2∑benλbenγben,j{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {Var} \ sol [\ toplamı _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -Z_ {0} \ sağ] = - \ toplamı _ {i, j} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j} \ lambda _ {j} +2 \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j}}
Bu durum, variogramda yazılmış bir öncekiyle aynıdır:
{-∑jλjγben,j+μ=-γben,0 ∀ben∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu & = - \ gamma _ {i, 0} ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 \ end {align}} \ end {case}}}
Sıradan krigingdeki tahminin varyansı hala
σÖ2=-γ0,0-∑benλbenγ0,ben-μ{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = - \ gamma _ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {0, i} - \ mu}(en genel olarak γ 0.0 = 0 ).
Basit ve sıradan krijajlar arasındaki bağlantı
Sıradan dakik döndürme iki aşamaya ayrılabilir: işlemin ortalamasının sıradan çevirme ile tahmini, ardından bu ortalamayı hesaba katarak basit çevirme. Sırasıyla λ m, i , μ m ve σ O, m 2 ağırlıkları, Lagrange çarpanları ve ortalamanın tahmini için sıradan kriging varyansını, λ O, i ve μ ağırlıkları ve sıradan kriging için Lagrange çarpanı, λ S, i basit kriging ağırlıkları ve S = (1 - ∑ i λ S, i ) basit kıvrımdaki ortalamanın ağırlığı, bizde:
λÖ,ben=λS,ben+Sλm,ben{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {O}, i} = \ lambda _ {\ mathrm {S}, i} + S \ lambda _ {\ mathrm {m}, i}}
μ=Sμm{\ displaystyle \ mu = S \ mu _ {\ mathrm {m}}}
σÖ2=σS2+S2σÖ,m2{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} + S ^ {2} {\ sigma _ {\ mathrm { O}, \ mathrm {m}}} ^ {2}}
Basit kriging varyansı, ilişkili sıradan kriginginkinden daha düşüktür. Veriler çok sayıdaysa ve iyi yapılandırılmışsa, iki krize yakındır. Aksi takdirde, basit kriging bilinen global ortalamaya büyük bir ağırlık atar ve sıradan kriging aynı ağırlığı ortalamanın yerel bir tahminine atar, böylece ikincisi durağanlık kusurlarına karşı daha sağlamdır. Genel olarak konuşursak, özel durumlar (göstergelerin dalgalanması, simülasyonlar) haricinde, sıradan kriging, basit çevirmeye tercih edilmelidir.
Evrensel Kriging
Kabul model , Z ( X ) = Y ( x ) + m ( x ) , aşağıdakileri içeren bir sürüklenme m ( x ) belirleyici ve bir artık madde , Y ( x ) sabit istenen (Gerçek tortu) ve sıfır ortalama. Zorluk, iki bileşen ayırmaktır m ve y de bölgeselleştirilmiş değişken z . Bu ikilem, düşük ve yüksek frekanslar, bölgesel eğilim ve anormallikler arasında açıklayıcı bir karşıtlığı temsil edebilir.
Kaymanın, bilinen sayıda baz fonksiyonuna göre , genellikle koordinatların tek terimlilerine göre, f 0 = 1 fonksiyon sabit birimine göre ayrıştırılabilir olduğu varsayılır . A l katsayıları bilinmiyor. Aşağıdaki algoritmalarla hesaplanan sürüklenme modeli, fenomenin eğilimini mutlaka tanımlamaz, ancak çalışma ölçeğine bir yaklaşıklığı tanımlar.
m(x)=∑l-delfl(x){\ displaystyle \ scriptstyle m (x) = \ toplam _ {l} a_ {l} f_ {l} (x)}
Tortu, varsayımlar Y adı verilen temel üzerinde Z .
Sıra 2'nin altında yatan sabit model ile evrensel kriging
Bu model, kanatçık etrafında bir geri yükleme kuvvetine sahip olarak yorumlanabilir. Kovaryans sorulur .
K-de,b=VSÖv[Z(-de),Z(b)]=VSÖv[Y(-de),Y(b)]{\ displaystyle \ scriptstyle K_ {a, b} = \ mathbf {Cov} \ sol [Z (a), Z (b) \ sağ] = \ mathbf {Cov} \ sol [Y (a), Y (b) \ sağ]}
Biz tarafından ifade f li değeri f l noktasında x i için, i = 0, ... , n .
FASt-2 üzerine evrensel kriging yazmak
- Doğrusallık verir Z0∗=∑benZben{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ toplam _ {i} Z_ {i}}
- Yetkilendirme garantilidir
- Gerekli evrensellik için var dolayısıyla bilinmeyeni-del(∑benλbenflben-fl0){\ displaystyle \ scriptstyle a_ {l} \ sol (\ toplamı _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} \ sağ)}∑benλbenflben-fl0=0,∀l{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} = 0, \ forall l}
- Optimalite, Lagrange çarpanlarını μ l ; optimallik koşulları yazılır:∑jλjKben,j+μlflben=Kben,0,∀ben{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ mu _ {l} f_ {li} = K_ {i, 0}, \ forall i}
Matris biçiminde, evrensel kriging yazılır:
(Kben,jflbenflben0)(λjμl)=(Kben,0fl0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} K_ {i, j} & f_ {li} \\ f_ {li} ve {\ mathit {0}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ { j} \\ mu _ {l} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} K_ {i, 0} \\ f_ {l0} \ end {pmatrix}}}
Tahmin varyansı şöyledir:
σU2=K0,0-∑benλbenKben,0-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {U}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i, 0} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Katı içsel temel model evrensel kriging
Y'nin sürüklenme olmaksızın katı bir içkin olduğunu varsayıyoruz (sürüklenme m'ye entegre edilmiştir ).
katı bir içsel rastgele işlev üzerine evrensel kriging yazma
- Doğrusallık pozları Z0∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Yetkilendirme gerektirir ∑benλben=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Evrensellik dayatır ∑benλbenflben-fl0=0,∀l≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} = 0, \ forall l \ neq 0}
- Optimallik , yetkilendirme kısıtlaması için bir Lagrange çarpanı μ 0 ve evrensellik kısıtlamaları için diğerlerini μ l , l ≠ 0 sunar .
Kriging sistemi yazılmıştır:
{-∑jλjγben,j+μ0+∑l≠0μlflben=-γben0,∀ben∑jλj=1∑jλjflj=fl0,∀l≠0{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu _ {0} + \ sum _ { l \ neq 0} \ mu _ {l} f_ {li} & = - \ gamma _ {i0}, & \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 & \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {lj} && = f_ {l0}, & \ forall l \ neq 0 \ end {align}} \ end {case}}}
Ya matris:
(-γben,j1flben100flj00)(λjμ0μl)=(-γben,01fl0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ gamma _ {i, j} & {\ mathit {1}} & f_ {li} \\ {\ mathit {1}} & 0 & {\ mathit {0}} \\ f_ {lj} & {\ mathit {0}} & {\ mathit {0}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {j} \\\ mu _ {0} \\ \ mu _ {l} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ gamma _ {i, 0} \\ 1 \\ f_ {l0} \ end {pmatrix}}}
Tahmin varyansı şöyledir:
σU2=∑benλbenγben,0-μ0-∑l≠0μlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {U}}} ^ {2} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, 0} - \ mu _ {0} - \ toplamı _ {l \ neq 0} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Sonuç önceki durumla aynıdır, ancak fiziksel durum aynı değildir: burada fenomen, platosuz bir variogramı, yani gücü geri yüklemeden kabul edebilir.
Sürüklenme değerlendirmesi
Önceki hesaplamalar deterministik, bilinen ve düzenli bir m sapması varsaymıştır .
Model sabit doğrusal bir tahmincisi sürüklenme sormak yatan: . N- I sistemin çözeltilerdir:
M∗(x)=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle M ^ {*} (x) = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}{∑jλjKben,j+∑lμlflben=0, ∀ben∑jλjflj=fl0, ∀l{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} & + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ { li} & = 0, ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {lj} && = f_ {l0}, ^ {~} \ forall l \ end {hizalı}} \ {case}}} sonlandır
Ve tahmin varyansı şöyledir:
σD2=-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {D}}} ^ {2} = - \ toplamı _ {l} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Katı bir temelde yatan modelde, yetkilendirme ve evrensellik kısıtlamaları uyumsuzdur; optimum sürüklenme tahmini mümkün değildir.
Gösteri
Bu nedenle doğrusal kombinasyona izin verilmelidir .
∑benλbenZben-m0{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -m_ {0}}∑benλben=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} = 0}
Basitleştirmeden sonra ve f 0 i = 1 ile , λ i imkansız olan bir koşul olan evrensellik verir .
E[∑benλbenZben-m0]=E[∑benλbenYben]+∑benλben∑l-delflben-∑l-delfl0=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ sol [\ toplamı _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -m_ {0} \ sağ] = \ mathbf {E} \ sol [\ toplamı _ { i} \ lambda _ {i} Y_ {i} \ right] + \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ sum _ {l} a_ {l} f_ {li} - \ sum _ {l} a_ {l} f_ {l0} = 0}∑l≠0-del(λben-flben-fl0)--de0=0,∀-del{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {l \ neq 0} a_ {l} \ sol (\ lambda _ {i} -f_ {li} -f {l0} \ sağ) -a_ {0} = 0, \ forall a_ {l}}
Sürüklenme katsayılarının değerlendirilmesi
Artıkların variogramı
İçsel Kriging (FAI- k )
Burada Z'nin bir FAI- k olduğunu varsayıyoruz , k verilen bir değerdir.
FAI-
k'ye kriging yazmak
- Doğrusallık pozları Z∗=∑benλbenZben{\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- K istek sipariş etme yetkisi . Kullanma Dirac ölçü δ i (d t ) , yazabiliriz:∀l∈[[0;k]],∑benflbenfl0=0{\ displaystyle \ forall l \ in \ sol [\! [0; k \ sağ] \!], \ scriptstyle \ toplam _ {i} f_ {l_ {i}} f_ {l_ {0}} = 0} Z∗(x)-Z(x)=Z~(∑benλbenδben-δx){\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {*} \ sol (x \ sağ) -Z \ sol (x \ sağ) = {\ tilde {Z}} \ sol (\ toplamı _ {i} \ lambda _ {i} \ delta _ {i} - \ delta _ {x} \ sağ)}
- Tüm yetkili lineer kombinasyonların sıfır beklentisi olduğu için evrensellik sağlanır.
- En iyi uygulama koşullu en aza indirmek için: . Optimallik koşulları olsun .σ2=V-der[∑benλbenZben-Z0]=∑ben,jλbenKbenjλj-2∑benλbenKben0+K00{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma ^ {2} = \ mathrm {Var} \ sol [\ toplamı _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -Z_ {0} \ sağ] = \ toplamı _ {i , j} \ lambda _ {i} K_ {ij} \ lambda _ {j} -2 \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i0} + K_ {00}}∀ben,∑jλjKbenj+∑lμlflben=Kben0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {ij} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} = K_ {i0} }
İçsel kriging sistemi şöyle yazılır:
{∑jλjKben,j+∑lμlflben=Kben,0∀ben∑jλjflj=fl0∀l{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ { i}} & = K_ {i, 0} & \ forall i \\\ toplamı _ {j} \ lambda _ {j} f_ {l_ {j}} & = f_ {l_ {0}} & \ forall l \ son {hizalı}} \ end {vakalar}}}
İçsel krigingdeki tahmin varyansı şöyledir:
σben2=K0,0-∑benλbenK0,ben-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {I}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l_ {0}}}
Aşağıdaki özelliklere sahibiz:
- kriging şekillerinin üst üste binmesi: bir doğrusal operatör Φ , sonra Φ * (Z) = Φ ( Z * ) olsun . Biz yazabilir ileΦ∗(Z)=∑jλΦjZj{\ displaystyle \ scriptstyle \ Phi ^ {*} \ sol (Z \ sağ) = \ toplamı _ {j} \ lambda _ {\ Phi j} Z_ {j}}λΦj=∫λj(x)Φ(dx){\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda _ {\ Phi j} = \ int \ lambda _ {j} \ sol (x \ sağ) \ Phi \ sol (\ operatöradı {d} x \ sağ)}
- ortogonalite: ν yetkili bir doğrusal kombinasyon ( ) veya Φ bir doğrusal form olsun, o zaman∑benνbenflben=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ nu _ {i} f_ {l_ {i}} = 0}VSÖv[Φ(Z)-Φ∗(Z)∑benνbenZben]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Cov} \ sol [\ Phi (Z) - \ Phi ^ {*} (Z) \ toplamı _ {i} \ nu _ {i} Z_ {i} \ sağ] = 0}
- yumuşatma: Z * ' nin varyansı tanımlanmamıştır. Let Φ olması , öyle ki, doğrusal bir şekilde daha sonra tahmin edicinin varyansı daha az doğrusal form olduğu (daha, ); dahası durağan değildir ( Φ 'nin tercümesi için değişmez değildir ).∫fl(t)Φ(dt)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ int f_ {l} (t) \ Phi (\ operatöradı {d} t) = 0}V-der[Φ∗(Z)]≤V-der[Φ(Z)]{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Var} [\ Phi ^ {*} (Z)] \ leq \ mathrm {Var} [\ Phi (Z)]}
Kriging'in düzenliliği
Kriging sisteminin düzenlilik koşulları - Kriging sistemi (içsel kriglemede) düzenli iff
- K alt matrisi kesinlikle koşullu pozitiftir: ve
∀λ∈Λk,∑ben,jλbenKben,jλj≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall {\ lambda \ in \ Lambda _ {k}}, \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} K_ {i, j} \ lambda _ {j} \ geq 0}∑ben,jλbenKben,jλj=0 ⇒ λ=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i, j} \ lambda _ {i} K_ {i, j} \ lambda _ {j} = 0 \ \ Rightarrow \ \ lambda = 0}
- temel fonksiyonlar verilere göre doğrusal olarak bağımsızdır
∀ben,∑l(vslflben)=0 ⇒ ∑lvsl=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall {i}, \ sum _ {l} \ left (c_ {l} f_ {l_ {i}} \ sağ) = 0 \ \ Rightarrow \ \ sum _ {l} c_ {l} = 0}
Kriging'in Dualitesi
İçsel bükme sisteminin düzenli olduğunu varsayalım. İkili sistem şu şekilde tanımlanır:
{∑benbbenKj,ben+∑lvslflj=zj ∀j∑benbbenflben=0 ∀l{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} & \ sum _ {i} b_ {i} K_ {j, i} + \ sum _ {l} c_ {l} f_ {l_ {j}} & = z_ {j} ~ \ forall j \\ & \ sum _ {i} b_ {i} f_ {l_ {i}} & = 0 ~ \ forall l \ end {align}} \ end {case}}}
B i ve c l'ye göre çözünürlüğü , katsayıların değerlendirme yerinden bağımsız olduğu aşağıdaki eşitlik aracılığıyla kriging için olasılık dışı bir yaklaşım sağlar x 0 :
z0∗=∑benbbenKben,0+vslfl0{\ displaystyle z_ {0} ^ {*} = \ toplam _ {i} b_ {i} K_ {i, 0} + c_ {l} f_ {l_ {0}}}
Kriging bu nedenle interpolatör z * olarak tanımlanabilir :
- doğrusal: ∃ bben,vsl, ∀x, z∗(x)=bbenKben,x+vslflx{\ displaystyle \ scriptstyle \ var \ b_ {i}, c_ {l}, \ \ forall x, \ z ^ {*} \ sol (x \ sağ) = b_ {i} K_ {i, x} + c_ { l} f_ {l_ {x}}}
- kesin: z∗(xj)=zj{\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {*} \ sol (x_ {j} \ sağ) = z_ {j}}
- sürüklenmelerle tanımlanmış uyumlu: z i verileri f s i'ye eşitse , o zamanz∗(x)=fs(x){\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {*} \ sol (x \ sağ) = f_ {s} \ sol (x \ sağ)}
Georges Matheron tarafından oluşturulan bir teorem , pratikte dönüştürme kolay olmasa bile spline ve kriging arasındaki denkliği gösterir .
Kriging özellikleri
- Bu tam bir interpolatördür: tahmin noktası bir veri noktasıysa, kriging bu noktada verileri döndürür; Öte yandan, variogram bir külçe etkisi içeriyorsa, veri noktalarının yakınında süreklilik garanti edilmez ve tahmin, verilerin üzerinden geçmediği izlenimini verir.
- Doğrusal bir işlemdir: Doğrusal bir kombinasyonun döndürülmesi, aynı veri setinin kullanılması koşuluyla (kriging şekil süperpozisyon teoremi) krigeage'lerin doğrusal kombinasyonudur.
- Birbirinden ayrı iki alan üzerindeki etki, bu alanlardaki krizeğin toplamıdır.
- Bir etki alanı için tahmini ortalama, bu etki alanındaki anlık eleştirilerin ortalamasıdır.
- Bir kıvrımın kıvrılması , nokta krijajlarının evrişimidir .[∫p(dx)Z(X)]∗=∫p(dx)Z∗(x){\ displaystyle \ scriptstyle \ sol [\ int p (\ mathrm {d} x) Z (X) \ sağ] ^ {*} = \ int p (\ mathrm {d} x) Z ^ {*} (x) }
- bir türevin krigingi, kriging'in türevidir.
- ekran efekti: en yakın noktalar en büyük ağırlıkları alır (artan variogram durumunda).
- yumuşatma: tahminler verilerden daha az değişkendir.
Gösteri
Basit bir vuruşun kanıtı:
∑jλjKben,j-Kben,0=0∀ben{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i, 0} = 0 \ forall i}nereden geliyor
VSÖv[∑jλjZj-Z0,Zben]=0{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ sol [\ toplamı _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j} -Z_ {0}, Z_ {i} \ sağ] = 0}basit kriging hatası her veriye ortogonaldir
VSÖv[Z(x)-Z∗(x),Z(x)]=0{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ sol [Z (x) -Z ^ {*} (x), Z (x) \ sağ] = 0}, çünkü kriging tahmincisi verilerin doğrusal bir kombinasyonudur
VSÖv[Z(x),Z∗(x)]=V-der[Z∗(x)]{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ sol [Z (x), Z ^ {*} (x) \ sağ] = \ mathbf {Var} \ sol [Z ^ {*} (x) \ sağ]}
σS2(x)=V-der[Z(x)-Z∗(x)]=K(0)-V-der[Z∗(x)]{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} (x) = \ mathbf {Var} \ sol [Z (x) -Z ^ {*} (x) \ sağ] = K ( 0) - \ mathbf {Var} \ left [Z ^ {*} (x) \ sağ]}
V-der[Z∗(x)]≤K(0){\ displaystyle \ mathbf {Var} \ sol [Z ^ {*} (x) \ sağ] \ leq K (0)}
Tahmin edilen değerin varyansı, a priori varyanstan daha azdır ve kesinlikle veri noktalarının dışındadır. Bu arada, basit kriging tahmincisi, varyansı x'e bağlı olduğundan, 2. dereceden sabit değildir .
- geçişlilik: veri olarak, diğer tahmin noktalarının sonucunu değiştirmeden bir nokta tahmini ekleyebiliriz. Öte yandan, bükülme varyansları azaltılır.
- neredeyse koşullu önyargı olmadan: tahminlere bir sınırlama uygularsak, sonuç beklenen değerlere yakın olur
- Veriler üzerindeki temel fonksiyonların doğrusal bağımsızlığı: evrensel kriging sisteminin düzenliliği için gerekli bir koşul, f li'nin önemsiz olmayan bir boş doğrusal kombinasyonu ( ) kabul etmemesidir .(∀ben,∑lvslflben=0)⇒(∀l,vsl=0){\ displaystyle \ scriptstyle \ sol (\ forall ben, \ toplamı _ {l} c_ {l} f_ {li} = 0 \ sağ) \ Sağa \ sol (\ forall l, c_ {l} = 0 \ sağ)}
- Ağırlıklar yapısal işlevi çarpılması sonucunda değişmez tabidir ve çarpma kovaryans ya göre uzaysal halinde w , λ ı sabit kalır (ancak μ l evrensel kriging olarak bölünür w ). Kriging varyansı ω ile çarpılır .
- Ortogonalite: kovaryansları sıfırsa, iki rastgele değişkenin ortogonal olduğunu söylediğini unutmayın.
- Nokta basit kriging hatası, verilerin herhangi bir doğrusal kombinasyonuna ortogonaldir.
- Sıradan dönme hatası, sıfır toplam ağırlıktaki verilerin herhangi bir doğrusal kombinasyonuna ortogonaldir.
- Evrensel kriging hatası, temel işlevler ailesini filtreleyen herhangi bir doğrusal veri kombinasyonuna diktir , yani öyle .∑benϕbenflben{\ displaystyle \ scriptstyle \ toplam _ {i} \ phi _ {i} f_ {li}}∀l,∑benϕbenflben=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l, \ sum _ {i} \ phi _ {i} f_ {li} = 0}
Gösteri
Evrensel kriging için:
∑jλjKben,j+∑lμlflben=Kben,0,∀ben{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {li} = K_ {i, 0}, \ forall i} kriging sistemine göre
∑benϕben(∑jλjKben,j-Kben0)=∑ben∑l-μlϕbenflben{\ displaystyle \ toplamı _ {i} \ phi _ {i} \ sol (\ toplamı _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} \ sağ) = \ toplamı _ {i } \ toplam _ {l} - \ mu _ {l} \ phi _ {i} f_ {li}} yeniden sipariş ve kombinasyondan sonra
Veya:
Yani:∑jλjKben,j-Kben0=VSÖv[∑jλjZj-Z0,Zben]{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} = \ mathbf {Cov} \ left [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j } -Z_ {0}, Z_ {i} \ sağ]}
VSÖv[∑jλjZj-Z0,∑benϕbenZben]=∑l-μlϕbenflben{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ sol [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j} -Z_ {0}, \ sum _ {i} \ phi _ {i} Z_ {i} \ sağ] = \ toplam _ {l} - \ mu _ {l} \ phi _ {i} f_ {li}}
Kriging'in diğer kullanımları
Bileşen filtreleme
Rastgele bir değişken Z = m + ∑ i Y i ve m ortalamasını ve Y i sıfır ortalamalı ve ilgili variogramları γ i olan iki bağımsız içsel rastgele değişkeni varsayalım . Bir Y k bileşeninin tahmin edicisini şu formda koyabiliriz : burada λ i'nin çözümleri:
Yk∗=∑benλbenZben{\ displaystyle {Y_ {k}} ^ {*} = \ toplam _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
{-∑jλjγben,j+μ=-γk;ben,0 ∀ben∑jλj=0{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu & = - & \ gamma _ {k ; i, 0} & ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = & 0 \ end {align}} \ end {case}}}
Faktöriyel kriging
Izin vermek bir dizi değişkenler Z n , n ∈⟦1; N ⟧ , variogramların doğrusal kombinasyonlarını yapılarını kabul edilir γ p , p ∈⟦1; P ⟧ . Let çalışması üzerinde bir numaralı yapı p . İkiden ikiye bağımsız ve aynı variogram ile Y p , n , ortogonal (sıfır ortalama ve birim varyans) değişkenler kümesi belirleyelim . Hadi poz verelim:
Zdeğil=mdeğil+∑p=1P∑k=1DEĞİL-dep,değil,kYp,k{\ displaystyle Z_ {n} = m_ {n} + \ toplamı _ {p = 1} ^ {P} \ toplamı _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, n, k} Y_ {p, k }}
Ancak bu ayrıştırma benzersiz değildir; Y p , k'nin fiziksel anlamı garanti edilmez.
Hızlı bir şekilde çapraz varyogramlara sahibiz:
γZben,Zj=∑p=1Pbp,ben,jγp{\ displaystyle \ gamma _ {Z_ {i}, Z_ {j}} = \ sum _ {p = 1} ^ {P} b_ {p, i, j} \ gamma _ {p}} veya bp,ben,j=∑k=1DEĞİL-dep,ben,k-dep,j,k{\ displaystyle b_ {p, i, j} = \ toplam _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, i, k} a_ {p, j, k}}( B p , i , j ) i , j simetrik ve pozitif tanımlı
matrisler elde ederiz . Göre yeniden numaralandırılması ile p , Y, p , n, kendi öz değerine göre azalan bir şekilde sıralanır (ölçek bileşeninin varyans parçası) .
Faktöriyel kriging dikkate (ki özdeğer anlamlıdır) en açıklayıcı yapıları, yani alma oluşur s ilk bileşeni ( s ≤ s ):
Zdeğil∗≃mben∗+∑p=1p¯∑k=1DEĞİL-dep,j,kYp,k∗{\ displaystyle {Z_ {n}} ^ {*} \ simeq {m_ {i}} ^ {*} + \ sum _ {p = 1} ^ {\ bar {p}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, j, k} Y_ {p, k} ^ {*}}
Blok Kriging
Bu uğultu dakik değildir: bir hacimdeki Z değişkenini tahmin etmeyi veya v'yi desteklemeyi amaçlar . Bir FAI- k durumunda , bu, aşağıdakilerin yerine geçer:
Kben,v=1|v|∫vKben,xdx{\ displaystyle K_ {i, v} = {\ frac {1} {\ sol | v \ sağ |}} \ int _ {v} K_ {i, x} \ mathrm {d} x}
- temel fonksiyonlar f l 0 by
fl,v=1|v|∫vfl,xdx{\ displaystyle f_ {l, v} = {\ frac {1} {\ sol | v \ sağ |}} \ int _ {v} f_ {l, x} \ mathrm {d} x}
Kv,v=1|v|2∫v∫vKx,ydxdy{\ displaystyle K_ {v, v} = {\ frac {1} {\ sol | v \ sağ | ^ {2}}} \ int _ {v} \ int _ {v} K_ {x, y} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y}
Blok kriging sistemi yazılır:
{∑jλjKben,j+∑lμlflben=Kben,v∀ben∑benλbenflben=fl,v∀l{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} & = K_ {i, v} & \ forall i \\ & \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {i}} & = f_ {l, v} & \ forall l \ end {hizalı}} \ end {vakalar}}}
Blok kriging'deki tahminin varyansı şöyledir:σB2=Kv,v-∑benλbenKben,v-∑lμlfl,v{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {B}}} ^ {2} = K_ {v, v} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i, v} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l, v}}
İntegral hesaplamalar, ayrıklaştırma algoritmaları gerektirir. Bir varyasyon, poligon veya poliform krigingdir.
Gradyan tahmini
Hedef tahmin etmektir ∂ Z / ∂ u bir yönde U (ünite vektörü). Tanımı belirleyeceğiz:
∂Z∂sen=lbenmr→0+Z(x+rsen)-Z(x-rsen)2r{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi Z} {\ kısmi u}} = lim_ {r \ ila 0 ^ {+}} {\ frac {Z \ sol (x + ru \ sağ) -Z \ sol (x- ru \ right)} {2r}}}
Kovaryans K ( h ) durağan ve izotropik ise, Z türevlenebilir, ancak K , 0'da iki kez türevlenebilir; o zaman Z ′ ' nin kovaryansı - K ″ olur ve bu herhangi bir noktada tanımlanır. O halde ( ∂ Z ⁄ ∂ u ) * = ∂ Z * ⁄ ∂ u . Genel durumlarda, koşulun yerine getirilmesi gerekmez ve ∂ Z ⁄ ∂ u tanımlanmaz; daha sonra önceki ilişkiyi uzatırız.
Z'nin külçe etkisi varsa , tahmin edilen olgunun sürekli kısmından türetilir.
Gradyan kriging sistemi yazılır:
{∑jλjKben,j+∑lμlflben=∂Kben,0∂sen∀ben∑benλbenflj=∂fl0∂sen∀l{\ displaystyle {\ begin {case} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} & = {\ frac {\ kısmi K_ {i, 0}} {\ kısmi u}} & \ forall i \\ & \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {j} } & = {\ frac {\ kısmi f_ {l_ {0}}} {\ kısmi u}} & \ forall l \ end {hizalı}} \ end {vakalar}}}
Gradyan krigingindeki tahmin varyansı şu şekildedir:
Eşitsizliklerle kriging
Teoride, kriging eşitsizlik kısıtlamalarıyla başa çıkmaya izin vermez. Bununla birlikte, Gibbs örneklemesine dayalı algoritmalar , bir Gauss değişkeni durumunda yaklaşık bir çözüm sağlamak için geliştirilmiştir .
Cokriging
Her iki durumda da çok değişkenli , mean n ✕ D üzerinde, sıfır ortalamanın
2. dereceden bir durağan rastgele fonksiyonu . Durum, kolayca basit duruma indirgenebilir; bundan tam enterpolasyon, kriging rakamlarının üst üste binmesi gibi genel özellikleri takip edin ...
Çok değişkenli koklaştırmanın sonucu, farklı bileşenlere hem hiyerarşileri hem de örneklemeleri açısından simetrik bir rol verir. Tek değişkenli durumla karşılaştırıldığında, çok değişkenli ortak pişirme, değerlendirmeden önce ve sonra daha fazla beceri, veri ve kontrol gerektirir.
Ayrı değişkenler
Bileşenleri ise Z bağımsız, ko-Kriging matris haline çapraz parçalar K i , i , i ∈⟦1, d ⟧ . Değişkenlerin bu şekilde ayrılması , bileşenlerin her biri üzerinde basit eleştirilere yol açar.
Evrensel cokriging
Genel durumda, çok değişkenli FASt-2 Z'yi , sıfır beklentili Y ile çok değişkenli bir FASt-2'nin ve f l fonksiyonlarının temeline göre ayrıştırılmış deterministik bir kayma m'nin toplamı olarak ayarladık :
Z(x,ben)=Y(x,ben)+∑l-delfl(x,ben){\ Displaystyle Z \ sol (x, i \ sağ) = Y \ sol (x, i \ sağ) + \ toplamı _ {l} a_ {l} f_ {l} \ sol (x, i \ sağ)}
Kanatlar arasındaki bağlantıları yansıtmak için temel işlevler seçilebilir. Örneğin, tek boyutlu bir uzay üzerinde iki değişkenli olan ℝ✕ {1,2} durumunda , şunu varsayabiliriz:
- M ( x , 1) ve m ( x , 2) sürüklenmeleri cebirsel olarak k 1 ve k 2 derecelerinden bağımsızdır . Tek değişkenli fonksiyonların çiftleri olarak yazılan k 1 + k 2 +2 temel fonksiyonlarını ayarlayacağız : {1, 0}, { x , 0},…, { x k 1 , 0}, {0, 1}, { 0, x },…, {0, x k 2 } .
- Sürüklenmeler eşittir ve k derecesidir . Aile istenecektir k 1 temel işlevi { x i , x i }, i ∈⟦0, k ⟧ .
- Türev m ( x , 2) türevi m ( x , 1) , derece arasında olan bu k . Biz ailesini sormak k 1 temel işlevleri {1, 0}, { x i , i × x i -1 }, i ∈⟦1, k ⟧ .
Sistem düzenliliği
Sistemin düzenlilik koşulları, tek değişkenli kriging ile benzerdir:
Ancak, koşulluluk monovariable örneğinde olduğu gibi bir yetki koşulu, ancak filtreleme durumu ve herhangi bir önlem olduğu aracı olmadığı ν kısıtları sağlayan elimizde:
∀l∈{1,⋯,k},∑j∫Sjνj(dy)fl(y,j)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l \ in \ sol \ {1, \ cdots, k \ sağ \}, \ toplamı _ {j} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {j} \ sol (\ matematik {d} y \ sağ) f_ {l} \ left (y, j \ sağ) = 0}
∑ben,j∫Sben∫Sjνben(dx)Kben,j(x,y)νj(dy)=0⇒ν=0{\ displaystyle \ toplamı _ {i, j} \ int _ {S_ {i}} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {i} \ sol (\ mathrm {d} x \ sağ) K_ {i , j} \ left (x, y \ right) \ nu _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0 \ Rightarrow \ nu = 0}
Sürüklenme katsayılarının optimum ortak tahmini
Sürüklenmenin katsayıları a l şu şekilde tahmin edilebilir:
Burada bir bükülme sisteminin çözümü.
ATl∗=∑j∈D∫Sjλj(dy)Z(y,j){\ displaystyle A_ {l} ^ {*} = \ toplamı _ {j \ D} \ int _ {S_ {j}} \ lambda _ {j} \ sol (\ mathrm {d} y \ sağ) Z \ sol (y, j \ sağ)}λl(dy){\ displaystyle \ lambda _ {l} \ sol (\ mathrm {d} y \ sağ)}
Çift form
Ölçülerle bir gösterim benimsiyoruz:
z∗(x0,ben0)=∑j∈D∫Sjψj(dy)Kj,ben0(y,x0)+∑s-de∗sfs(x0,ben0), ∀(x0,ben0)∈S{\ displaystyle z ^ {*} \ left (x_ {0}, i_ {0} \ right) = \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ sol (\ mathrm {d} y \ right) K_ {j, i_ {0}} \ left (y, x_ {0} \ right) + \ sum _ {s} {a ^ {*}} _ {s} f_ {s} \ left (x_ {0}, i_ {0} \ sağ), ~ \ forall \ left (x_ {0}, i_ {0} \ sağ) \ S} içinde
Ψ j ölçüleri ve a * l katsayıları ikili sistemin çözümleridir:
∀(x,ben)∈S,l∈[[1;k]]{∑j∈D∫Sjψj(dy)Kben,j(x,y)+∑s-de∗sfs(x,ben)=z(x,ben)∑j∈D∫Sjψj(dy)fl(y,j)=0{\ displaystyle {\ begin {align} & \ forall \ left (x, i \ right) \ in S, l \ in [\! [1; k] \!] \\ & {\ begin {case} \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) K_ {i, j} \ left (x, y \ sağ) + \ toplam _ {s} {a ^ {*}} _ {s} f_ {s} \ left (x, i \ right) & = z \ left (x, i \ right) \\\ toplam _ {j \ D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) f_ {l} \ left (y, j \ right) & = 0 \ end {durumlarda }} \ end {hizalı}}}
Krigant analizi
Sürüklenme ile kriging
Sürüklenme ile kriging, burada FASt-2 varsayılacak olan çalışılan bölgeselleştirilmiş z değişkeninin bilgisinin, çok daha iyi örneklenmiş başka bir bölgeselleştirilmiş değişkenle (örneğin, yağış ve yağış miktarı) geliştirilebileceği varsayıldığı bir durumdan başlar. Rahatlama); bu ikinci değişken, s biçiminin bir işlevi olarak adlandırılır ; z'nin veri noktalarında ve tahmin noktalarında bilinmesi (veya tahmin edilmesi) gerekir . Z ve s beklentileri arasında, örneğin polinom (ve genellikle afin, k = 1 ile ) arasında ayarlayacağız :
E[Z(x)]=∑l=0k-delsl(x){\ displaystyle \ mathbf {E} \ sol [Z \ sol (x \ sağ) \ sağ] = \ toplamı _ {l = 0} ^ {k} a_ {l} s ^ {l} \ sol (x \ sağ )}
Kriging, evrensel kriging'e benzer şekilde yapılır.
Notlar ve referanslar
-
Bogaert s. 2007 . Uzamsal ve zamansal verilerin istatistiksel analizi . Ders notları. Louvain Katolik Üniversitesi.
-
Krigeage, Gratton Y., The AGI'nin Makaleleri
-
Matheron G. 1962. Uygulamalı jeoistatistik üzerine inceleme , cilt I. E. Technip (ed.), Jeoloji ve madencilik araştırmaları Bürosu Anıları , n o 14. Paris.
Ayrıca görün
G. Leborgne, " Kriging'e Giriş " , ISIMA'da ,2018
Kaynakça
-
Pierre Chauvet , Doğrusal jeoistatistik kontrol listesi , Paris, Les Presses de l'École des Mines,Ağustos 1999( Repr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) ( 1 st ed. 1989), 367 , s. 16 x 24 cm ( ISBN 2-911762-16-9 , bildirim BNF n O FRBNF37051458 )
- Cressie N. 1993. Mekansal Veri İstatistikleri. Olasılık ve Matematiksel İstatistiklerde Wiley Serileri: Uygulamalı Olasılık ve İstatistik . John Wiley & Sons Inc., New York. 1991 baskısı, A Wiley-Interscience Yayını'nın gözden geçirilmiş yeniden basımı.
- Baillargeon S. 2005. Kriging: yağış verilerinin uzamsal interpolasyonuna teori ve uygulamanın gözden geçirilmesi . Çalışmaların sonu tezi. Laval Üniversitesi, Quebec.